ピタゴラスの定理計算機

このピタゴラス計算機は、三角形の他の2辺がわかっている場合、直角三角形の一辺の長さを見つけます。計算はピタゴラスの定理に基づいて実行されます。

使用方法

既知の辺の長さを入力し、”計算”を押します。計算機は次の値を返します:

• 3番目の辺の長さ。
• 90°以外の角度の角度値 (度とラジアン単位) 。
• 三角形の面積。
• 三角形の周囲。
• 斜辺に垂直な高度の長さ。

電卓は詳細な解決策も返し、”+計算ステップを表示”を押すと展開できます。 各側の入力フィールドには整数部分と平方根部分が含まれているため、2√3、√3などの値を簡単に入力できます。

また、三角形の脚であるaとbの値は、斜辺であるcの値よりも短くなければならないことにも注意してください。

ピタゴラスの定理

ピタゴラスの定理は、直角三角形では、斜辺の長さの二乗はカテーテルの長さの二乗の合計に等しいと述べています。

ピタゴラスの定理は次のように書くことができます:

a² + b² = c²,

ここで、aとbは直角三角形の短い辺または脚の長さであり、c –は最長辺または斜辺の長さです。上記の式は次のように説明できます: aの2乗とbの2乗はcの2乗に等しくなります。

ピタゴラスの定理の証明

面積を合計してピタゴラスの定理を証明しましょう。

上の画像では、辺が (a + b) の正方形は、辺が c の正方形と、辺が a、b、c の 4 つの直角三角形で構成されています。 2 つの異なる方法を使用して、この正方形の面積を求めましょう:

1. 一辺の長さが (a + b) の正方形の表面積は、 (a + b) ² として計算できます:

A = (a + b)²

2. 同じ表面積は、正方形を構成する図形の表面積の合計として求めることができます。辺 c を持つ正方形の面積と、辺 a、b、および c を持つ三角形の 4 つの面積です。 一辺が c の正方形の面積は、c² として計算できます。 a、b、c を辺とする直角三角形の面積は、 (ab)/2 として求めることができます。 したがって,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

これらの計算は両方とも同じ表面積を表すので、それらを等しくすることができます:

(a + b)² = c² + 2ab

方程式の左側の正方形を展開すると、次のようになります:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

方程式の両側から2abを引くと、次のようになります:

a² + b² = c²

これは必要な結果です。

計算アルゴリズム

直角三角形の辺を見つける

直角三角形の2辺が与えられた場合、3番目の辺はピタゴラスの定理を使用して見つけることができます。たとえば、辺aとbが与えられた場合、辺cの長さは次のように求めることができます:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

同じように,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

そして

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

直角三角形の角度を見つける

直角三角形の3辺すべてがわかっている場合、三角形の90°以外の角度は次のように見つけることができます:

• ∠α = arcsin(a/c) または ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) または ∠β = arccos(a/c)

ここで、∠αは脚'a'に対面する角度であり、∠βは脚'b'に対面する角度であり、'c'は斜辺です。arcsinとarccosの選択は、角度に対してどの脚（aまたはb）を考慮しているかに依存します。arcsinを使用する場合は、角度に対面する脚を使用し、arccosを使用する場合は、角度に隣接する脚を使用します。両方のアプローチは有効であり、直角三角形において正しい角度の測定を提供します。

直角三角形の面積

直角三角形の面積は、その脚の積の1/2として計算できます:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

直角三角形の周囲

直角三角形の周囲長は、そのすべての辺の合計として計算されます:

P = a + b + c

斜辺までの高度

直角三角形の3辺すべてがわかっている場合、斜辺までの高度hは次のように見つけることができます:

h = (a × b)/c

実際の例

ピタゴラスの定理は、必要なコンポーネントの長さを計算し、構築された建物の角度が正しいことを確認するために、建築や建設で広く使用されています。定理を適用する例を見てみましょう。

オブジェクトのフィッティング

あなたが動いていて、長さ4メートル、高さ3メートルの移動トラックを雇ったと想像してください。かさばるアイテムはあまりありませんが、長さ4.5メートルのはしごを所有しています。あなたのはしごはトラックに収まりますか?

解決

はしごの長さである4.5メートルはトラックの長さである4メートルを超えているため、はしごが内側に収まる唯一の方法は対角線です。それが可能かどうかを判断するには、ピタゴラスの定理を使用して、辺がトラックの長さと高さに等しい三角形の斜辺を計算する必要があります。したがって、この場合、a = 4、b = 3であり、cを見つける必要があります:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

a = 4およびb = 3の三角形の斜辺はc = 5です。したがって、トラックに収まる最長の物体は5メートルです。はしごの長さは4.5メートルです。したがって、それは簡単に収まります!

回答

はい、はしごが収まります。

追加の計算

このオンライン計算機は、指定された三角形のいくつかの追加の特性も見つけます。a = 4、b = 3、およびc = 5の三角形について、これらの特性を計算します。

三角形の面積:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

三角形の周囲:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

斜辺までの高度:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

側面aの反対側の角度:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 rad

側面bの反対側の角度:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 rad