二次方程式計算機

二次方程式計算機

二次方程式は、学校や大学の数学カリキュラムの重要な部分です。たとえば、二次方程式の解は、関数の変化率、上昇率、下降率などのさまざまな情報を提供します。二次方程式の解を見つけるには、一連の代数演算と算術演算を実行する必要があります。ソリューションには標準形式がありますが、手動で計算を行うには時間がかかります。

オンラインの二次式計算機は、二次方程式の解を即座にユーザーに提供する使いやすいツールです。この無料のツールは答えを提供し、方程式を解くときに適用されるステップを提示します。その結果、ユーザーは問題解決、数値結果、およびソリューションのステップバイステップガイドを概念化します。

二次方程式

二次方程式は、二次関数または2次多項式と呼ばれることもあり、 ax²+bx+c=0 の一般形式の代数方程式であり、 x は未知の変数です。項aとbはそれぞれ x² と x の係数であり、 C は定数です。「クワッド」または「2次」という言葉は、 x² のように、変数 x の最高指数が2であるという事実に由来します。二次方程式の例をいくつか示します。

$$2x²-4x+0.5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

方程式 2x²=0 も二次方程式であり、 b=0 と c=0 です。ただし、 2x+3=0 は、2次項 ax² が方程式に含まれていないため、二次方程式を表しません。前の例で示したように、 A 、 B 、および C の値は、正/負の整数または小数 a≠0 にすることができます。

二次方程式を解く

方程式の可能な解の数は、方程式の最高の指数値に等しくなります。二次方程式は、このコンテキストで最大2つの解を持つことができます。二次関数を解く1つの方法は、式 (1)で述べた二次式を使用することです。

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

二次式のコンパクト形式は次のように書くことができます:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

これは、ユーザーが値 A 、 B 、および C を差し込んで、 x₁ および x₂ の値を取得できる簡単なソリューションです。平方根 b²-4ac の下の項で示される判別式の値に従って、解の数と性質が変わります。3つのケースについて話し合うことができます:

• 判別式が正の場合; b²-4ac>0, 次に、2つの実際の解決策が存在します (x₁≠x₂)
• 判別式がゼロの場合; b²-4ac=0, 次に、1つの実際の解決策が存在します (x₁=x₂)
• 判別式が負の場合; b²-4ac<0, 次に、2つの複雑なソリューションが存在します (x₁≠x₂)

例セクションで各ケースの例を示します。

グラフィカルに、 y が x の関数である x-y 座標平面上で、読者は関数 y が x軸 と交差する点の x座標 として二次関数の解を視覚的に実現できます。

二次数式計算機の使用

二次ソルバー計算機は、解の性質 (実数または複素数) に関係なく、すべての二次方程式を解くことができます。電卓は3つの入力を取ります: A 、 B 、および C の値。場合によっては、ユーザーは電卓を使用する前に方程式に対していくつかの操作を実行する必要があります。

2x² = x + 3 では、ユーザーは用語を右側から左側に移動するだけです。その結果、 2x²-x-3=0 、 a = 2 、 b = -1 、 c - 3 が得られます。

さらに、 4(x²-0.2x)=1 を考えると、ユーザーは 4x²-0.8x=1 と書いて括弧を展開し、左側の項を右手に移動して、方程式を一般的な形式で 4x²-0.8x-1=0 ( a = 4 、 b=-0.8 、 c=-1 )と書く必要があります。

例

このセクションでは、3つの例で、二次方程式計算機を使用して二次方程式解の3つの可能なケースを説明できます。

例 1: 2 つの実際の解決策

図1に示すように、 y₁=x²-8x+12 として与えられた二次関数 y₁ の解を見つける必要があります。

直感的には、関数 y₁ が x-axis と交差する点の x 座標 (存在する場合) を見つけることが目的です。

図1: のプロット y₁=x²-8x+12

まず、関数はゼロと等しくなり( y₁ は0に置き換えられます)、 x²-8x+12=0 になります。最後の方程式は、 a=1 、 b=-8 、および c=12 の標準二次方程式形式であることがわかります。二次方程式式計算機を直接使用できます。

判別式の値を確認すると

$$b²-4ac=\left (-8\right)^2-4\left(1\right)\left(12\right)=16>0$$

の場合、二次関数には2つの実数解が必要です。計算ボタンをクリックすると、計算機は方程式の二次式 (1)を使用して数値解と解ステップを提供します。

A 、 B 、および C の値を入力した後、計算機に方程式が表示されることを強調することが重要です。ユーザーは、入力ミスを避けるために、表示された式が手元の式と同じであることを確認することを検討できます。

• 方程式: x²-8x+12=0

• 解決: x₁=2 and x₂=6

• ステップ:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ または \ 2$$

したがって、解は x₁=2 および x₂=6 です。関数の交差を x軸と調べることで、結果をグラフィカルに検証できます。図2は、関数が前述の点で x-axis と交差することを示しています。

図 2: のプロット y₁=x²-8x+12

例 2: 1 つの実際の解決策

別の関数を考えると、 y₂-3x²+25=-4x²+10x です。計算機を使用する前の最初のステップは、一方の側で y₂ を分離し、反対側の他のすべての項を y₂=-4x²+10x+3x²-25 として収集することです。 y₂ をゼロと同等にして算術演算を実行すると、一般形式は -x²+10x-25=0 、 a=-1 、 b=10 、および c=-25A として得られます。

判別式はゼロに等しい b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0 なので、ユーザーは単一の解を期待します。次に、二次数式計算機を使用して、 x₁=x₂=5 を見つけることができます。

• 方程式: -x²+10x–25=0

• 解決: x = 5

• ステップ:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

図3は、関数が1点で x-axis と交差することがわかります y₂ のプロットを示しています。

図 3: y₂=-x²+10x-25

例 3: 2 つの複雑なソリューション

最後に、 y₃=x²-4x+8 を研究して、二次関数が2つの複素解を持つことができる方法を示します。図4は、 y₃ が x-axis と交差しないことを示しています。

図4: y₃=x²-4x+8

b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 を見ると、2つの複素解の存在を示していますが、複素数とは何ですか?

複素数は、実数と虚数の組み合わせの形で表現され、 a+ib の形をとる数です。

この場合、複素数の「i」は虚数単位を表し、-1の平方根を表す。

A という用語は、複素数 (Re) の実数部を表します。一方、 ib は虚数 (Im) で、 i=√-1 です。

項 b²-4ac がゼロ未満の場合、平方根には負の数が含まれます。したがって、負の数の平方根を取るには、複素数を使用する必要があります。

の解決策を見つけることに戻る x²-4x+8=0 ; 計算機は方程式を解き x₁=2+2i and x₂=2-2i .

• 方程式 : x²–4x+8=0

• 考えられる解決策は2つあります: x=2±2i

• ステップ:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

使用範囲とヒント

二次数式計算機は、学校や大学の学生、または二次関数の迅速な解決策を探している人向けに設計されています。二次関数は、工学、経済学、農業などに見られます。

ツールの使用は簡単ですが、ユーザーは基本的な算術演算を実行して、方程式を標準の二次形式 ax²+bx+c=0 にしてツールを使用できる必要があります。さらに、二次方程式の解は複素数のペアである可能性があるため、複素数に精通していることが望ま しい(前提条件ではない)。

ユーザーは、関数とそのソリューションを視覚化するためにいくつかのプロットツールを使用することにも関心があるかもしれません。