2D距離計算機

この計算機は、点の座標がわかっている場合、平面上の2点間の距離を見つけます。電卓は2次元空間で動作します。

直線は2点間の最短距離を表すため、この計算機は線の長さ計算機として使用できます。

使用方法

計算機は、座標 (X₁、Y₁) を持つポイント1と座標 (X₂、Y₂) を持つポイント2の間の距離を見つけます。

2点間の距離を見つけるには、対応するフィールドに座標を入力します。入力座標は次のように入力する必要があります:

• コンマは、各ポイントの2つの座標を区切る必要があります。たとえば、(X₁, Y₁) フィールドに”4, 5”と入力すると、点 1 の x 座標が 4、y 座標が 5 になります。いずれかの座標が小数で表される場合は、小数点を使用して整数部分と小数部分を区切ります。たとえば、X 座標が 4.5、Y 座標が 7 のポイントを作成するには、”4.5, 7”と入力します。
• ポイント座標として使用できる整数と小数のみです。分数は受け付けていません。
• 座標間のスペースは必要ありませんが、便宜上使用できます

座標を入力したら、”計算”を押します。計算機は、最終的な回答と詳細な解法アルゴリズムを返します。

距離式

2次元平面上では、座標 (X₁、Y₁) を持つ点1と座標 (X₂、Y₂) を持つ点2の間の距離dは、次の式を使用して求めることができます:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

または、言い換えれば: 2次元空間内の2点間の距離は、対応する座標の差の平方和の平方根として見つけることができます。この式はユークリッド距離式として知られています。したがって、この計算機はユークリッド距離計算機とも呼ばれます。

ユークリッド距離式の導出

式を導き出すために、 (X、Y) 座標平面上の2つの点を見てみましょう:

点1と点2の間の距離を見つけるために、点2から下に垂直線を描き、点1から右に水平線を描きましょう。描かれた2本の線と必要な距離は直角三角形を形成します。この三角形の垂直脚は、点1と点2の間の垂直距離Y₂–Y₁によって形成されます。三角形の水平脚は、2点間の水平距離によって形成されます: X₂ – X₁. この三角形の斜辺は、点間の必要な距離を表します。直角三角形の脚の長さがわかっている場合、斜辺の長さはピタゴラスの定理の助けを借りて見つけることができます:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

計算例

例 1

点1の間の距離を(X₁, Y₁) = (3, 1) で、点2を(X₂, Y₂) = (5, 7) で求めてみましょう。ユークリッド距離式でX₁、Y₁、X₂、Y₂の値を代入すると、次のようになります:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

ポイントの順序を変更しても、座標間の差が 2 乗されるため、最終結果は変更されないことに注意してください。(X₁, Y₁) = (5, 7) および (X₂, Y₂) = (3, 1) と仮定して、上記の計算を繰り返してみましょう:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

例 2

負の座標の例を見て、点1の (X₁、Y₁) = (-4、2) と点2の (X₂、Y₂) = (6、-6) の間の距離を見つけましょう。ユークリッド距離式でX₁、Y₁、X₂、Y₂の値を代入すると、次のようになります:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

実際の例

上に示したように、ユークリッド距離の公式はピタゴラスの定理に基づいています。それでも、 (ピタゴラスの定理で使用される三角形の辺の長さではなく) 点の座標のみがわかっている状況に定理を適応させます。この式は、マップまたはグラフ上の座標から距離を計算する必要がある場合に便利です。また、複素数とベクトルの大きさを計算するためにも使用されます。

例 3

はしごが壁にもたれかかっていると想像してみてください。この状況では、下の図に示すように、床は 2D 平面の x 軸を表し、壁は y 軸を表します。はしごが点(0, 2)で壁に接触し、点(3, 0)で床に接触する場合、はしごの長さを求めます。

解決

壁と床によって形成された2次元平面ではしごの長さを見つけるために、まずはしごの端点の座標を特定しましょう: X₁, Y₁, X₂, Y₂.はしごが壁に接触するポイントを呼びましょう–ポイント1 (X₁, Y₁),はしごが床に触れるポイント–ポイント2 (X₂, Y₂).はしごが座標(0, 2)の点で壁に接触することがわかっています。したがって、(X₁, Y₁) = (0, 2) となります:

X₁ = 0, Y₁ = 2

上の図で明確に示されている X₁ = 0 では、点 (0, 0) は壁が床と接する物理的な点に対応し、X と Y の負の値を不可能にすることに注意してください。

さらに、はしごが座標(3, 0)を持つ点で床に接触することがわかっています。したがって、(X₂, Y₂) = (3, 0) となります:

X₂ = 3, Y₂ = 0

また、Y₂ = 0 これらの座標は床上の点に直接対応するためである。次に、距離式を使用してはしごの長さを計算しましょう:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

回答

はしごの長さは3.6です。

3D 空間での距離

ユークリッド距離は、ほとんどの人が”距離”と呼ぶものです。オブジェクトが私たちから5メートル離れていると言うとき、それは私たちが念頭に置いているユークリッド距離です。上記の距離式は、3次元 (またはそれ以上) に簡単に外挿できます。

3次元空間では、座標 (X₁、Y₁、Z₁) を持つ点1と座標 (X₂、Y₂、Z₂) を持つ点2の間の距離は、対応する座標間の二乗差の合計の平方根として計算できます:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$