二次式計算機

二次式計算機の使用

この電卓は、2次方程式を解く使いやすいツールです。代数学では、二次方程式は、次の形式で記述することができる任意の方程式です。

ax²+bx+c=0

どこ

a≠0

2 次式計算機を使用するには、対応するフィールドに A 、 B 、および C の値を入力し、「計算」を押します。 A の値はゼロにすることはできませんが、ゼロは B と C の許容可能な入力です。実数根と複素根の場合、電卓は2次式を利用して、与えられた方程式に対するすべての解を決定します。2次式を使用した後、電卓は結果のラジカルを単純化して、最も単純な形式の解を見つけます。

二次方程式を二次式で解く

どんな二次方程式も二次式で解くことができます。二次方程式を使うには、まず与えられた方程式を次のような形にします。: ax²+bx+c=0 すると、解は次のように求めることができる。:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

方程式の平方根以下の部分、 b²-4ac を判別式と呼びます。

• 判別式が正の b²-4ac>0 の場合、方程式は 2 つの実根を持つことになります。
• 判別式が負 b²-4ac<0 の場合、負の数の平方根は複素数であるため、方程式は 2 つの複素根を持つことになります。
• 判別式がゼロに等しい場合、 b²-4ac=0 、方程式は1つの根しか持たない。

二次方程式の電卓は、入力された方程式の解と、これらの解決策を見つけるのワークフローが表示されます。電卓はまた、判別式を計算し、それが正、負、またはゼロに等しいかどうかを示しています。

実用例

例1（実のルートを含む）

二次方程式を解いてみよう。

2x²+3x-2=0

この例では a=2,b=3,c=-2.

これらの値に対して二次式を用いると、次のようになる。

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

この方程式の判別式は、 b²-4ac=25>0 と正であることがわかります。よって、この方程式は2つの実根を持つことになります。

ここで、得られたラジカルを簡略化してみましょう。

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ と\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ と\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ と\ \ \ x=-2$$

最後に

x=0.5

x=-2

例2 (複素根を含む)

次の二次方程式を解いてみましょう。

x²+2x+5=0

この例では a=1,b=2,c=5.

これらの値に対して二次式を用いると、次のようになる。

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

この方程式の判別式は、 b²-4ac=-16<0 と負であることがわかります。よって、この方程式は2つの複素数根を持つことになります。 ここで、得られたラジカルを簡略化してみましょう。

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

最後に

x=-1+2i

x=-1-2i

例3（ルートが1つの場合）

次の二次方程式を解いてみましょう。

3x²+6x+3=0

この例では a=3,b=6,c=3.

これらの値に対して二次式を用いると、次のようになる。

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

この方程式の判別式は0になり、 b²-4ac=0 となります。よって、この方程式の根は1つであることがわかります。

$$x=\frac{-6}{6}$$

最後に

x=-1

二次方程式の導出

このように、二次方程式は、判別式が正でも負でもゼロでも、二次方程式を解くことができるのです。では、どのように導出するのかを調べてみましょう。公式の導出の基本を知っておくと、公式そのものを忘れてしまったときにとても役に立ちます。

二次方程式の導出のアルゴリズムは比較的簡単で、平方完成の手順に基づいている。 標準的な二次方程式 ax²+bx+c=0 の解を導くには、次のような手順で進める必要があります。

1. 以下のような方程式があります。

ax²+bx+c=0

定数 C を式の右辺に移動させる。

ax²+bx=-c

2. 2乗の項 x² の隣にある係数 A を取り除く。そのためには、方程式を A で割ればいい。

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. 式の両辺に

$$(\frac{b}{2a})^2$$

を加えなさい。

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. このとき、左辺は x²+2dx+d² の形になります。この式は、 (x+d)² と書き換えることができます。 この式で、 d は

$$\frac{b}{2a}$$

と表される。

というわけで。

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

これを計算式の左辺に代入し、右辺はとりあえずそのままにしておきます。

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

ここで、根 x は方程式の中に一度だけ現れます。

5. 方程式の両方の部分から平方根を抽出する。

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. $$\frac{b}{2a}$$

を式の右辺に移動させる。

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. 式の右辺に

$$\frac{2a}{2a}$$

を掛けよ。

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. 方程式の簡略化:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. その結果、2次式が得られる。

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

二次方程式に関する興味深い事実

• 二次方程式の 2 つの根の合計は

$$\frac{-b}{a}$$

です。したがって、2 次方程式 b²-4ac の判別式がゼロに等しい場合、方程式の唯一の根は

$$\frac{-b}{2a}$$

として見つけることができます。

• 2 次方程式の 2 つの根の積は

$$\frac{c}{a}$$

です。

• 2次式という言葉は、ラテン語で "2乗" を意味する "quadratus" に由来している。変数の最高乗数が2であること、つまり変数が "2乗 "であることから、この方程式は2次式と呼ばれるようになったのです。

• 現在の形の二次公式は、インドの数学者ブラフマグプタによって西暦628年に早くも記述されており、彼は記号を使用せず、代わりに言葉を使って解を議論した。しかし、Brahmaguptaは、平方根の前に重要な ± 記号を省略して、2つの可能な解決策のうちの1つだけを説明しました。

• 2次関数 y=ax²+bx+c のグラフは放物線である。2次方程式の解(根)は、実際にはx軸を持つグラフの切片の座標です。方程式に 2 つの実根がある場合、グラフは x 軸と 2 回交差します。方程式に根が 1 つしかない場合、対応する放物線のグラフは、その最大値または最小値で x 軸にのみ接触します。方程式に実根がない場合、対応する放物線のグラフは x 軸とまったく交差しません。

• 二乗項による係数の値 A がゼロに近づくと、対応する放物線のグラフは平坦になり、最終的には直線になる傾向がある。 a=0 の場合、方程式は線形になり、そのグラフィカル表現は明らかに直線です!

• 同様に、 a>0 の場合、放物線は上を向いています。 a<0 場合、対応する放物線は下向きに開きます。 a=0 の場合、「放物線」は平坦、すなわち直線である。

二次方程式は、科学のあらゆる分野で広く使用されています。たとえば、物理学では、発射体の動きを記述するために二次方程式が使用されます。