確率計算機

2つのイベントの確率計算機

2 つの独立したイベントの確率がわかっている場合は、2 つのイベントの確率計算ツールを使用して、それらが同時に発生していることを判断できます。2つの独立したイベントの確率を、計算機にaとbの確率として入力する必要があります。次に、計算機は、2つの独立したイベントの和集合、交差、およびその他の関連する確率をベン図とともに表示します。

2 つの事象の確率ソルバー

2 つのイベントの確率ソルバーの入力値がわかっている場合は、2 つの独立したイベントのさまざまなイベントの確率を計算できます。これは、2 つの事象の一方または両方の確率がない場合に重要です。結果には、計算手順を含む回答が表示されます。

一連の独立した事象の確率

一連の独立事象の確率計算ツールを使用して、各実験に次々に発生する 2 つの独立した事象が含まれる確率を決定できます。この計算機では、イベントが発生する回数を設定する必要があります。

正規分布の確率

正規分布の確率計算ツールは、正規曲線の確率を決定するときに役立ちます。平均 μ 、標準偏差 σ 、および境界を挿入する必要があります。正規確率計算機は、設定された境界の確率と信頼水準の範囲の信頼区間を生成します。

確率入門

確率は、イベントが発生する可能性です。イベントが間違いなく発生する場合、その確率は1です。イベントが発生しない場合、その確率は 0 です。その結果、特定のイベントの確率は常に 0 から 1 の間になります。確率計算機を使用すると、さまざまなイベントの確率を非常に簡単に計算できます。

イベント操作のルール

実験結果のグループ化は、イベントと呼ばれます。これは、サンプル空間の任意のサブセットになり得るイベントです。補数、交差、および和集合は、イベント操作のルールとして識別できます。以下の例を使用して、これらの各ルールを学びましょう。

例

あなたの大学には、ビジネス学部を含むさまざまな学部があります。留学生もこの大学に在籍しています。プロジェクトの一環として、大学生とのインタビューを実施する必要があります。ゲートをくぐる最初の生徒から始めることを選択します。次の確率を認識しています。としましょう、

A =最初の学生はビジネス学部から来ています。

B =最初の学生は留学生です。

P(A) = 0.6

P(B) = 0.3

イベントを補完する

事象の補数は、その事象に含まれないサンプル空間内のすべての結果の集合です。

たとえば、イベントAの補完は、最初の学生がビジネス学部以外の出身であることを意味します。これは \$A\prime\$ or Aᶜ で表すことができます。

イベント A の補数をベン図で示しましょう。

上記のベン図では、色付きの領域はイベント A の補数を表します。

四角形の合計面積は、サンプル空間の全体的な確率を表します。それはまさに1つです。円 A の外側のスペースは、イベント A の補数の確率を示しています。ベン図を使用すると、次の関係を確立できます:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

したがって,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

次の確率を求めましょう。

面接のために選択している最初の学生の確率は、ビジネス学部からのものではありません:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

面接のために最初に選択した学生が留学生ではない確率:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

イベントの共通部分

2 つのイベント A と B の共通部分は、両方のイベント A と B のすべての共通要素のリストです。[AND]という単語は、2つのセットの交点を示すためによく使用されます。

例1のイベント A とイベント B の共通部分は、留学生を選択することを意味し、学生はビジネス学部の学生です。これは次のように表すことができます:

$$A\cap B$$

イベント A と B の交点をベン図で示しましょう。

上記のベン図では、色付きの領域はイベント A と B の交点を表しています。

面接のために地元の学生を選ぶイベントが C であるとしましょう。次に、イベント A と C をベン図で表示します。

留学生と現地学生を同時に選択することはできません。最初に選択した学生が留学生であるとします。その場合、最初の学生が地元の学生であるイベントは除きます。したがって、イベント A と C は相互に排他的なイベントです。

相互に排他的なイベントには、それらの間に共通の要素はありません。したがって、相互に排他的な 2 つのイベントの共通部分は空です。

$$A\cap C=φ$$

イベントの交差の確率は、さまざまな方法で計算できます。イベント A と B は次のように記述できます。 $$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

独立したイベント

独立したイベントは、互いに影響しないイベントです。この例では、ビジネス学部から学生を選択しても、留学生の選択には影響しません。したがって、イベント A とイベント B は 2 つの独立したイベントであると言えます。

イベントが独立している場合、いずれかが発生する確率は、他のイベントの発生確率に依存しません。そこで

$$P(B/A)=B\ と\ P(A/B)=A$$

これらの式を使用して、以前に学習した式を変更して、2つの交差イベントの確率を決定できます。

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

したがって、これら2つのイベントの確率を乗算することにより、2つの独立の交点を見つけることができます。

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

イベントAとBが独立していることを考えると、面接のために最初に選択した学生がビジネス学部から留学生になる確率を決定しましょう。

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

イベントの連合

2 つのイベントの和集合により、一方または両方のイベントのすべての要素を含む別のイベントが生成されます。"OR" という単語は、通常、2 つのイベントの和集合を表すために使用されます。

例1では、イベント A と B の和集合は、留学生またはビジネス学部からの学生を選択することを意味します。これは次のように表すことができます。

$$A\cup B$$

イベント A と B の和集合をベン図で示してみましょう。

上記のベン図の色付きの領域は、イベント A と B の和集合を表しています。

イベント A またはイベント B の確率を計算するには、両方のイベントの確率を加算し、交点の確率を減算する必要があります。

イベント A と B の和集合の確率は次のように書くことができます。

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

上記の式を変更して新しい式を作成し、2つのイベントの交点の確率が不明で、2つのイベントが独立している場合に、2つの独立したイベントの和集合の確率を見つけることができます。 イベントが独立している場合,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

したがって,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

イベント A と B を組み合わせる確率、つまり、ビジネス専攻の学生、留学生、またはその両方を同時に選択する確率を計算してみましょう。

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

2つのイベントの確率計算機または2つのイベント計算機の確率ソルバーのおかげで、上記のすべての計算をすばやく完了できます。2 事象の確率ソルバーは、計算のステップも表示されるため、確率計算の手順を確認する場合でも使用できます。

正規分布

正規分布は対称で、釣鐘形をしています。正規分布の平均、中央値、最頻値は同じで、データの50%が平均より上、50%が平均より下にあります。正規分布曲線は両方向の平均から離れますが、X軸には接触しません。曲線下の合計面積は 1 です。

確率変数Xがパラメータμとσ2を持つ正規分布を持つ場合、 X ~ N(μ, σ²) と書きます。

正規分布の確率

正規分布の確率密度関数を以下に示します:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

この機能では:

• μ は分布の平均です;
• σ² は分布の分散です;
• π は 3.14 です;
• e は2.7182です。

平均と標準偏差の組み合わせごとに確率表を提供することは不可能です 無限の数の異なる正規曲線があるため。その結果、標準正規分布が使用されます。平均が 0、標準偏差が 1 の正規分布は、標準正規分布と呼ばれます。

正規分布の確率を計算するには、まずzスコアを使用して実際の分布を標準正規分布に変換し、次にzテーブルを使用して確率を計算する必要があります。正規確率計算機は、さまざまな信頼水準の確率を提供することにより、標準の正規確率計算機として機能します。

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

標準正規分布曲線は、現実世界のさまざまな問題を解決するために使用できます。連続変数の確率を決定するには、正規分布を利用します。連続変数は、小数であっても任意の数の値を想定できる変数です。連続変数の例としては、身長、体重、気温などがあります。

以下の例を使用して正規分布の確率を見つける方法を学びましょう。

例

バッチの統計コースの結果は正規分布しており、平均は65、標準偏差は10です。学生がランダムに選択された場合の次のシナリオの確率を決定します:

• 学生のスコアが70以上である、
• 学生のスコアが70未満、
• 学生のスコアは50〜70です。

解決

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

正規曲線の確率を計算するには、多数のステップが必要であり、zテーブルを使用する必要があります。一方、正規分布確率計算機は、計算機に4つの数値を入力するだけで確率を計算するのに役立ちます。正規分布計算機を使用するには、平均、標準偏差、および左右の境界を入力するだけです。