組合せ計算機

数学では、特定のセットからオブジェクトを選択する方法の数を決定するためのさまざまな戦略があります。 n の可能性から r の結果を選択する方法はいくつありますか?順序が重要かどうか、および値を繰り返すことができるかどうかによって異なります。

n個の可能性からr個の順序付けられていない結果を選択する方法の数は組み合わせとして知られており、C (n、r) と書かれています。二項係数とも呼ばれます。この計算機を使用すると、n個のオブジェクトのセットからr個のオブジェクトの組み合わせを計算できます。

組み合わせ計算機を使用するためのルール

特定のオブジェクトのセットに対して、何らかの順序または仕様に従って、それらの一部またはすべてを配置または選択する方法はいくつかあります。計算機は、n個のオブジェクトのセットからr個のオブジェクトを選択する方法の数を繰り返しなしで、順序が重要でない場合を計算します。電卓には2つの入力が必要です:

• n =選択する個別のオブジェクトの数、および
• r =埋めるポジションの数

組み合わせ計算機にデータを入力するための重要な基準は、

$$0 ≤ r ≤ n$$

nより大きい数値rを入力すると、メッセージが出力されます "0 ≤ r ≤ n を入力してください。"

カウントの基本原則

基本的なカウントの原則は、さまざまなタスクを実行する方法を見つける際に私たちを導きます。カウントには2つの基本的なルールがあります。

合計の法則

最初のタスクはmの方法で実行でき、2番目のタスクはnの方法で実行できます。タスクを同時に実行できない場合は、可能な方法の数を(m + n)としてカウントできます。

製品のルール

最初のタスクはmの方法で実行でき、2番目のタスクはnの方法で実行できます。両方のタスクを同時に実行できる場合は、 (m × n) それらを実行する方法があります。

例

食堂では3種類のパイと4種類のドリンクを販売しています。その中には、アップルパイ、ストロベリーパイ、ブルーベリーパイがあります。そしてオレンジ、ブドウ、チェリー、パイナップルジュース。飲み物とパイの両方が$ 2で販売されています。あなたはあなたと$ 2しか持っていません、そしてそれ以上のセントはありません。したがって、特定の選択を行う3 + 4 = 7の機会があります。

コインを投げてサイコロを振る方法の数を数えたいとします。コインには2つの面があるため、コインを投げる方法の数は2つです。同様に、サイコロを振る方法は6つあります。両方のタスクを同時に実行できるため、コインを投げてサイコロを振る方法は2×6 = 12です。

52枚のカードのデッキから2枚のカードを交換せずにドローしたい場合、最初のカードを引く方法は52、2番目のカードを引く方法は51です。したがって、2枚のカードを引く方法の数は52×51 = 2,652です。

サンプルスペース

サンプル空間は、考えられるすべての結果のリストであり、大文字の S で示されます。コインを投げることとサイコロを同時に振るためのサンプル空間は

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

12の方法があります。カウントの原則により、すべてをリストアップすることなく、実験の方法の数を把握できます。

コンビネーション

順序が無関係なときにn個の可能性からr個の非反復結果を選択する可能な方法の数は、組み合わせとして知られています。オブジェクトの組み合わせは C (n, r) と表記されます。二項係数とも呼ばれます。組み合わせ式は次のように定義されます。

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

サイン!数字または文字の後は、ある数字の階乗を使用していることを意味します。たとえば、n! は数nの階乗、または1からnまでの自然数の積です。数2の階乗は1×2です。数3の階乗は1×2×3です。数4の階乗は1×2×3×4です。数5の階乗は、1 × 2 × 3 × 4 × 5などです。階乗は、負でない整数に対してのみ計算できます。

この式を使用して組み合わせを計算することの本質的な特徴は、オブジェクトの繰り返しが許可されておらず、配置の順序が重要ではないことです。

例 1

4つの数字のセットがあるとします

{1, 2, 3, 4}

同じ要素をペアで繰り返すことができない場合、このセットの2つの要素を組み合わせる方法はいくつありますか?

要素の順序が重要な場合は、順列によって形成されるグループを取得します:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

順序が重要でない場合 - 組み合わせによって形成されたグループを取得します:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

可能な組み合わせは6つあります。数式を使用して、可能なすべての組み合わせの数を見つけることができます。この例では、 $n=4$ , $r=2$ です。そこで,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

これはまさに組み合わせ計算機が計算するものです。

例 2

3つのグループ内の文字A、B、C、Dの組み合わせは何ですか? 順序が重要な場合は、24の可能な順列があります。組み合わせカウントでは、順序は無関係です。したがって、最初の行のみが関連します、すなわち、4つの可能な組み合わせがあります。

可能なすべての配置をリストするのではなく、上記の組み合わせ式を使用して、可能な配置の数 (順序は重要ではない)を計算できます。ここでは、n = 4個のオブジェクトがあり、一度にr = 3を取っています。そこで

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

順列

順列は、オブジェクトの順序が重要な場合にオブジェクトを整理する方法の数を定義します。n個のオブジェクトのリストからr個のオブジェクトを選択する場合の順列の公式は次のとおりです:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

この式を使用して順列を計算する2つの主な特徴は、オブジェクトの繰り返しが許可されないことと、オブジェクトの順序が重要であることです。

例 3

就職の面接に4人の候補者がいるとします。選考委員会の任務は、候補者を1から4にランク付けすることです。ここに可能性があります:

• 1番目の候補者-選ぶには4つの方法があります
• 2番目の候補者-選ぶには3つの方法があります
• 3番目の候補者-選ぶ方法は2つあります
• 4番目の候補者-選ぶ方法は1つだけです

製品ルールは、選択方法の合計数、つまり4 × 3 × 2 × 1 = 24を示し、*4!*と同じです。候補者が

{A, B, C, D}

すべての可能な順列を示す問題のサンプル空間を以下に示します:

上記の表に示すように、可能なすべての配置をリストするのではなく、順列式を使用して可能な配置の数を計算できます。上記の例では、n = 4個のオブジェクトがあり、一度にr = 4個の要素を取ります。そこで

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

組み合わせと順列の違い

組み合わせと順列の主な違いは、組み合わせでは要素の順序は重要ではないのに対し、順列では要素の順序が重要であることです。