順列計算機

順列計算機は、一度にr個の要素のサンプルを取得して、n個の異なるオブジェクトを配置する方法の数を計算します。これは、配置の順序が重要なグループ内のオブジェクトの可能な配置の数を示します。配置されるオブジェクトの総数はnで示され、各グループの要素の数はrで表されます。

たとえば、文字XYZをそれぞれ2文字のグループに配置する場合は、XY、XZ、YZ、YX、ZX、およびZY:6つの方法があります。

この計算機を使用するには、ある順序で配置するオブジェクトの総数であるnを入力し、各グループの要素数であるrを入力して、[計算]をクリックします。「クリア」ボタンを使用すると、電卓をクリアして別の数値セットを入力することもできます。

順列

セットの順列は、シーケンスまたは特定の順序でのメンバーの配置です。セットがすでに順序付けられている場合、それはその要素の順列です。順列の場合、要素の順序が重要です。たとえば、順列 AB と BA は 2 つの異なる順列です。r個のオブジェクトのサンプル内のn個のオブジェクトの順列の数は、nPr として表されます。

順列の数の計算は、配置されるオブジェクトによって異なります。また、繰り返しが許可されているかどうかによっても異なります。特に明記されていない限り、順列を計算するときに繰り返しは許可されないと仮定します。

この記事では、繰り返しのない順列の例を見ていきます。

順列は、カウントの基本原則に従います。 最初のイベントが n₁ 回発生する k イベントで構成される実験の場合、2 番目のイベントは n₂ イベント発生することを示しています。 イベントが nₖ 回発生するまで続きます。 実験が連続して発生する方法の数は、個々のイベントが発生する回数の積、 n₁ × n₂ × ... × nₖ によって与えられます。

順列を繰り返さない文字ABCの可能な配置の数を知りたいとします。どの文字も最初に来ることができるので、最初の文字を設定する方法は3つあります。

最初の文字を設定した後、2文字が残り、2文字のいずれかを2番目の文字として設定できるため、2番目の文字を設定する方法は2つあります。2番目の文字が設定されると、残りは1文字になります。したがって、3番目の文字を設定する方法は1つだけです。

したがって、基本的なカウントの原則により、文字ABCを配置するには 3 × 2 × 1 = 6 の方法があります。それらはABC、ACB、BCA、BAC、CAB、およびCBAです。

階乗

上記では、3つの異なるオブジェクトの順列の数は 3 × 2 × 1 = 6 で与えられることを確立しました。一般に、n個のオブジェクトの順列の数は (全体として) n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 で与えられます。

これは、nから1までのすべての整数の乗算です。整数、たとえばnから1までのすべての整数の乗算は階乗と呼ばれ、で表されます!(感嘆符)をクリックします。

したがって、 n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 であり、n 階乗と呼ばれます。

0!=1 および 1!=1 であることに注意してください。

順列の例

オリンピックのレースの標準トラックは通常9レーンです。ただし、100メートルレースでは、レーン1は通常使用されません。8人のランナーがレーン2から9に連続して配置されます。8人のランナーをレーン2から9に配置できる方法はいくつありますか?

基本的なカウント原理による:

• 8人のランナーのいずれかがレーン2を取得します。
• 残りの7人のランナーのいずれかがレーン3を取得できます。
• 残りの6人のランナーのいずれかがレーン4を取得できます。
• 残りの5人のランナーのいずれかがレーン5を取得できます。
• 残りの4人のランナーのいずれかがレーン6を取得できます。
• 残りの3人のランナーのいずれかがレーン7を取得できます。
• 残りの2人のランナーのいずれかがレーン8を受け取ることができます。
• 残りの1人のランナーがレーン9を受け取ります。

したがって、8つのトラックに配置できる8つのランナーの可能な順列の合計は、 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 の方法です。

順列計算機で、n (オブジェクト)ボックスとr(サンプル)ボックスの両方に8を入力し、[計算]をクリックして40,320を取得します。

サブセットの順列

前の例では、すべてのオブジェクトが配置で考慮される場合のオブジェクトの順列を調べました。ただし、オブジェクトが小さなグループに配置されている場合があります。

そのような場合、オブジェクトの総数はnで提供され、グループ(サンプル)内のオブジェクトの数はrで示され、式は順列の数を示します:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

この式は、繰り返しなしで順列を計算するために使用されます。そして、集合nから取られたサンプルrを特定の順序で編成する必要がある場合。

セットのすべての要素を特定の順序で繰り返しなしで配置できる選択肢の数を計算すると、次の式を使用できます:

$$ₙPᵣ=n!$$

例

上記の例では、100メートルレースの8人のランナー全員を配置できる可能な方法の数を調べました。現在、同じレースで、3つのメダルが手に入ります。レースの1位が金メダルを獲得し、2位と3位のランナーがそれぞれ銀メダルと銅メダルを獲得します。レースの8人のランナーのうち、金、銀、銅のメダリストを獲得する方法はいくつありますか?

基本的なカウントの原則により、8人のランナーのいずれかが最初の位置を取ることができます。最初のポジションが埋まった後、2番目のポジションを争うために7人のランナーが残ります。そして、2番目のポジションの後、6人のランナーが3番目のポジションを争います。したがって、8人のランナーからの1番目から3番目の位置の可能な順列の総数は次のとおりです: 8 × 7 × 6 = 336

式を使用します:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

そして、私たちは得ます

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

そして、順列計算機で、n(オブジェクト)ボックスに8を入力し、r (サンプル)ボックスに3を入力し、[計算]をクリックして336を取得します。

順列と組み合わせ:違い

もう一つの重要なカウント技術は組み合わせです。組み合わせは、少数のオブジェクト (サンプル)rを多数のオブジェクトnから選択できるさまざまな方法です。n個のオブジェクトからのr個のオブジェクトの組み合わせの数は、単に ₙCᵣ で表されます。

順列の定義では、順序または配置が重要であると述べました。まあ、それは順列と組み合わせの違いです、なぜなら、組み合わせでは、順序は重要ではないからです。

したがって、たとえば、それぞれ2文字のグループの文字XYZの順列は、XY、XZ、YZ、YX、ZX、およびZYになると述べました。したがって、6つの順列が得られます。

ただし、それぞれ 2 文字のグループ内の文字 XYZ の組み合わせは、XY、XZ、および YZ です。3つの組み合わせ。これは、組み合わせでは、XY と YX が同じ組み合わせと見なされるためです。XZとZXと同じで、YZとZYと同じです。したがって、組み合わせの計算では、配置の順序は重要ではありません。

この式は、n個のオブジェクトからのrオブジェクトの組み合わせの数を示します:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

計算する計算の例

上記のランナーの例では、8人のランナーのグループから1番目、2番目、3番目のポジションを選択する方法の数を取得しました。ポジションを考慮せずに、8人のランナーのグループから3人のメダリストを選ぶ方法の数を知りたいとします。ランナーがメダルを獲得する限り、その人が1位、2位、または3位になるかどうかは関係ありません。

この場合、メダルの順序は重要ではないため、組み合わせが使用されます。したがって、組み合わせ式を使用してこれを解決します。

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

8人のランナーから3人のメダリストを選ぶ方法は:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

順列の計算例

1. ニュースプロデューサーは、分析プログラムに5人のゲストスピーカーのうち3人を選択できます。ゲストの順序は重要です。プロデューサーはゲストのプレゼンテーションをいくつの異なる方法で手配できますか?順序は重要であり、同じゲストが同じニュース番組に2回登場することはできないため、繰り返しは使用されません。したがって、順列に式を使用できます。

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

したがって、プロデューサーにはスピーカーを整理する60の方法があることがわかります。

2. レストラン評論家は、寿司を提供する町の10の良い施設を選択して、寿司レストランのトップ3をランク付けしました。施設は、ランキングでの位置を示す順序で提示する必要があります。また、同じ場所がランキングに複数回登場することはできません。したがって、順列式の要件を満たします-順序は重要であり、繰り返しがあってはなりません。順列に式を使用します:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. 順列の順序が重要であると言うとき、それは順序が1から、たとえば10または他の数値までの数値でなければならないという意味ではありません。順序は、セットの要素を割り当てる特定のオブジェクトによって形成できます。

たとえば、住宅修理会社のマネージャーを考えてみましょう。彼は今日、絵画室の注文を4つ持っています。彼らはビザ代理店の事務所、工場の倉庫、衣料品店、そして個人の家の部屋です。同社には6人の画家がいます。それぞれが1日で1つの施設に行くことができます。残りの2人の画家は休みになります。

これらのオブジェクトは、ビザ代理店の事務所、工場の倉庫、衣料品店、および個人の家の部屋であり、これらは位置1、2、3、および4の類似物です。

マネージャーは次のようになります:

• オフィスに割り当てることができる6人の応募者、
• 残りの5人の申請者が倉庫に割り当てられ、
• 残りの4人の応募者は店舗に送られます、
• 個人の家の部屋に割り当てることができる残りの3人の申請者。

したがって、直感的には、選択肢の数は 6 × 5 × 4 × 3 = 360 と記述できます。

私たちは、画家がオブジェクト上に分布する順序が私たちにとって重要であるという条件を与えられています。繰り返し、つまり、画家が同じ日に複数のオブジェクトで作業することは許可されていません。したがって、すでに使用した順列式を適用できます。

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

住宅修理会社のマネージャーが特定の条件で利用可能な画家の間で注文を割り当てることができる360の異なる方法があることが判明しました。