경사도 계산기

경사도 계산기

경사도 계산기는 직선의 경사도를 찾는데 사용되는 간단한 온라인 도구입니다. 수학에서, 선의 경사도는 수직 좌표(y좌표)의 변화가 수평 좌표(x좌표)의 변화에 대한 상대적인 것으로 정의됩니다.

사용된 표기법

경사도는 m으로 표시됩니다. 위의 그래프는 계산기에서 사용된 모든 다른 표기법을 시각적으로 보여줍니다. 경사도 찾기는 두 가지 시나리오에서 계산을 수행할 수 있습니다:

1. 선 위의 두 점의 좌표가 알려진 경우입니다. 그래프에서 두 점의 좌표는 (x₁,y₁) 및 *(x₂,y₂)*입니다. 이 경우, 계산기는 선의 경사도, m을 찾을 것입니다.

2. 한 점의 좌표 (x₁,y₁), 거리 d 및 선의 경사도가 알려진 경우, 계산기는 선 위의 두 번째 점의 좌표 *(x₂,y₂)*를 찾을 것입니다.

두 시나리오 모두에서, 계산기는 선의 다른 누락된 특성: 수평 변화 ∆x, 수직 변화 ∆y, 기울기 각도 θ, 선 길이 또는 거리, d를 반환할 것입니다.

사용 방법

먼저 알려진 값들을 식별하고 적절한 계산기를 선택하십시오. 두 점의 좌표가 알려진 경우, “두 점이 알려진 경우”를 선택하십시오.

한 점의 좌표만 알고 있는 경우, 계산을 수행하기 위해 거리, d와 선의 경사도, m을 알아야 합니다. 이 경우, “한 점과 경사도가 알려진 경우”를 선택하십시오.

두 점이 알려진 경우

알려진 점의 좌표를 해당 필드에 입력한 다음, “계산하기”를 누르십시오. 계산기는 다음 정보를 반환할 것입니다:

• 경사도 m,
• 기울기 각도 θ,
• 선의 길이 d,
• 수평 변화 ∆x,
• 수직 변화 ∆y.

계산기는 경사도와 선의 모든 다른 특성 값을 찾기 위해 사용된 공식을 보여주며, 해당 선의 방정식을 표시하고, 시각적 표현을 위해 선을 개략적으로 그릴 것입니다.

한 점과 경사도가 알려진 경우

알려진 점의 좌표, 거리 및 경사도를 해당 필드에 입력하십시오. 경사도 대신 “기울기 각도(세타 또는 θ)”의 값을 입력할 수 있습니다. θ의 값은 도 단위로 입력해야 합니다. 이 값 중 하나만 입력해야 합니다(m 또는 θ). m과 θ 둘 다 입력된 경우, 계산기는 θ의 값을 무시하고 계산에만 경사도 m을 사용할 것입니다.

“계산하기”를 누르십시오. 계산기는 다음 정보를 반환할 것입니다: 두 번째 점의 좌표 (x₂,y₂), 수평 변화 ∆x, 수직 변화 ∆y, 선의 길이 d. 계산에 경사도 m이 사용된 경우, 계산기는 θ의 값을 반환할 것입니다. 계산에 기울기 각도 θ이 사용된 경우, 계산기는 답변에서 m의 값을 반환할 것입니다. 또한, 계산기는 해당 선의 방정식을 표시하고, 시각적 표현을 위해 선을 개략적으로 그릴 것입니다.

경사도 공식

위에서 언급했듯이, 선의 경사도는 선의 수직 좌표(y좌표)의 변화가 수평 좌표(x좌표)의 변화에 대해 상대적으로 정의됩니다:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

위의 방정식을 경사도 공식이라

고 합니다. 선 위의 두 점의 좌표가 알려진 경우, 우리는 이 공식을 사용하여 주어진 선의 경사도를 찾을 수 있습니다. 경사도는 일반적으로 m으로 표시됩니다. 이것은 선의 방향과 경사도를 설명하는 데 사용됩니다:

• 선이 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가는 경우, 그러면 y₂>y₁일 때 x₂>x₁입니다. 경사도는 항상 양수가 될 것입니다, m>0. 이 경우, 우리는 선이 증가한다고 말합니다.

• 선이 왼쪽에서 오른쪽으로 내려가는 경우, 그러면 y₂ < y₁일 때 x₂ > x₁입니다. 경사도는 음수가 될 것입니다, m < 0. 이 경우, 우리는 선이 감소한다고 말합니다.

• 선이 수평인 경우, 그러면 y₂=y₁이고 y₂-y₁=0입니다. 그러면 경사도도 0이 될 것입니다: m=0.

• 선이 수직인 경우, 그러면 x₂=x₁이고 x₂-x₁=0입니다. 경사도 공식은 분모에 0을 가지게 되며, 경사도는 정의되지 않습니다.

선 방정식

우리는 어떤 선형 방정식도 다음 형태로 작성할 수 있습니다:

$$y=mx+b$$

이 형태의 선형 방정식을 기울기-절편 형태라고 합니다. 이 방정식의 그래프는 직선이 될 것이며, 여기서 m은 선의 경사도입니다. B는 그래프가 y축을 교차하는 좌표입니다. B는 때때로 선의 y절편이라고도 합니다, 왜냐하면 x=0일 때 y=b이기 때문입니다.

선 위의 한 점의 좌표와 경사도가 알려져 있는 경우, 우리는 선 방정식을 소위 점-경사 형태로 작성할 수 있습니다:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

이 형태의 선형 방정식은 선의 y절편을 찾는 데 유용합니다.

계산 예제

우리는 선 위의 두 점의 좌표를 알고 있다고 가정합니다.

주어진 값:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

먼저 이 선의 경사도를 찾아봅시다:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

이제, 선의 다른 특성 값을 찾읍시다. m=tanθ를 알고 있으므로, 우리는 기울기 각도 θ를 다음과 같이 찾을 수 있습니다:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)} = arctan\frac{∆x}{∆y} = 71.565051177078°$$

더욱이,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

우리는 피타고라스 정리를 사용하여 거리 d를 찾을 수 있습니다. 이 정리는 직각 삼각형의 빗변의 길이의 제곱이 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다고 명시합니다.

우리 삼각형에 이 정리를 적용하면, 우리는 다음을 얻습니다:

$$d^2=∆x²+∆y²$$

따라서,

$$d=\sqrt{8²+{24}²}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

선의 y절편을 찾기 위해, 우리는 주어진 m, x₁, y₁ 값으로 점-경사 형태의 선 방정식을 작성합시다:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

따라서, y=-2는 선의 y절편입니다, 즉, x=0일 때, y=-2입니다.

y=0일 경우:

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

스케치는 해당 선을 보여줍니다. 우리 경우에는 경사도가 양수, m>0이며, 우리는 선이 증가한다는 것을 볼 수 있습니다 – 그것은 왼쪽에서 오른쪽으로 올라갑니다. 또한, 경사 각도 θ ≈ 72°이므로 선이 상당히 가파르다는 것을 볼 수 있습니다.