부피 계산기

모든 고체 3차원 객체는 일정한 공간을 차지합니다. 우리는 테이블 위에 놓인 휴대폰, 이웃에 놓인 물 저장 컨테이너 또는 단순히 코트 위의 축구공이 차지하는 공간을 생각할 수 있습니다.

부피는 객체가 차지하는 공간으로 정의할 수 있습니다. 부피는 또한 객체의 용량을 나타낼 수도 있습니다. 차고에 있는 물 컨테이너가 차지하는 공간 대신, 컨테이너가 저장할 수 있는 물의 양이나 용량을 생각할 수 있습니다.

부피 계산은 과학과 수학의 다양한 분야에서 사용됩니다.

부피 계산기는 부피를 계산할 때 다양한 측정값을 지원합니다. 더욱이, 계산기는 공식과 단계별 계산 과정을 보여줍니다. 이 글은 실제 예제와 함께 부피 및 부피 공식 계산기에 대한 간단하지만 충분한 설명을 제공할 것입니다.

단위 및 측정

우리의 판단의 신뢰성과 정확성을 향상시키기 위해, 우리는 표준 측정 단위가 필요합니다. 균일성을 위해, 우리는 표준 단위라고 알려진 표준화된 측정 단위 세트가 필요합니다.

SI(국제 단위 시스템) 부피 단위는 입방미터 m³입니다. 그러나, 일부 작은 객체의 부피는 객체가 너무 작을 경우 입방 센티미터 cm³ 또는 입방 밀리미터 mm³와 같은 더 작은 단위로 작성될 수 있습니다.

한편, 사용자는 자신의 응용 프로그램에 가장 적합한 단위를 지정할 수 있습니다. 부피 계산기는 메트릭 시스템, 영국 및 미국 관습 단위를 포함한 두 가지 측정 시스템을 지원합니다. 사용자는 다음 단위 중에서 선택할 수 있습니다:

• 킬로미터,
• 미터,
• 센티미터,
• 밀리미터,
• 마이크로미터,
• 나노미터,
• 앙스트롬,
• 마일,
• 야드,
• 피트,
• 인치.

부피를 계산하기 위해 공식을 사용한다면, 동일한 측정 단위로 작업해야 합니다. 따라서, 계산을 더 쉽게 만들기 위해 보통 모든 측정값을 같은 단위로 변환합니다.

예를 들어, 높이가 75cm이고 반지름이 0.5m인 원통의 부피를 계산하는 경우를 고려해 보십시오. 우리는 높이를 미터로 변환하고 입방 미터로 부피를 계산하거나, 반지름을 센티미터로 변환하고 입방 센티미터로 부피를 찾을 수 있습니다.

높이를 인치로 정의하고 반지름을 나노미터로 정의하면 어떨까요? 계산기는 이러한 단위 변환을 수행하고 단계를 보여줍니다.

이 계산기를 사용하면 사용자는 각 측정 입력에 대해 다른 단위를 선택할 수 있으며, 부피 공식 계산기는 부피를 반환할 것입니다.

예를 들어, 원통의 높이가 5인치이고 반지름이 10506070 나노미터인 경우를 고려해 보십시오. 우리는 원통 부피 계산기 섹션으로 이동하여 반지름과 높이 값을 드롭다운 목록에서 올바른 단위로 입력합니다.

계산기는 먼저 부피를 2.6874044006564 인치³(입방 인치) 및 4.4038667907438E+22 나노미터³(입방 나노미터)로 반환합니다. 그 이유는 무엇일까요? 이는 우리가 입력에서 사용한

측정 단위이기 때문에, 계산기는 이러한 단위 중 하나로 부피를 계산해야 한다고 가정합니다. 원통 부피는 단위 변환과 함께 계산 방법을 두 가지 보여줍니다!

부피 계산기: 범위, 기능 및 예시

부피를 계산하는 방법은 한 형태에서 다른 형태로 다를 수 있습니다. 일부 기하학적 형태는 그들의 속성, 예를 들어, 가장자리 길이나 반지름에 따라 부피를 계산하기 위해 표준 산술 공식을 사용합니다.

다른 기하학적 형태는 더 복잡하며, 직접적으로 그들의 부피를 계산할 수 없습니다. 이 경우, 기하학적 통합과 유한 요소 방법과 같은 고급 계산 방법이 사용됩니다. 부피 계산기는 그들의 부피를 계산하기 위해 다양한 객체를 지원합니다.

구

구는 원의 3차원 등가물입니다; 구의 예는 모든 둥근 공(야구, 농구 등)입니다. 구의 부피 공식은 다음과 같이 주어집니다:

$$V_{구}=\frac{4}{3}\pi r^3$$

구의 부피는 오직 구의 반지름(r)에만 의존합니다. 반지름은 구의 중심과 표면 상의 임의의 점 사이의 거리로 정의됩니다. 야구가 반지름 r = 3.65 cm를 가지고 있다고 가정하면, 구의 부피 계산기를 사용하여 부피를 찾을 수 있습니다:

$$부피 = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 3.65^3 = 203.68882488692 \ 센티미터^3$$

원뿔

원뿔은 원형 기반과 꼭지점으로 구성된 기하학적 형태입니다. 우리는 원뿔의 속성을 원형 기반의 반지름(r)과 기저 중심과 꼭지점 사이의 높이(h)의 두 측정값으로 정의할 수 있습니다.

원뿔의 부피는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$V_{원뿔}=\frac{1}{3}\pi r^2h$$

r은 반지름이고, h는 원뿔의 높이입니다

생일 파티에서 DIY 원뿔 모양의 파티 모자를 만들고 싶다고 가정해 보겠습니다.

반지름이 7.5cm이고 높이가 0.45m인 원뿔 모자를 만들기로 결정했다면, 각 원뿔 모자의 부피를 계산하기 위해 원뿔 부피 계산기를 사용할 수 있습니다.

0.45미터 = 45센티미터

$$부피 = \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \pi \times 7.52^2 \times 45 = 2650.7188014664 \ 센티미터^3$$

이는 파티가 끝날 때 원뿔 모자에 이만큼의 팝콘을 넣을 수 있다는 것을 의미합니다.

정육면체

누가 루빅스 큐브를 가지고 놀아본 적이 없을까요?

이것은 8개의 꼭짓점과 6개의 동일한 면을 가진 기하학적 객체입니다. 정육면체의 부피는 큐브의 한 변의 길이(a)에만 의존합니다.

$$V_{정육면체}=a^3$$

우리는 우리의 개발 센터에서 어린이들이 인지 능력을 향상시킬 수 있도록 30개의 루빅스 큐브를 구입하기로 결정했습니다. 우리는 디자인과 가격에 맞는 큐브를 찾아 상점에 갔습니다. 큐브의 한 변의 길이는 5.7 센티미터입니다. 안타깝게도 상점의 판매원은 모든 큐브를 쉽게 운반할 수 있는 하나의 상자만 가지고 있습니다. 상자는 20 센티미터 변 길이를 가진 정육면체입니다. 모든 큐브가 그 상자에 맞을까요?

큐브의 부피:

$$부피 = 5.7^3 = 185.19\ 센티미터^3$$

30개의 큐브의 총 부피는

$$185.19 \times 30 = 5,555.7\ 센티미터^3$$

상자의 부피:

$$부피 = 20^3 = 8,000\ 센티미터^3$$

우리는 30개의 큐브의 부피를 상자의 부피와 비교했습니다.

$$5,555.7 < 8,000$$

그리고 큐브가 상자에 완벽하게 맞을 것이라는 것을 알아냈습니다.

원통

원통은 균일한 원형 기반의 기하학적 프리즘으로, 여러 원이 서로 위에 놓여 이 기하학적 형태를 형성하는 것과 같습니다. 원뿔처럼, 원통의 속성은 원의 반지름(r)과 원통의 바닥면에서 상단면까지의 높이(h)에 의해 정의됩니다. 우리는 원통의 부피를 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$V_{원기둥}=\pi r^2h$$

장식용 원통형 캔들의 부피를 계산해 보겠습니다. 우리 캔들의 높이는 15 센티미터이고 지름은 8 센티미터입니다. 지름에서 반지름을 계산할 수 있으며, 이는 4 센티미터가 될 것입니다. 그래서 우리는 다음과 같이 끝납니다:

$$부피 = \pi r^2h = \pi \times 4^2 \times 15 = 240\pi = 753.98223686155\ 센티미터^3$$

직사각형 탱크

직사각형 탱크는 모든 변이 수직이지만 반드시 같은 길이는 아닌 큐브의 변형입니다. 이 기하학적 객체는 길이(l)와 너비(w)로 정의됩니다. 이 두 측정값은 2차원 직사각형을 나타내며, 높이(h)와 함께 이 3차원 직사각형을 생성합니다. 따라서, 직사각형 탱크의 부피는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$V_{직육면체\ 탱크}=l \times w \times h$$

직사각형 탱크의 보편적인 예는 배송 컨테이너입니다. 표준 배송 컨테이너 ISO 측정값은 다음과 같습니다:

• 너비 = 2.43 m
• 높이 = 2.59 m
• 길이 = 6.06 m 또는 12.2 m

측정값이 ISO에 따라 표준화되어 있기 때문에, 부피도 표준입니다. 6.06m 및 12.2m의 두 길이 값에 대해 모두 측정값을 직사각형 탱크 부피 계산기에 입력하여 부피를 찾으십시오.

$$부피 = 6.06 \times 2.43 \times 2.59 = 38.139822\ 미터^3$$

그리고

$$부피 = 12.2 \times 2.43 \times 2.59 = 76.78314\ 미터^3$$

더 복잡한 3차원 기하학적 형태

기본 기하학적 형태와 다른 기하학적 형태를 결합할 수 있습니다. 이 형태의 부피는 무엇일까요?

우리는 객체가 원통과 원뿔의 상단에 구성되어 있음을 볼 수 있습니다. 따라서, 우리는 객체의 부피가 원통의 부피와 원뿔의 부피의 합이라고 말할 수 있습니다:

$$V_{물체}=V_{원기둥}+V_{원뿔}$$

원통과 원뿔 모두 지름이 4cm입니다. 따라서 우리는 말할 수 있습니다:

$$r_{원기둥}=r_{원뿔}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

게다가,

$$h_{물체}=h_{원기둥}+h_{원뿔}$$

주어진 것으로,

$$h_{물체}=10\ cm$$

그리고

$$h_{원뿔}=3\ cm$$

우리는 해석할 수 있습니다:

$$h_{원기둥}=7\ cm$$

이제 값을 부피 계산기에 입력할 수 있습니다:

$$V_{물체}=V_{원기둥}+V_{원뿔}=87.96\ cm^3+12.56\ cm^3$$

$$V_{물체}=100.52\ cm^3$$

이 예제는 부피 계산기가 지원하는 다음 기하학적 형태를 더 잘 이해하는 데 도움이 될 것입니다.

캡슐

캡슐은 의학적 알약의 가장 흔한 형태 중 하나입니다. 이전 예제를 사용하여 캡슐이 두 반구가 양쪽의 반대 표면에 있는 원통으로 구성되어 있음을 이해할 수 있습니다.

두 반구는 단일 구로 합쳐질 수 있으며, 우리는 캡슐의 부피가 원통의 부피와 구의 부피의 합이라고 말할 수 있습니다.

$$V_{캡슐} = \pi r^2h + \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2(\frac{4}{3}r + h)$$

여기서 r은 반지름이고 h는 원통형 부분의 높이입니다.

캡슐 부피 계산기 덕분에 원통의 부피를 계산하고 구의 부피를 더해 캡슐의 부피를 계산할 필요가 없습니다. 사용자는 높이와 반지름을 직접 입력할 수 있으며, 계산기는 캡슐의 부피를 출력할 것입니다.

약물을 분석, 개발 및 제조하는 제약 과학자들은 항상 좋은 캡슐 부피를 찾으려고 노력합니다. 캡슐은 캡슐당 필요한 약물의 양을 저장해야 하므로, 과학자들은 부피를 조정하기 위해 캡슐의 치수(높이와 반지름)를 다양하게 조정합니다.

구형 캡

이전 예제는 구를 반으로 나누어 반구를 언급했습니다. 한편, 구형 캡은 구가 평면으로 절단될 때 구의 일부인 형태입니다. 반구는 구형 캡의 특별한 경우로, 구가 두 동등한 부분으로 나뉩니다. 따라서 반구의 부피는 구의 부피의 절반입니다.

아래 그림은 (r)이 기저의 반지름, (R)이 구의 반지름, (h)가 구형 캡의 높이인 구형 캡의 예를 보여줍니다. 이 변수들 사이에는 관계가 있습니다. 따라서 이 세 값 중 두 값을 알면 세 번째 값을 계산할 수 있습니다.

• r과 R이 주어진 경우; $h=R±\sqrt{R^2-r^2}$
• r과 h가 주어진 경우; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• R과 h가 주어진 경우; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

여기서:

• r은 기저의 반지름,
• R은 구의 반지름,
• h는 구형 캡의 높이입니다.

구형 캡의 부피는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$V_{구형\ 모자}=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h)$$

구형 캡의 세 변수 중 두 개만 입력하면 충분합니다. 예를 들어, R = 1m이고 r = 0.25m라고 가정하면, 계산기는 0.00313 m³와 4.1856 m³의 두 가지 가능한 부피를 찾습니다. 그 이유는 무엇일까요?

다음을 회상하십시오.

$$h=R±\sqrt{R^2-r^2}$$

r과 r의 값을 주어진 경우, h는 두 값

$$h_1=R+\sqrt{R^2-r^2}$$

그리고

$$h_2=R-\sqrt{R^2-r^2}$$

를 가질 수 있습니다.

이는 $h_1$과 $h_2$를 사용할 때 다른 부피 값을 가질 수 있음을 설명합니다.

또한, 부등식 R ≥ r은 항상 유지되어야 하며, 그렇지 않으면 계산기는 "기저 반지름이 구 반지름보다 클 수 없습니다."라는 오류 메시지를 반환합니다. 이 오류는 사용자가 R과 r의 값을 혼동할 경우 유용합니다.

원뿔대

이 형태는 원뿔을 원형 표면에 평행한 수평 절단으로 잘라 얻을 수 있습니다. 이로 인해 두 개의 원형 및 두 개의 평행한 표면이 생성됩니다.

원뿔대의 부피는 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

$$V_{원뿔대}=\frac{1}{3}\pi h(r^2+rR+R^2)$$

여기서 h는 바닥과 상단 표면의 중심 사이의 높이이고, r은 상단 표면의 반지름이고, R은 바닥 표면의 반지름으로 R ≥ r입니다.

파티 장소에서 라바 케이크를 보았고 그 안에 35%가 녹은 초콜릿이라고 말했다고 상상해 보십시오.

만약 여러분이 진정한 수학 애호가라면 이것을 수학적 문제로 번역하고 싶을 것입니다. 그렇다면 상단과 하단 반지름과 높이를 측정하여 케이크 전체의 부피를 계산할 수 있습니다.

측정값이 r = 16 cm, R = 20 cm, h = 10 cm라고 가정하면,

우리는 원뿔대 부피 계산기에 값을 입력하여 단순히 케이크의 부피를 찾을 수 있습니다.

$$부피=\frac{1}{3}\pi h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}\pi 10(16^2+16×20+20^2)= 10220.648099679 \ 센티미터^3$$

또한, 10,220.65 cm³의 35%는 약 3,577.23 cm³의 초콜릿입니다.

타원체

구가 방향적으로 스케일링되어 변형될 때, 타원체라고 하는 표면이 생성됩니다. 타원체는 구와 다른 점들 사이의 거리가 같지 않은 구가 늘어난 것으로 생각할 수 있습니다.

따라서 타원체에는 세 축이 있고, 타원체의 부피는 타원체의 중심에서 이러한 각 축까지의 반지름에 관련하여 정의됩니다. 세 반지름 값은 a, b, c로 표시됩니다.

구에 대해 이야기할 때마다 우리는 항상 둥근 구를 생각하지만 타원형 공도 존재합니다! 럭비공을 보십시오. 치수가 a = 9.3 cm, b = 9.3 cm, c = 14.3 cm라고 가정해 보겠습니다.

타원체의 부피는 다음과 같이 주어집니다:

$$V_{타원체}=\frac{4}{3}π abc$$

a, b, c의 순서는 중요하지 않으며, 그것들을 섞어도 괜찮습니다.

타원체 부피 계산기를 사용하면 우리 럭비공의 부피를 얻을 수 있습니다.

$$부피=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9.3 × 9.3 × 14.3 = 5180.7250468112 \ 센티미터^3$$

정사각형 피라미드

피라미드를 언급하면 당신은 이집트의 고대 피라미드를 생각할 수 있습니다. 정사각형 피라미드는 정사각형 기저와 꼭지점으로 구성되어 있으며, 기저 원의 둘레에 있는 점들이 그 꼭지점과 선분으로 연결됩니다. 부피는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$$V_{사각 피라미드}=\frac{1}{3}a^2h$$

여기서 a는 정사각형 기저의 변이고, h는 정사각형 기저 중심에서 꼭지점까지의 높이입니다.

우리는 원래 지어진 대로의 크푸 피라미드의 치수를 취합니다; h = 146.6m 및 a = 230.33m. 크푸 피라미드의 부피는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$$부피=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230.33^2 × 146.6 = 2,592,469.9482467\ 미터^3$$

튜브

원통과 달리 튜브에는 외부 및 내부 직경이 있습니다. 따라서 튜브의 부피는 직경의 차이를 고려해야 합니다.

$$V_{관}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

이미 추측했듯이, d₁ 과 d₂ 는 각각 튜브의 외부 및 내부 직경입니다. l은 튜브의 길이입니다.

우리가 별장 부지에 파고 있는 우물을 위한 콘크리트 링의 부피를 계산하는 공식을 사용해 보겠습니다. 우리 링의 높이는 0.89미터, 외부 직경은 1.16미터, 내부 직경은 1미터입니다.

따라서 우리는 다음 계산을 가집니다:

$$부피=π\frac{1.16^2-1^2}{4} × 0.89 = 0.076896 π = 0.24\ 미터^3$$