삼각형 계산기

삼각형 계산기

삼각형 계산기는 세 가지 알려진 측정값을 기반으로 모든 삼각형 측정값을 빠르게 찾을 수 있는 온라인 삼각형 해결기입니다. 계산기는 삼각형의 변의 길이와 삼각형의 각도를 입력으로 받아 다음 측정값을 계산합니다:

• 누락된 변의 길이,
• 누락된 삼각형 각도,
• 면적,
• 둘레,
• 반둘레,
• 삼각형의 모든 변에 대한 높이,
• 삼각형의 모든 변에 대한 중선,
• 내접원 반지름,
• 외접원 반지름.

계산기는 또한 꼭짓점 A의 좌표가 [0, 0]이라고 가정할 때 꼭짓점, 무게중심, 내접원 중심, 외접원 중심의 좌표도 제공합니다.

사용 방법

이 삼각형 계산기를 사용하려면, 입력 필드에 세 가지 값을 입력하십시오. 각도 또는 변의 길이 값 중에서 값을 입력할 수 있습니다. 적어도 하나의 값은 변의 길이를 나타내야 합니다; 그렇지 않으면 삼각형은 무한한 해를 가질 수 있습니다.

값을 입력한 후, 삼각형 각도의 단위를 선택하십시오. 도(degree) 또는 라디안(radian) 중에서 선택할 수 있습니다. 라디안을 선택할 때는 π를 "pi"로 나타냅니다. 예를 들어, 각도 값이 \$\frac{π}{3}\$인 경우, "pi/3"을 입력하십시오. 알려진 값을 입력한 후, "계산"을 누르십시오. 계산기는 위 목록에서 누락된 모든 값을 반환하며, 이는 삼각형을 더 잘 시각화하는 데 도움이 될 스키마틱 뷰를 제공합니다.

정답 후에는 - 계산 단계 표시 - 다음 필드를 확장하여 해결 알고리즘과 답을 찾는 데 사용된 공식을 숙지할 수 있습니다.

입력 값에 대한 제한

알려진 값 중 적어도 하나는 변의 길이여야 합니다.

두 각도와 한 변의 길이의 조합 값을 입력할 때, 각도 값의 합이 180° 또는 π 미만이어야 합니다.

세 변의 길이를 입력할 때, 어떤 두 변의 길이의 합이 나머지 변의 길이보다 커야 합니다.

계산 예시

당신이 이사를 가고 친구에게서 트럭을 빌리고 싶다고 상상해 보십시오. 트럭을 싣고 내리는 데 필요하지만, 내장된 램프가 없습니다. 휴대용 램프가 있지만, 트럭의 높이에 맞는지 확인해야 합니다. 램프는 조절할 수 없으며, 두 변의 길이가 1m와 0.8m이며, 1m 변의 반대편 각도가 85도라는 것을 측정했습니다(이미지 참조). 트럭의 높이를 0.5m에서 1m까지 조정할 수 있습니다. 램프가 맞습니까?

주어진 데이터

• 변 b = 1;
• 변 c = 0.8;
• 각도 B = 85도.

해결책

램프가 트럭에 맞는지 확인하기 위해, 위의 삼각형을 풀고 트럭의 높이에 주어진 범위에 변 A의 길이가 맞는지 추정해야 합니다: 0.5 < a < 1.

위에서 제시된 값을 삼각형 계산기에 입력하면, 작업에서 필요한 누락된 변의 길이를 제외한 나머지 답은 실제 예제에서 보여주지 않습니다. 삼각형 해결기는 여전히 그들을 계산하지만:

정답

• 변 a = 0.67376

• 변 b = 1

• 변 c = 0.8

• 각도 A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad

• 각도 B = 85° = 1.48353 rad

• 각도 C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad

램프는 다음과 같습니다:

우리는 a ≈ 0.674임을 보고, 트럭의 높이를 0.5 < a < 1 범위로 조정할 수 있음을 알고 있습니다. 이는 램프 높이가 트럭의 조절 가능한 높이에 맞고, 친구에게서 트럭을 빌릴 수 있다는 것을 의미합니다!

삼각형: 정의와 중요한 공식들

기하학에서 삼각형은 세 개의 직선이 교차하여 만들어지는 평면 도형입니다. 삼각형은 또한 세 개의 꼭짓점과 세 개의 변을 가진 다각형으로도 설명될 수 있습니다. 삼각형의 변은 보통 변이라고 불립니다.

삼각형의 존재 조건

삼각형의 존재를 정의하는 두 가지 조건이 있습니다; 하나는 변에 적용되고 다른 하나는 각도에 적용됩니다. 변에 대한 조건은 삼각형 부등식에 기반합니다. 이는 삼각형의 어떤 두 변의 길이의 합이 나머지 세 번째 변의 길이보다 크거나 같아야 한다고 명시합니다. 두 변의 길이의 합이 세 번째 변의 길이와 같은 경우, 그 삼각형은 퇴화된 삼각형이라고 불립니다.

퇴화된 삼각형은 세 꼭짓점이 모두 같은 직선 위에 있는 삼각형입니다. 이는 일반적으로 초등 기하학에서 논의되지 않는 매우 특별한 경우의 삼각형이며, 따라서 여기에서는 고려되지 않습니다.

각도에 대한 조건은 어떤 삼각형의 세 각의 합이 항상 180° 또는 π 라디안이라고 명시합니다.

삼각형의 측정값

삼각형의 가장 중요한 측정값을 정의하고 그 값을 계산하는 공식을 살펴봅시다.

삼각형의 둘레는 모든 변의 길이의 합으로 다음과 같이 찾을 수 있습니다:

p = a + b + c

삼각형의 반둘레는 삼각형의 둘레 길이의 반입니다:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

삼각형의 넓이는 삼각형이 평면 위에 차지하는 공간을 설명하는 속성입니다. 삼각형의 두 변의 길이와 이 두 변 사이의 각도가 알려져 있을 때, 삼각형의 넓이는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$$A=\frac{1}{2}ab\sin{C}$$

삼각형의 높이, 또는 고도는 한 각도에서 반대편 변으로 내린 수직선입니다. 모든 삼각형에는 세 변이 있으므로, 모든 삼각형에는 세 개의 수직선이 있습니다. 변 A에 수직인 높이는 보통 hₐ로 표시됩니다. 마찬가지로, 다른 두 높이는 h_b와 h_c로 표시됩니다. 삼각형의 높이를 찾는 가장 쉬운 방법은 그 넓이를 통하는 것입니다:

$$A=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

삼각형의 한 변에 대한 중선은 삼각형의 꼭짓점에서 반대편 변의 중앙으로 이어지는 선입니다. 모든 삼각형은 세 개의 중선을 가집니다.

변 a에 대한 중선은 보통 mₐ로 표시됩니다. 마찬가지로, 다른 두 중선은 m_b와 m_c로 표시됩니다. 다음 공식을 사용하여 중선의 길이를 찾을 수 있습니다:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

삼각형의 내심반지름은 삼각형 내부에 내접하는 원의 반지름이며, 모든 변에 접합니다.

내심반지름 r의 길이는 다음과 같이 찾을 수 있습니다:

$$r=\frac{A}{s}$$

삼각형의 외심반지름은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원의 반지름입니다.

사인 법칙을 사용하여 외심반지름 R의 길이를 찾을 수 있습니다:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

사인 법칙은 삼각형의 누락된 변의 길이나 각도를 찾는 데에도 매우 유용합니다. 또 다른 유용한 법칙은 코사인 법칙입니다:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

위에 나열된 공식을 사용하여 모든 삼각형 측정값을 계산할 수 있습니다. 삼각형 계산기는 이러한 공식을 사용하여 누락된 값을 찾습니다.