순열 계산기

순열

순열 계산기는 n개의 서로 다른 객체를 배열하는 방법의 수를 계산합니다. 한 번에 r개의 요소를 샘플링합니다. 객체들을 순서가 중요한 그룹으로 배열하는 가능한 배열의 수를 알려줍니다. 배열할 총 객체의 수는 n으로 표시되며, 각 그룹의 요소 수는 r로 표시됩니다.

예를 들어, XYZ의 글자를 각각 두 글자의 그룹으로 배열하고자 한다면, 우리는 XY, XZ, YZ, YX, ZX, ZY의 6가지 방법을 가질 것입니다.

이 계산기를 사용하려면, 배열할 객체의 총 수인 n을 입력하고, 각 그룹의 요소 수인 r을 입력한 다음 "계산하기"를 클릭하세요.

순열

집합의 순열은 그 구성원들을 순서나 특정한 배열로 정렬하는 것입니다. 집합이 이미 순서대로 있다면, 그것은 그 요소들의 순열입니다. 순열에서는 요소들의 순서가 중요합니다. 예를 들어, AB와 BA 순열은 두 가지 다른 순열입니다. n개의 객체에서 r개의 객체의 샘플로 순열의 수는 nPr로 표시됩니다.

순열의 수를 계산하는 것은 배열되는 객체에 달려 있습니다. 또한 반복이 허용되는지 여부에 따라 달라집니다. 특별히 명시되지 않는 한, 순열을 계산할 때는 반복이 허용되지 않는다고 가정합니다.

이 글에서는 반복 없는 순열의 예를 살펴볼 것입니다.

순열은 계산의 기본 원리를 따릅니다. 실험이 k 이벤트로 구성되어 있고 첫 번째 이벤트가 n₁ 번 발생하고, 두 번째 이벤트가 n₂ 번 발생하는 등, k번째 이벤트가 nₖ 번 발생한다면, 실험이 순차적으로 발생할 수 있는 방법의 수는 개별 이벤트가 발생하는 횟수의 곱, n₁ × n₂ × ... × nₖ로 주어집니다.

예를 들어, ABC의 글자를 반복 없이 순열로 가능한 배열의 수를 알고 싶다고 가정해 봅시다. 첫 번째 글자로 올 수 있는 것은 어느 글자나 될 수 있으므로 첫 번째 글자를 설정하는 방법은 3가지입니다.

첫 번째 글자가 정해진 후에는 두 글자가 남아 있고, 두 글자 중 어느 하나가 두 번째 글자로 설정될 수 있으므로 두 번째 글자를 설정하는 방법은 두 가지입니다. 두 번째 글자가 정해진 후에는 한 글자만 남습니다. 따라서 세 번째 글자를 설정하는 방법은 하나뿐입니다.

따라서 기본 계산 원리에 따라 ABC 글자를 배열하는 방법은 3 × 2 × 1 = 6가지입니다. 그것들은 ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA입니다.

팩토리얼

위에서 우리는 3개의 서로 다른 객체의 순열 수가 3 × 2 × 1 = 6임을 밝혔습니다. 일반적으로 n개의 객체의 순열 수(전체)는 n × (n-1) × (n-2) × ... × 1로 주어집니다.

즉, n부터 1까지 모든 정수의 곱입니다. 정수, 예를 들어 n부터 1까지 모든 정수의 곱을 팩토리얼이라고 하며 느낌표(!)로 표시됩니다.

따라서, n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1이며, n 팩토리얼이라고 합니다.

0!=1 그리고 1!=1임을 유의하세요.

순열의 예

올림픽에서 경주용 표준 트랙은 보통 9개의 레인을 가지고 있습니다. 그러나, 100미터 경주의 경우, 보통 1번 레인은 사용되지 않습니다. 8명의 선수들이 2번에서 9번 레인에 일렬로 배치됩니다. 2번에서 9번 레인에 8명의 선수들을 배치하는 가능한 방법은 몇 가지입니까?

기본 계산 원리에 의해:

• 8명의 선수 중 아무나 2번 레인을 받게 됩니다,
• 남은 7명의 선수 중 아무나 3번 레인을 받게 됩니다,
• 남은 6명의 선수 중 아무나 4번 레인을 받게 됩니다,
• 남은 5명의 선수 중 아무나 5번 레인을 받게 됩니다,
• 남은 4명의 선수 중 아무나 6번 레인을 받게 됩니다,
• 남은 3명의 선수 중 아무나 7번 레인을 받게 됩니다,
• 남은 2명의 선수 중 아무나 8번 레인을 받게 됩니다,
• 남은 한 명의 선수가 9번 레인을 받게 됩니다.

따라서, 8개의 트랙에 배치될 수 있는 8명의 선수들의 총 가능한 순열 수는 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 가지 방법입니다.

순열 계산기에서 객체(n)와 샘플(r) 박스에 모두 8을 입력하고 계산을 클릭하면 40,320을 얻을 수 있습니다.

부분집합의 순열

이전 예제에서는 모든 객체가 배열에 고려될 때 객체의 순열을 살펴보았습니다. 그러나 객체가 더 작은 그룹으로 배열되는 상황도 있습니다.

이러한 경우, 총 객체의 수는 n으로, 그룹(샘플) 내 객체의 수는 r로 표시되며, 공식은 순열의 수를 제공합니다:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

이 공식은 반복 없이 순열을 계산하는 데 사용됩니다. 그리고 n 집합에서 샘플 r을 취하여 특정 순서대로 배열해야 하는 경우에 사용합니다.

집합의 모든 요소를 특정 순서로 배열하는 방법의 수를 계산하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다:

$$ₙPᵣ=n!$$

예제

위의 예제에서는 100미터 경주에서 모든 8명의 주자가 가능한 방법으로 배열될 수 있는 수를 살펴보았습니다. 이제 같은 경주에서 세 개의 메달이 걸려 있습니다. 경주에서 1등은 금메달을, 2등과 3등은 각각 은메달과 동메달을 받습니다. 경주에서 8명의 주자 중 금, 은, 동메달리스트를 얻을 수 있는 가능한 방법은 몇 가지입니까?

기본 계산 원리에 따라, 8명의 주자 중 어느 누구나 첫 번째 위치를 차지할 수 있습니다. 첫 번째 위치가 채워진 후, 두 번째 위치를 위해 경쟁할 남은 주자는 일곱 명이 됩니다. 그리고 두 번째 위치 후에는 세 번째 위치를 위해 경쟁할 주자는 여섯 명이 됩니다. 따라서, 8명의 주자에서 첫 번째에서 세 번째 위치까지의 총 가능한 순열의 수는: 8 × 7 × 6 = 336

우리는 공식을 사용합니다:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

그리고 우리는 얻습니다

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

그리고 순열 계산기에서 n(객체) 박스에 8을 입력하고 r(샘플) 박스에 3을 입력한 다음 "계산하기"를 클릭하여 336을 얻습니다.

순열과 조합: 차이점

또 다른 중요한 계산 기법은 조합입니다. 조합은 더 큰 수의 객체, n에서 더 작은 수의 객체(샘플), r을 선택하는 다양한 방법입니다. n개의 객체에서 r개의 객체의 조합 수는 단순히 ₙCᵣ로 표시됩니다.

순열의 정의에서 우리는 순서나 배열이 중요하다고 언급했습니다. 글쎄요, 그것이 순열과 조합의 차이점입니다. 왜냐하면 조합에서는 순서가 중요하지 않기 때문입니다.

예를 들어, 우리는 XYZ의 글자를 각각 두 글자의 그룹으로 순열을 다음과 같이 XY, XZ, YZ, YX, ZX, ZY라고 했습니다. 그래서 우리는 여섯 가지 순열을 얻습니다.

그러나 XYZ의 글자를 각각 두 글자의 그룹으로 조합하면 XY, XZ, YZ; 세 가지 조합입니다. 이는 조합에서 XY와 YX가 같은 조합으로 간주되기 때문이며, XZ와 ZX, YZ와 ZY도 마찬가지입니다. 따라서 조합을 계산할 때 순서는 중요하지 않습니다.

n개의 객체에서 r개의 객체의 조합 수를 제공하는 공식:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

조합 계산의 예

위의 주자 예제에서, 우리는 8명의 주자 그룹에서 첫 번째, 두 번째, 세 번째 위치를 선택할 수 있는 방법의 수를 얻었습니다. 우리는 8명의 주자 그룹에서 3명의 메달리스트를 그들의 위치를 고려하지 않고 선택할 수 있는 방법의 수를 알고 싶다고 가정해 보겠습니다. 주자가 메달을 획득한다면, 그 사람이 첫 번째, 두 번째, 세 번째 중 어떤 것이든 상관없습니다.

이 경우, 메달의 순서가 중요하지 않기 때문에 조합이 사용됩니다. 따라서 우리는 조합 공식을 사용하여 이를 해결합니다.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

8명의 주자에서 3명의 메달리스트를 선택할 수 있는 방법의 수는 다음과 같이 주어집니다:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

순열 계산 예제

1. 뉴스 프로듀서는 분석 프로그램을 위해 5명의 게스트 스피커 중 3명을 선택할 수 있습니다. 게스트의 순서가 중요합니다. 프로듀서는 게스트의 발표를 몇 가지 다른 방법으로 구성할 수 있을까요? 순서가 중요하고 반복 사용이 불가능합니다. 왜냐하면 같은 게스트가 같은 뉴스 프로그램에 두 번 등장할 수 없기 때문입니다. 따라서, 우리는 순열 공식을 사용할 수 있습니다.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

따라서 프로듀서는 스피커를 구성하는 60가지 방법을 가지고 있음을 알 수 있습니다.

2. 식당 비평가는 상위 3개 스시 식당을 순위매기기 위해 마을에서 좋은 스시를 제공하는 10개의 식당을 선택했습니다. 순위에서의 장소를 보여주는 순서대로 식당을 제시해야 합니다. 또한 같은 장소가 순위에 여러 번 나타날 수 없습니다. 따라서, 우리는 순열 공식의 요구사항을 충족합니다 - 순서가 중요하고 반복이 없어야 합니다. 우리는 순열 공식을 사용합니다:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. 순열에 있어서 순서가 중요하다고 할 때, 그 순서가 반드시 1부터, 예를 들어, 10이나 다른 숫자까지의 숫자 순서여야 한다는 것을 의미하지는 않습니다. 순서는 우리가 집합의 요소들을 할당하는 특정 객체들에 의해 형성될 수 있습니다.

예를 들어, 집수리 회사의 매니저가 오늘 방을 칠하는 4개의 주문을 가지고 있다고 가정해 보세요. 그것들은 비자 대행사의 사무실, 공장의 창고, 의류점 그리고 개인 주택의 방입니다. 회사에는 6명의 페인터가 있습니다. 각각의 페인터는 하루 동안 1개의 시설에 갈 수 있습니다. 나머지 두 명의 페인터는 하루를 쉽니다.

이 객체들은 비자 대행사의 사무실, 공장의 창고, 의류점 그리고 개인 주택의 방으로, 1, 2, 3, 4번 위치의 아날로그입니다.

매니저는 다음과 같습니다:

• 사무실에 배정될 수 있는 6명의 지원자,
• 창고에 배정될 남은 5명의 지원자,
• 상점에 보낼 남은 4명의 지원자,
• 개인 주택의 방에 배정될 수 있는 남은 3명의 지원자.

그래서, 직관적으로 우리는 선택의 수를 6 × 5 × 4 × 3 = 360로 설명할 수 있습니다.

페인터들이 객체들에 배포되는 순서가 중요하다는 조건을 주어졌습니다. 반복이 허용되지 않습니다, 즉, 한 페인터가 같은 날에 한 개 이상의 객체에서 작업하는 것입니다. 그래서 우리는 이미 사용한 순열 공식을 적용할 수 있습니다.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

이 조건에서 주어진 페인터들 사이에 주문을 할당할 수 있는 360가지 다른 방법이 있음을 알 수 있습니다.