이차 방정식 공식 계산기

이차방정식계산기사용법

이계산기는이차방정식을풀기위한사용하기쉬운도구입니다. 대수학에서이차방정식은다음형식으로표현될수있는모든방정식을의미합니다:

ax²+bx+c=0

여기서

a≠0

이차방정식계산기를사용하려면, A, B, C의값을해당필드에입력하고 "계산하기"를누르세요. A의값은 0이될수없으며, B와 C에는 0을입력해도괜찮습니다. 실수및복소수해의경우, 계산기는주어진방정식의모든해를찾기위해이차공식을사용합니다. 이차공식을사용한후, 계산기는또한결과적인근을간소화하여가장단순한형태로해를찾습니다.

이차방정식이차공식으로풀기

이차공식을사용하면어떤이차방정식이든풀수있습니다. 이차공식을사용하려면, 먼저주어진방정식을다음형식으로만들어야합니다: ax²+bx+c=0. 그런다음, 해는다음과같이찾을수있습니다:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

방정식의제곱근아래부분인 b²-4ac는판별식이라고합니다.

• 판별식이양수인경우, b²-4ac>0, 방정식은두개의실수해를가집니다.
• 판별식이음수인경우, b²-4ac<0, 방정식은음수의제곱근이복소수이기때문에두개의복소수해를가집니다.
• 판별식이 0과같은경우, b²-4ac=0, 방정식은하나의해만가집니다.

이차방정식계산기는입력된방정식의해와이해들을찾는과정을표시합니다. 계산기는또한판별식을계산하고이것이양수인지, 음수인지, 또는 0과같은지를보여줍니다.

실용적인예시들

예제 1 (실수해를가진경우)

이차방정식을풀어봅시다:

2x²+3x-2=0

이예제에서는

a=2, b=3, c=-2 입니다.

이값들을이차공식에적용하면다음과같습니다:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

이방정식의판별식은양수입니다,

b²-4ac=25>0

따라서이방정식은두개의실수해를가집니다.

이제결과적인근을간소화해봅시다:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ 그리고\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ 그리고\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ 그리고\ \ \ x=-2$$

마지막으로,

x=0.5

x=-2

예제 2 (복소수해를가진경우)

다음이차방정식을풀어봅시다:

x²+2x+5=0

이예제에서는

a=1, b=2, c=5입니다.

이값들을이차공식에적용하면다음과같습니다:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

이방정식의판별식은음수입니다,

b²-4ac=-16<0

따라서이방정식은두개의복소수해를가집니다.

이제결과적인근을간소화해봅시다:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

마지막으로,

x=-1+2i

x=-1-2i

예제 3 (하나의해를가진경우)

다음이차방정식을풀어봅시다:

3x²+6x+3=0

이예제에서는

a=3, b=6, c=3입니다.

이값들을이차공식에적용하면다음과같습니다:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

이방정식의판별식은 0과같습니다, b²-4ac=0. 따라서이방정식은하나의해를가집니다.

$$x=\frac{-6}{6}$$

마지막으로,

x=-1

이차방정식공식유도

앞서보여진바와같이, 판별식이양수이든, 음수이든, 또는 0이든관계없이모든이차방정식은이차공식을사용하여풀수있습니다. 이제이공식이어떻게유도되는지살펴보겠습니다. 공식유도의기본원리를아는것은공식자체를잊었을때매우유용할수있습니다.

이차공식의유도알고리즘은상대적으로간단하며제곱의완성과정에기반을둡니다. 표준이차방정식 ax²+bx+c=0의해를유도하기위해서는아래의단계를따라야합니다:

1. 방정식이있습니다:

ax²+bx+c=0

상수 C를방정식의오른쪽으로이동하세요:

ax²+bx=-c

2. 제곱항 x² 옆의계수 A를없애기위해방정식을 A로나눕니다:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. 방정식의양쪽에

$$(\frac{b}{2a})^2$$

를더하세요:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. 이제왼쪽항은

x²+2dx+d²

형태를가지며이표현은

(x+d)²

로재작성될수있습니다.

여기서 d는

$$\frac{b}{2a}$$

로표현됩니다.

따라서:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

이를방정식의왼쪽에대입하고, 우선오른쪽항은그대로두세요:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

이제방정식에서루트 x가단한번만나타납니다.

5. 방정식의양쪽에서제곱근을추출하세요:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. $\frac{b}{2a}$를방정식의오른쪽으로이동하세요:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. 방정식의오른쪽을

$$\frac{2a}{2a}$$

로곱하세요:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. 방정식을간소화하세요:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. 결과적으로, 우리는이차공식을얻습니다:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

이차방정식에대한흥미로운사실들

• 이차방정식의두해의합은

$$\frac{-b}{a}$$

입니다. 따라서이차방정식의판별식 b²-4ac가 0과같을경우, 방정식의유일한해를

$$\frac{-b}{2a}$$

로찾을수있습니다.

• 이차방정식의두해의곱은

$$\frac{c}{a}$$

입니다.

• "이차(quadratic)"라는용어는 "네모(사각형, square)"를의미하는라틴어 "quadratus"에서유래했습니다. 변수의최고차수가 2이므로, 즉변수가 "제곱" 되어있기때문에이차방정식이라고불렸습니다.

• 현재의형태로이차공식은 628년에인도의수학자브라마굽타(Brahmagupta)에의해처음으로기술되었으며, 그는심볼대신단어를사용하여해결책을논의했습니다. 그러나브라마굽타는제곱근앞의중요한±기호를생략하고두가지가능한해중하나만설명했습니다.

• 이차함수 y=ax²+bx+c 의그래프는포물선입니다. 이차방정식의해, 즉뿌리는실제로그래프가 x축과교차하는좌표입니다. 방정식에실수해가두개있으면그래프는 x축과두번교차합니다. 방정식에해가하나만있는경우, 해당포물선의그래프는최대점이나최소점에서 x축을닿기만합니다. 방정식에실수해가없으면해당포물선의그래프는 x축과전혀교차하지않습니다.

• 제곱항의계수 A의값이 0에가까워지면, 해당포물선의그래프는점차평평해져결국직선이되는경향이있습니다. a=0일때, 방정식은선형이되며, 그그래픽표현은당연히직선입니다!

• 마찬가지로, a>0일때포물선은위로향하며, a<0이면해당포물선은아래로열립니다. a=0이면 "포물선"은평평하며, 즉직선입니다.

이차방정식은과학의모든분야에서널리사용됩니다. 예를들어, 물리학에서는이차방정식이투사체운동을설명하는데사용됩니다.