표본 크기 계산기

표본 크기 계산기에는 두 가지 구성 요소가 있습니다. 첫 번째 구성 요소는 표본 크기를 계산하는 것이고, 두 번째 구성 요소는 오차 범위를 결정하는 것입니다.

표본 크기 결정에서 첫 번째 단계는 드롭다운 목록에서 신뢰 수준을 선택하는 것입니다. 다음으로, 상대적 오차 범위를 입력하세요. 절대 오차를 점 추정치에서 나누어 절대 오차를 상대적 용어로 변환할 수 있습니다.

그런 다음, 모집단 비율을 알고 있다면 입력하세요. 그렇지 않다면 50%로 유지하세요. 마지막 셀에 모집단 크기를 알고 있다면 입력하고, 그렇지 않다면 비워 두세요. 마지막으로 "계산하기"를 클릭하세요.

계산기의 두 번째 구성 요소를 사용하여 오차 범위를 얻으세요. 첫 번째 단계로 드롭다운 메뉴에서 신뢰 수준을 선택하세요. 두 번째 셀에 연구의 표본 크기를 입력하세요. 이후에 모집단 비율을 입력하세요. 마지막 셀에 모집단 크기를 입력하세요. 모집단 크기를 모른다면 그 셀을 비워 두세요. 마지막으로 "계산하기"를 클릭하세요.

표본

모집단의 일부 또는 부분을 표본이라고 합니다. 모집단은 특정 연구에서 관심 있는 모든 요소를 말합니다. 선택한 연구의 모집단의 모든 요소를 연구하는 것이 모집단을 조사하는 이상적인 방법입니다. 그러나 많은 요인으로 인해 모집단의 모든 항목을 조사하는 것은 종종 실용적이지 않습니다. 예를 들어, 연구가 정글 속 곤충에 관한 것이라면 모집단은 무한합니다. 따라서 전체 모집단을 연구할 수 없습니다. 때때로 테스트할 때 연구의 항목이 파괴될 수 있습니다.

예를 들어, 밀봉된 소프트 드링크 병의 용량을 확인하기 위해 열었을 때, 그 소프트 드링크 병을 시장에 보낼 수 없습니다.

전체 모집단을 조사하려면 많은 시간, 돈, 그리고 다른 자원이 필요합니다. 대부분의 경우, 제한된 시간, 돈, 그리고 다른 자원으로 연구를 완료해야 합니다. 대부분의 경우 전체 모집단을 조사하는 것은 실용적이지 않습니다. 해결책은 표본을 선택하고 연구를 수행하는 것입니다.

오차 범위

대부분의 경우 모집단의 모든 구성 요소를 조사할 수 없습니다. 따라서 표본 통계(표본에서 계산된 측정값)는 종종 모집단 매개변수(모집단에서 계산된 측정값)를 추정하는 데 사용됩니다. 표본 통계는 표본에서 관찰되거나 측정된 실제 데이터에서 유래됩니다. 모집단 매개변수에 대해 단일 숫자를 추정할 때 이를 점 추정이라고 합니다.

예를 들어, 생산 라인의 소프트 드링크 병의 평균 용량을 추정하고자 할 때, 무작위 배치를 선택하고 그 배치의 평균 용량을 찾을 수 있습니다. 그 배치의 평균 용량 x̄가 250ml라고 상상해 봅시다. 따라서, 생산 라인의 각 병에는 평균적으로 250ml의 용량이 있다고 추정합니다($\hat{μ}$).

실제로, 실제 매개변수와 추정된 매개변수는 같지 않습니다. 이 차이는 전체 모집단이 아닌 표본을 사용하여 매개변수를 추정할 때 발생합니다.

오차 범위는 매개변수의 점 추정치와 실제 값 사이의 최대 가능한 차이로 정의됩니다. 이는 종종 추정의 최대 오류로 언급됩니다.

신뢰 구간

신뢰 구간은 추정 범위를 나타냅니다. 추정 범위 또는 신뢰 구간은 특정 오차 범위 내에서 매개변수가 추정되었음을 제안합니다. 신뢰 구간의 하한을 결정하기 위해, 점 추정치에서 오차 범위를 뺍니다. 신뢰 구간의 상한을 결정하기 위해, 점 추정치에 오차 범위를 더합니다.

통계에서의 표본, 오차 범위 및 신뢰 구간 간의 상호 연결

전체 모집단을 연구하는 대신, 우리는 모집단의 매개변수를 추정하기 위해 표본을 연구합니다. 따라서 모집단의 추정된 매개변수와 실제 매개변수 사이에 차이가 있을 수 있습니다. 오차 범위는 매개변수의 점 추정치와 실제 값 사이의 최대 가능한 차이입니다. 또한, 표본 크기와 오차 범위 사이에는 역의 관계가 있습니다. 더 큰 표본 크기는 모집단의 더 정확한 대표를 결과로 하여 오차 범위를 낮출 것입니다. 마찬가지로, 표본 크기를 줄이면 오차 범위가 증가합니다.

이 오차 범위를 점 추정치에 적용할 때 신뢰 구간이 얻어집니다.

표본 크기 계산 공식

사용 가능한 정보에 따라 표본 크기를 계산하기 위한 다양한 공식이 있습니다.

원하는 신뢰 수준은 정확도의 정도를 결정하며, 오차 범위에 대한 최대 범위는 우리가 범위 추정으로 달성하고자 하는 정밀도의 정도를 결정합니다.

모집단 표준 편차를 알고 있다면, 아래 공식을 사용하여 원하는 신뢰 구간을 얻기 위한 최소 표본 크기를 계산할 수 있습니다.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

최종 결과 n은 가장 가까운 정수로 올림해야 합니다.

코크란 공식은 원하는 오차 범위, 원하는 신뢰 수준, 그리고 모집단 내 존재하는 속성의 예상 비율을 기반으로 최소 표본 크기를 결정할 수 있게 해줍니다. 코크란 공식은 다음과 같습니다.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = 원하는 신뢰 수준에 기반한 z-표에서의 Z 값
• p = 모집단 내 존재하는 속성의 예상 비율
• E = 오차 범위

예제 1

우리가 캐나다의 학부 과정에 등록된 국제 학생들에 대해 연구한다고 상상해 보세요. 초기에 우리는 많은 정보를 가지고 있지 않습니다. 따라서, 우리는 캐나다의 모든 학부생 중 국제 학생들이 60%를 차지한다고 가정합니다. 결과적으로, 모집단 내 속성의 추정 비율은 60%입니다. 우리는 95%의 신뢰 수준과 4%의 오차 범위를 원합니다. 연구의 최소 표본 크기에 포함되어야 하는 학생 수는 몇 명입니까?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

따라서, 95%의 신뢰 수준과 4%의 오차 범위를 얻기 위해 연구에 최소 577명의 학생이 포함되어야 합니다.

위의 공식은 모집단 크기가 크거나 무한할 때 사용됩니다. 모집단 크기가 작거나 유한할 경우, 표본 크기를 조정해야 합니다. 표본 크기는 아래 공식을 사용하여 조정됩니다.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = 코크란 공식에서 계산된 표본 크기
• N = 모집단 크기
• n = 유한 모집단을 위해 조정된 표본 크기

예제 2

캐나다의 당신이 공부하고 있는 대학의 학부 과정에 등록된 국제 학생들에 대해 연구한다고 상상해 보세요. 초기에 우리는 많은 정보를 가지고 있지 않습니다. 따라서, 우리는 당신의 대학의 모든 학부생 중 국제 학생들이 60%를 차지한다고 가정합니다. 결과적으로, 모집단 내 속성의 추정 비율은 60%입니다. 당신의 대학의 전체 학생 수는 12,000명입니다. 우리는 95%의 신뢰 수준과 4%의 오차 범위를 원합니다. 연구의 최소 표본 크기에 포함되어야 하는 학생 수는 몇 명입니까?

이 경우, 먼저 코크란 공식을 사용하여 n₀를 계산한 다음 모집단이 유한하기 때문에 표본 크기를 조정해야 합니다.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

최소 표본 크기 계산기를 사용하면, 위와 같은 복잡한 계산을 1초 미만으로 완료할 수 있습니다.

오차 범위 계산 공식

표본 크기 공식을 재정렬하여 오차 범위 공식을 찾을 수 있습니다.

최소 표본 크기 공식이 다음과 같다는 것을 알고 있습니다,

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

위의 공식에서 E 또는 오차 범위를 주제로 만듭시다.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

예제 3

캐나다의 학부 과정에 등록된 국제 학생들에 대해 연구한다고 상상해 보세요. 초기에 우리는 많은 정보를 가지고 있지 않습니다. 따라서, 우리는 캐나다의 모든 학부생 중 국제 학생들이 60%를 차지한다고 가정합니다. 결과적으로, 모집단 내 속성의 추정 비율은 60%입니다. 우리는 95%의 신뢰 수준을 원하며, 당신은 연구를 위해 577명의 학생을 선택합니다. 당신의 연구의 오차 범위는 얼마입니까?

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

모집단이 유한한 경우, 아래 공식을 사용하여 먼저 n₀를 찾아야 합니다.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

그런 다음, 다음 공식에 답을 적용하여 오차 범위를 찾습니다:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

최소 표본 크기 계산기의 두 번째 구성 요소는 이러한 모든 단계를 건너뛰고 1초 미만으로 오차 범위를 계산하는 데 도움을 줍니다.

신뢰 구간을 계산하는 공식

오차 범위를 알고 있다면 신뢰 구간을 결정하는 것은 간단합니다. 아래에 표시된 공식을 사용하여 신뢰 구간을 계산합니다.

신뢰 구간 = 점 추정치 ± 오차 범위

신뢰 구간의 상한 = 점 추정치 + 오차 범위

신뢰 구간의 하한 = 점 추정치 - 오차 범위

평균 μ에 대한 신뢰 구간은,

x̄ - E < μ < x̄ + E

여기서 x̄ - E는 하한이고, x̄ + E는 상한입니다.

P에 대한 신뢰 구간은,

p - E < P < p + E

예제 4

캐나다에서 공부하는 국제 학생들의 평균 프로그램 비용에 대해 연구하고 있습니다. 표본으로 1,000명의 학생을 선택했으며, 표본을 기반으로 캐나다에서 공부하는 국제 학생들의 평균 프로그램 비용이 CAD 20,000이라고 추정합니다. 오차 범위는 CAD 5,000입니다. 캐나다에서 공부하는 국제 학생들의 평균 프로그램 비용에 대한 신뢰 구간을 찾으세요.

상한 = x̄ + E = CAD 20,000 + CAD 5,000 = CAD 25,000

하한 = x̄ - E = CAD 20,000 - CAD 5,000 = CAD 15,000

따라서 신뢰 구간은,

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15,000 < μ < CAD 25,000