세제곱근 계산기

이 계산기는 주어진 수의 모든 세제곱근을 찾는 데 사용할 수 있습니다. 실제 루트와 허수 루트 모두를 찾습니다.

사용 방법

수의 세제곱근을 찾으려면, 입력 필드에 해당 숫자를 입력하고 ""계산하기"" 버튼을 누르세요. 계산기는 ""주요(실제) 루트""와 ""모든 루트"" 두 부분으로 답을 표시합니다. 여기서 ""모든 루트""에는 주요 루트와 허수 루트가 포함됩니다.

계산기는 양의 정수와 음의 정수를 입력으로 받습니다. 분수와 허수는 허용되지 않습니다. 분수나 허수를 입력할 경우, 이 세제곱근 계산기는 첫 번째 비숫자 기호 뒤의 모든 것을 자동으로 무시합니다. 예를 들어, 8/15를 입력하면, 계산기는 8의 세제곱근을 계산합니다; 5 + 3i를 입력하면, 5의 세제곱근이 계산됩니다.

세제곱근 정의

수의 세제곱근은 원래 숫자를 얻기 위해 세 번 곱해야 하는 수로 정의됩니다. x의 세제곱근은 일반적으로 ∛x로 표시됩니다. 정의에 따르면, y는 x의 세제곱근입니다:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

만약

$$y \times y \times y = x$$

라면

숫자의 세제곱근, ∛x를 취하는 것은 그 숫자를 1/3의 제곱으로 올리는 것과 동일합니다:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

세제곱근 연산은 수의 세제곱을 찾는 것의 반대입니다. 수의 세제곱을 찾으려면, 그 수를 세 번 곱해야 합니다:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

그리고 반대로,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

완전 세제곱수

완전 세제곱수는 그 세제곱근이 정수인 숫자를 말합니다. 예를 들어, 8은 완전 세제곱수입니다. 왜냐하면:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

정수는 양수와 음수 모두 될 수 있는 전체 수이기 때문에, 완전 세제곱수는 양수와 음수 모두 될 수 있습니다. 예를 들어, -8도 완전 세제곱수입니다. 왜냐하면:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0도 정수이며

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

따라서 0도 완전 세제곱수입니다.

반면에, 4는 완전 세제곱수가 아닙니다. 왜냐하면 4의 실제 세제곱근은:

∛4 ≈ 1.58740105

이고 이는 정수가 아니기 때문입니다.

세제곱근의 성질

음수의 세제곱근은 양수의 세제곱근의 음수로 정의됩니다. 즉,

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

예를 들어,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

세제곱근의 곱셈 성질:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

세제곱근 계산 방법

완전 세제곱수의 실제 세제곱근 계산하기

숫자의 세제곱근을 찾으려면 소인수분해 방법을 사용하세요:

1. 숫자의 소인수를 찾습니다.
2. 같은 소인수를 세 개씩 묶어 그룹을 만듭니다.
3. 각 그룹에서 하나의 인수를 취하고, 이를 곱하여 최종 답을 얻습니다.

예를 들어, 3375의 실제 세제곱근을 찾아봅시다, ∛3375:

1. 3375의 소인수를 찾으면 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5가 됩니다.
2. 같은 소인수를 세 개씩 묶으면 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5)가 됩니다.
3. 마지막으로, 각 그룹에서 하나의 인수를 취하고 이를 곱하면 3 × 5 = 15가 됩니다.

따라서, ∛3375 = 15입니다.

숫자의 소인수가 세 개씩의 그룹을 형성하지 않으면, 그 숫자는 완전 세제곱수가 아니며, 이 방법으로 세제곱근을 찾을 수 없습니다.

-1보다 크고 1보다 작은 숫자의 실제 세제곱근 계산하기 (0 제외)

주어진 숫자가 -1보다 크고 1보다 작으면, 정의상 완전 세제곱수가 아닙니다. 왜냐하면 완전 세제곱수는 세제곱근이 정수인 숫자이기 때문입니다. -1 < y < 1 구간의 어떤 숫자 y도 0이 아니면 완전 세제곱수가 될 수 없습니다. 그러나 때때로 -1보다 크고 1보다 작은 숫자의 실제 세제곱근을 찾는 것은 상대적으로 쉬울 수 있습니다.

예를 들어, -0.000125의 실제 세제곱근을 찾아봅시다. 이 숫자는 정수가 아니므로, 위에 설명된 소인수분해 방법을 사용할 수 없습니다.

그러나 쉽게 알 수 있듯이 -0.000125 = -125 × 10⁻⁶입니다. 따라서,

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

세제곱근의 곱셈 성질을 적용하면,

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

음수의 세제곱근을 양수의 세제곱근의 음수로 다시 쓰면,

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

125 = 5 × 5 × 5이고, 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻²임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

그리고,

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

마지막으로, 우리는 다음을 얻습니다:

$$\sqrt[3]{(-0.000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0.05$$

실생활 예시

세제곱근은 실생활에서 입방체 형태의 물체의 한 변의 길이를 찾는 데 사용됩니다. 예를 들어, 상자의 부피를 알고 그 높이를 찾아야 할 때, 어딘가에 맞을지 확인하거나, 입방체 모양의 방 벽을 칠하는 데 필요한 페인트의 양을 추정하거나, 알려진 부피의 입방체 모양의 방 바닥을 타일로 덮는 데 필요한 타일의 수를 세어야 할 때 사용할 수 있습니다.

목재의 입방체 부피

집을 지을 때 64 입방미터의 목재를 판매하는 광고를 발견했다고 상상해봅시다. 그 목재 부피의 길이, 너비, 높이는 어떻게 될까요?

이 문제를 해결하려면, 64의 세제곱근을 찾아야 합니다. 이 가상의 입방체의 한 변의 길이는 ∛64 = 4가 됩니다. 따라서 원래 목재의 입방체 부피에 대한 데이터에서 우리는 이러한 부피의 크기에 대해 다른 관념을 가질 수 있습니다.