이차 방정식 계산기

이차방정식계산기

이차방정식은학교와대학수학교육과정에서중요한부분입니다. 예를들어, 이차방정식의해는함수의변화율, 상승및하강등다양한정보를제공합니다. 이차방정식의해를찾는것은일련의대수적및산술연산을수행하는것을요구합니다. 해답은표준형태를가지고있지만, 수동으로계산하는데시간이걸립니다.

온라인이차방정식계산기는이차방정식에대한해답을즉시제공하는사용하기쉬운도구입니다. 이무료도구는답을제공하며방정식을푸는데적용된단계를보여줍니다. 따라서사용자는문제해결, 수치결과및해결을위한단계별가이드를개념화할수있습니다.

이차방정식

이차방정식은때때로이차함수또는 2차다항식으로불리며, 일반적인형태는 ax²+bx+c=0 입니다. 여기서 x는찾아야할미지수입니다. a와 b는각각 x²와 x의계수이며, C는상수입니다. "이차" 또는 "2차"라는용어는변수 x의최대지수가 2인 x²에서비롯된것입니다. 아래에는이차방정식의몇가지예를보여줍니다.

$$2x²-4x+0.5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

2x²=0 역시이차방정식으로, b=0 및 c=0입니다. 하지만 2x+3=0은이차항 ax²이방정식에없기때문에이차방정식을나타내지않습니다. 이전예시에서보여주듯이, A, B, C의값은 a≠0 조건을만족하는양수/음수정수또는소수(분수)일수있습니다.

이차방정식풀기

방정식의가능한해의수는방정식에서변수의최고차항의지수와같습니다. 이러한맥락에서이차방정식은최대두개의해를가질수있습니다. 이차함수를푸는한가지방법은식 (1)에제시된이차방정식공식을사용하는것입니다.

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

이차방정식공식의간결한형태는다음과같이쓸수있습니다:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

이는사용자가 A, B, C 값을대입하여 x₁ 및 x₂ 값을얻는간단한해결방법입니다. 제곱근아래항인 b²-4ac로표시되는판별식의값에따라해의수와해의성질이달라집니다. 세가지경우를논의할수있습니다:

• 판별식이양수일경우; b²-4ac>0, 두개의실수해가존재합니다 (x₁≠x₂)
• 판별식이 0일경우; b²-4ac=0, 하나의실수해가존재합니다 (x₁=x₂)
• 판별식이음수일경우; b²-4ac<0, 두개의복소수해가존재합니다 (x₁≠x₂)

이세가지경우에대한예시를예시섹션에서제공할것입니다.

그래픽적으로, x-y 좌표평면에서 y가 x의함수일때, 이차함수의해는함수 y가 x-축을교차하는점(들)의 x-좌표로시각적으로파악할수있습니다.

이차방정식공식계산기사용하기

이차방정식해결기계산기는해의성질(실수또는복소수)에관계없이모든이차방정식을풀수있습니다. 계산기는세개의입력값을받습니다: A, B, C의값입니다. 경우에따라사용자는계산기를사용하기전에방정식에일부조작을수행해야할수도있습니다.

2x² = x + 3의경우, 사용자는우변의항을좌변으로이동하기만하면됩니다. 결과적으로 2x²-x-3=0이되고, 여기서 a = 2, b = -1, c = -3입니다.

또한, 4(x²-0.2x)=1을고려할때, 사용자는괄호를풀어 4x²-0.8x=1로쓰고, 우변의항을좌변으로이동하여방정식을일반형태인 4x²-0.8x-1=0로만들어야합니다. 여기서 a = 4, b=-0.8 그리고 c=-1입니다.

예시

이섹션에서는이차방정식계산기를사용하여이차방정식해의세가지가능한경우에대한세가지예시를설명할것입니다.

예시 1: 두실수해

기능 y₁이주어진이차방정식 y₁=x²-8x+12의해(들)을찾아야합니다.

직관적으로목표는함수 y₁가 x-축을교차하는지점(들)의 x-좌표를찾는것입니다 - 만약존재한다면.

[계속하기위해서는이예시에대한해를계산하고그래프를제시해야합니다.]

Figure 1: y₁=x²-8x+12의그래프

먼저, 함수는 0과같게설정됩니다(y₁은 0으로대체됨), 이로인해 x²-8x+12=0이됩니다. 마지막방정식은표준이차방정식형태로 a=1, b=-8, c=12입니다. 우리는직접이차방정식공식계산기를사용할수있습니다.

판별식 b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0의값에따라이차함수는두개의실수해를가져야합니다. 계산버튼을클릭하면, 계산기는방정식의이차공식(1)을사용하여수치해답과해결단계를제공합니다.

A, B, C의값을입력한후계산기가방정식을보여주는것이중요합니다. 사용자는입력실수를방지하기위해표시된방정식이손에들고있는방정식과동일한지확인하는것을고려할수있습니다.

• 방정식: x²-8x+12=0

• 해답: x₁=2 및 x₂=6

• 단계:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ 또는 \ 2$$

해답은따라서 x₁=2 및 x₂=6입니다. x-축과함수의교차점을검사함으로써결과를그래픽으로검증할수있습니다. 그림 2는함수가앞서언급한점에서 x-축을교차하는것을보여줍니다.

Figure 2: y₁=x²-8x+12의그래프

예시 2: 하나의실수해

다른함수인 y₂-3x²+25=-4x²+10x를고려해봅시다. 계산기를사용하기전에초기단계는 y₂를한쪽에두고다른모든항을다른쪽에모으는것입니다. 이는 y₂=-4x²+10x+3x²-25로변환됩니다. y₂를 0과같게설정하고산술연산을수행하면, 일반형태는 -x²+10x-25=0로얻어지며 a=-1, b=10, c=-25입니다.

판별식은 0과같습니다 b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, 따라서사용자는단일해를예상해야합니다. 그런다음이차공식계산기를사용하여 x₁=x₂=5를찾을수있습니다.

• 방정식: -x²+10x–25=0

• 해답: x = 5

• 단계:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

그림 3은 y₂의그래프를보여줍니다. 여기서는함수가하나의지점에서 x-축을교차하는것을볼수있습니다.

Figure 3: y₂=-x²+10x-25

예시 3: 두복소수해

마지막으로, y₃=x²-4x+8을검토하여이차함수가두복소수해를가질수있는방법을보여줍니다. 그림 4는 y₃가 x-축을교차하지않는다는것을보여줍니다.

Figure 4: y₃=x²-4x+8

b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0를살펴보면두복소수해가존재한다는것을나타냅니다. 그렇다면복소수는무엇일까요?

복소수는실수와허수의조합으로표현되는수이며 a+ib 형태를가집니다.

여기서 'i'는복소수에서허수단위를나타내며, -1의제곱근을나타냅니다.

A는복소수의실수부분 *(Re)*을나타냅니다. 반면에 ib는허수부분 *(Im)*으로 i=√-1입니다.

항 b²-4ac이 0보다작을때, 제곱근안에음수가포함됩니다. 따라서음수의제곱근을계산하려면복소수를사용해야합니다.

x²-4x+8=0의해를찾아서계산기가방정식을풀고 x₁=2+2i 및 x₂=2-2i를찾습니다.

• 방정식: x²–4x+8=0

• 가능한두해: x=2±2i

• 단계:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

사용범위와팁

이차방정식공식계산기는학교와대학의학생들이나이차함수에대한빠른해답을찾는누구나를위해설계되었습니다. 이차함수는공학, 경제학, 농업등에서찾아볼수있습니다.

도구사용은간단하지만, 사용자는방정식을표준이차형태 ax²+bx+c=0로두는기본산술연산을수행할수있어야합니다. 또한, 이차방정식의해가복소수쌍일수있으므로복소수에익숙한것이바람직합니다(필수사항은아님).

사용자는또한함수와그해를시각화하기위해일부플로팅도구를사용하는데관심이있을수있습니다.