조합 계산기

수학에서 주어진 집합에서 객체를 선택하는 방법의 수를 결정하기 위한 다양한 전략이 있습니다. n 가지 가능성 중에서 r개의 결과를 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 이는 선택된 항목의 순서가 중요한지, 값이 반복될 수 있는지 여부에 따라 달라집니다.

n 가지 가능성 중에서 순서 없이 r개의 결과를 선택하는 방법의 수는 조합으로 알려져 있으며 C(n, r)로 표기됩니다. 이는 이항 계수로도 알려져 있습니다. 이 계산기를 사용하면 n개의 객체 집합에서 r개의 객체의 조합을 계산할 수 있습니다.

조합 계산기 사용 규칙

주어진 객체 집합에 대해, 특정 순서나 규격에 따라 그 중 일부 또는 전부를 배열하거나 선택하는 방법의 수가 있습니다. 계산기는 반복 없이 그리고 순서가 중요하지 않을 때 n개의 객체 집합에서 r개의 객체를 선택하는 방법의 수를 계산합니다. 계산기는 두 가지 입력을 요구합니다:

• n = 선택할 서로 다른 객체의 수,
• r = 채울 위치의 수.

조합 계산기에 데이터를 입력하는 중요한 기준은

$$0 ≤ r ≤ n$$

입니다.

n보다 큰 수 r을 입력하면

"0 ≤ r ≤ n을 입력해 주세요"라는 메시지가 출력됩니다.

계산의 기본 원리

계산의 기본 원리는 다른 작업을 수행하는 방법을 찾는 데 도움을 줍니다. 계산의 두 가지 기본 규칙이 있습니다.

합의 규칙

첫 번째 작업은 m가지 방법으로, 두 번째 작업은 n가지 방법으로 수행될 수 있습니다. 작업을 동시에 수행할 수 없는 경우, 가능한 방법의 수는 (m + n)으로 계산할 수 있습니다.

곱의 규칙

첫 번째 작업은 m가지 방법으로, 두 번째 작업은 n가지 방법으로 수행될 수 있습니다. 두 작업을 동시에 수행할 수 있다면, 그것들을 수행하는 방법은 (m × n)가지가 있습니다.

예시

카페테리아는 3종류의 파이와 4종류의 음료를 판매합니다. 여기에는 사과 파이, 딸기 파이, 블루베리 파이가 있습니다. 그리고 오렌지, 포도, 체리, 파인애플 주스가 있습니다. 음료와 파이는 모두 2달러에 판매됩니다. 당신은 단지 2달러만 가지고 있고 1센트도 더 없습니다. 따라서 특정 선택을 할 수 있는 기회는 3 + 4 = 7가지입니다.

동전을 던지고 주사위를 굴리는 방법의 수를 세고 싶다고 가정해 보겠습니다. 동전을 던질 수 있는 방법은 동전에 2면이 있기 때문에 2가지입니다. 마찬가지로, 주사위를 굴릴 수 있는 방법은 6가지입니다. 두 작업을 동시에 할 수 있으므로, 동전을 던지고 주사위를 굴릴 수 있는 방법은 2 × 6 = 12가지입니다.

52장의 카드 덱에서 카드 2장을 꺼내서 다시 넣지 않고 그리려면, 첫 번째를 그릴 방법은 52가지이고 두 번째를 그릴 방법은 51가지입니다. 따라서, 두 장의 카드를 뽑는 방법의 수는 52 × 51 = 2,652가지입니다.

표본 공간

표본 공간은 모든 가능한 결과를 나열한 것이며, 대문자 S로 표시됩니다. 동전을 던지고 주사위를 동시에 굴릴 때의 표본 공간은

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

12가지 가능한 방법이 있습니다. 계산 원리를 통해 모두 나열하지 않고도 실험의 방법 수를 알아낼 수 있습니다.

조합

순서가 중요하지 않을 때 n가지 가능성 중에서 반복 없이 r개의 결과를 선택하는 가능한 방법의 수를 조합이라고 합니다. 객체의 조합은 C(n, r)로 쓰입니다. 이는 이항 계수로도 알려져 있습니다. 조합 공식은 다음과 같이 정의됩니다.

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

숫자나 글자 뒤에 있는 ! 기호는 어떤 숫자의 계승(factorial)을 사용하고 있다는 의미입니다. 예를 들어, n!은 숫자 n의 계승, 즉 1부터 n까지의 자연수의 곱입니다. 숫자 2의 계승은 1 × 2입니다. 숫자 3의 계승은 1 × 2 × 3입니다. 숫자 4의 계승은 1 × 2 × 3 × 4입니다. 숫자 5의 계승은 1 × 2 × 3 × 4 × 5이고, 이런 식으로 계속됩니다. 계승은 비음수 정수에 대해서만 계산할 수 있습니다.

이 공식을 사용하여 조합을 계산할 때의 핵심적인 특징은 객체의 반복이 허용되지 않으며, 배열의 순서가 중요하지 않다는 것입니다.

예시 1

네 개의 숫자 집합

{1, 2, 3, 4}

이 있다고 가정해 보겠습니다.

같은 요소가 한 쌍에 중복되지 않는 경우, 이 집합에서 두 요소를 조합하는 방법은 몇 가지입니까?

요소의 순서가 중요하다면, 순열에 의해 형성된 그룹을 얻게 됩니다:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

순서가 중요하지 않다면 - 조합에 의해 형성된 그룹을 얻게 됩니다:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

가능한 조합은 6가지입니다. 이 공식을 사용하여 모든 가능한 조합의 수를 찾을 수 있습니다. 이 예시에서, $n=4$, $r=2$입니다. 따라서,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

이것이 바로 조합 계산기가 계산하는 것입니다.

예시 2

A, B, C, D의 문자를 3개 그룹으로 조합하는 방법은 무엇인가요? 순서가 중요할 때 가능한 순열은 24가지입니다. 조합론적 계산에서는 순서가 중요하지 않습니다. 따라서, 오직 첫 번째 행만이 관련이 있으며, 즉 4가지 가능한 조합이 있습니다.

모든 가능한 배열을 나열하는 대신, 위의 조합 공식을 사용하여 가능한 배열의 수(순서가 중요하지 않은 경우)를 계산할 수 있습니다. 여기서 n=4개의 객체가 있고, 한 번에 r=3개를 취합니다. 따라서,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

순열

순열은 객체의 순서가 중요할 때 객체를 조직하는 방법의 수를 정의합니다. n개의 객체 목록에서 r개의 객체를 선택할 때 순열의 공식은 다음과 같습니다:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

이 공식을 사용하여 순열을 계산할 때의 두 가지 주요 특성은 객체 반복이 허용되지 않고 객체의 순서가 중요하다는 것입니다.

예시 3

잡 인터뷰에 4명의 후보자가 있다고 가정해 봅시다. 선발 위원회의 임무는 후보자들을 1에서 4까지 순위를 매기는 것입니다. 가능성은 다음과 같습니다:

• 1번 후보 - 선택할 수 있는 방법이 4가지
• 2번 후보 - 선택할 수 있는 방법이 3가지
• 3번 후보 - 선택할 수 있는 방법이 2가지
• 4번 후보 - 선택할 수 있는 방법이 1가지

곱의 규칙은 선택할 수 있는 방법의 총 수, 즉 4 × 3 × 2 × 1 = 24를 제공하는데, 이는 *4!*와 같습니다. 후보자가

{A, B, C, D}라고 하자

문제의 표본 공간은 아래에 나와 있는 모든 가능한 순열을 보여줍니다:

위 표에 나와 있는 모든 가능한 배열을 나열하는 대신, 우리는 순열 공식을 사용하여 가능한 배열의 수를 계산할 수 있습니다. 위의 예시에서는 n = 4개의 객체가 있고, 한 번에 r = 4개의 요소를 취합니다. 따라서,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

조합과 순열의 차이점

조합과 순열의 주요 차이점은 조합에서는 요소의 순서가 중요하지 않지만 순열에서는 요소의 순서가 중요하다는 것입니다.