표준편차계산기

표준편차계산기는일련의숫자에대한표준편차를계산합니다. 또한, 숫자에대한추가정보, 포함한평균및분산을제공합니다. 계산기는또한다양한신뢰수준에대한데이터세트의신뢰구간을계산하고빈도분포표를제공합니다.

이계산기를사용하려면숫자를쉼표로구분하여계산기에입력하십시오. 숫자가모집단을대표하는지, 아니면샘플을대표하는지선택한후 "계산하기"를클릭하십시오.

표준편차

표준편차는주어진데이터세트의분산또는변동성의정도를정의하는통계적측정치입니다. 데이터포인트가데이터세트의평균으로부터얼마나떨어져있는지에대한집계된평균거리를제공합니다. 표준편차가작을수록데이터포인트는평균에더가깝습니다. 반대로표준편차가높을수록데이터포인트는평균에서더멀리떨어져있습니다. 표준편차는분산이라고하는다른분산측정치의제곱근입니다.

표준편차는데이터세트에대한정보를기반으로계산됩니다. 데이터세트가관심있는모든데이터포인트를나타내는경우(모집단), 표준편차를모집단표준편차라고합니다. 그러나데이터세트가모집단에서의샘플을나타내는경우, 표준편차를샘플표준편차라고합니다.

모집단표준편차

데이터세트가관심있는모집단을대표하는경우모집단표준편차를계산합니다. 즉, 데이터세트는고려중인모든관찰을나타냅니다. 모집단표준편차는 σ로표시됩니다.

σ는시그마라고하는그리스문자의소문자입니다. 모집단표준편차는다음공식을사용하여계산됩니다:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

여기서:

• Σ는수학에서합계를나타내는데사용되는그리스대문자시그마입니다;
• xᵢ는데이터세트의각데이터포인트(각관찰)를나타내며, 첫번째데이터포인트부터 N번째(마지막) 데이터포인트까지입니다;
• μ는모집단평균을나타냅니다;
• n은모집단크기입니다.

일반모집단의표준편차계산예

다음예는모집단데이터의표준편차를찾는방법을보여줍니다.

투자자들은주식을다른자산클래스에비해높은변동성때문에위험한자산으로간주합니다. 투자관리자는지난달의몇몇주식의변동성을분석하고자하며, 표준편차가평균이상인주식은 "너무위험하다"고간주하여고객에게추천하지않을것입니다.

아래에는지난달의모든일일종가(USD)가나열되어있습니다. 표준편차를계산하고관리자가주식을 "너무위험하다"고간주하는지여부를결정하십시오:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

관리자는지난달의주식가격에만관심이있으며, 위에나열된가격은모두지난달의가격입니다. 따라서우리는모집단을가지고있으므로모집단의표준편차를계산하는공식을사용하여표준편차를계산할것입니다.

표준편차를찾으려면먼저평균을계산하십시오. 평균μ는숫자의합을숫자의개수로나누어얻습니다.

$$ \mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

다음으로, 각숫자에서평균을빼고차이를제곱합니다. 그런다음결과를추가하고개수로결과를나눕니다. 결과는분산σ²라고합니다.

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

마지막으로, 분산의제곱근을취하여표준편차를구합니다.

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

보시다시피, 지난달이주식의가격의표준편차는평균보다작습니다. 따라서관리자는이주식을 "너무위험하다"고간주하지않을것입니다.

샘플표준편차

관심있는모집단에서추출된샘플을대표하는데이터세트가고려될때샘플표준편차가계산됩니다. 데이터세트는고려중인모든관찰에서더작은관찰세트를나타냅니다. 샘플표준편차는 s로표시됩니다. 샘플표준편차는다음공식을사용하여계산됩니다:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

여기서:

• Σ는합계를나타냅니다;
• xᵢ는각데이터포인트를나타냅니다;
• x̄는샘플평균을나타냅니다;
• n은샘플크기입니다.

모집단의표준편차와같은예를사용하여샘플데이터의표준편차를찾는방법을설명하겠습니다. 그러나이상황에서투자관리자는지난달모든거래일의종가에접근할수없습니다. 그러나그는지난달의임의의 5일동안의종가를가지고있습니다. 따라서그는사용가능한샘플에서데이터를사용하여주식종가의표준편차를추정할것입니다.

그가 5일동안의종가를가지고있다고가정합시다:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

관리자는지난달의주식가격에관심이있습니다. 그러나그는지난달의모든가격을가지고있지않고오직 5일동안의종가의작은부분집합만을가지고있습니다. 따라서이경우우리는샘플을다루고있습니다. 우리는샘플표준편차공식을사용하여표준편차를계산할것입니다.

먼저, 샘플의평균을계산합니다.

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

다음으로, 분산 s²을계산합니다.

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

마지막으로, 분산의제곱근을취하여표준편차를구합니다.

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

오차한계

표준편차의사용중하나는 "수용가능한" 값범위를계산하는것입니다. 이는산업통계품질보증및예측분석에서중요한역할을합니다. 고려중인기본데이터가정규분포를따른다고가정하면, 이범위를신뢰구간이라고합니다(다음섹션참조). 이신뢰구간은다양한신뢰수준(또는백분율)에서제공됩니다.

오차한계는신뢰구간의폭을제공하는신뢰구간의구성요소입니다. 즉, 오차한계는고려중인수량의최대및최소허용값입니다.

오차한계는다음공식을사용하여계산됩니다:

$$오차\ 한계 = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

이공식은모집단의표준편차 σ가알려져있고동시에샘플이충분히큰경우(보통 n>30)에적용됩니다.

모집단의표준편차가알려지지않고샘플이작을경우(보통 n≤30) 다음공식을사용합니다:

$$오차\ 한계 = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

이공식에서는모집단표준편차 σ가알려지지않았기때문에샘플표준편차 s를사용합니다.

\$z_{\alpha/2}\$ 및 \$t_{n-1, \alpha/2}\$는각각 z-통계량과 t-통계량을사용하여결정되며, 중요값이라고합니다. 이들은신뢰수준과관련된상수입니다.

통계에서가장일반적으로사용되는신뢰구간은 90%, 95%, 및 99%입니다. 그리고그들의 \$z_{\alpha/2}\$ 값은 1.645(90%용), 1.96(95%용), 2.575(99%용)입니다.

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ 또는 \$\frac{s}{\sqrt n}\$는표준오차라고합니다.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$는모집단의표준편차 σ를알고있고큰샘플(보통 n>30)을가지고있을때사용됩니다.
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$는모집단의표준편차를모르고작은샘플(보통 n≤30)을가지고있을때사용됩니다. 즉, 일반모집단의표준편차 σ 대신우리에게사용가능한샘플의표준편차 s를사용해야합니다.

신뢰구간

위에서소개한바와같이, 신뢰구간은주어진수량이특정신뢰수준에서놓일것으로예상되는값의범위(값의범위)입니다.

예를들어, 13세소녀의키가 90% 신뢰수준에서 59인치에서 66인치사이에있다고말할수있습니다. 즉, 13세소녀들의그룹을선택한다면, 그들의키는주어진값사이에약 90%의시간에놓일것입니다.

신뢰구간은다음공식을사용하여계산됩니다:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄는샘플평균입니다,
• \$z_{\alpha/2}\$는중요값입니다,
• σ는모집단표준편차입니다,
• n은관측수입니다.

모집단의표준편차 σ를모르고샘플표준편차 s를대신사용해야할때다른공식이사용됩니다:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄는샘플평균입니다,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$는중요값입니다,
• s는샘플표준편차입니다,
• n은관측수입니다.

이전장에서기억할수있듯이 \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ 및 \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$는오차한계입니다.

신뢰구간계산예

우리가고려하고있는일일주식가격이정규분포를따른다고가정해봅시다. 우리는다음과같은주식가격의샘플을가지고있습니다:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

우리는 95% 신뢰도로주식가격이변동할범위를계산해야합니다.

이것은작은샘플이고모집단표준편차를모르므로샘플표준편차와공식을사용하여계산할것입니다:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ 는샘플평균입니다, 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ 는중요값입니다, \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (주어진샘플크기와신뢰수준에대한중요값은보통 z-표나 t-표에서계산됩니다)
• s 는샘플표준편차입니다, 0.23
• n 은관측치수입니다, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ 는표준오차입니다 \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

그래서숫자를공식에넣습니다

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

그결과는,

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

이는우리가평균주가가신뢰구간 (0.94, 1.26) 에놓일것이라는것을 95% 확신한다는것을의미합니다.