Afstandsformule Rekenmachine

Deze rekenmachine vindt de afstand tussen twee punten op een vlak als de coördinaten van de punten bekend zijn. De rekenmachine werkt in een tweedimensionale ruimte.

Aangezien een rechte lijn de kortste afstand tussen 2 punten vertegenwoordigt, kan deze rekenmachine worden gebruikt als een lijnlengte rekenmachine.

Gebruiksaanwijzing

De rekenmachine vindt de afstand tussen punt 1 met coördinaten (X₁, Y₁) en punt 2 met coördinaten (X₂, Y₂).

Om de afstand tussen twee punten te vinden, voert u hun coördinaten in de overeenkomstige velden in. De invoercoördinaten moeten als volgt worden ingevoerd:

• Een komma moet twee coördinaten van elk punt scheiden; voer bijvoorbeeld "4,5" in het (X₁, Y₁) veld in om punt 1 te hebben met de x-coördinaat van 4 en een y-coördinaat van 5. Als een van de coördinaten wordt weergegeven door een decimaal, gebruik dan de punt om het gehele getaldeel te scheiden van het decimale deel; voer bijvoorbeeld "4,5,7" in om een punt te hebben met een x-coördinaat van 4,5 en een y-coördinaat van 7.
• U kunt alleen gehele getallen en decimalen gebruiken als puntcoördinaten. Breuken worden niet geaccepteerd.
• Spaties tussen de coördinaten zijn niet nodig, maar u kunt ze gebruiken voor uw gemak

Nadat u de coördinaten hebt ingevoerd, drukt u op "Berekenen." De rekenmachine zal het definitieve antwoord en het gedetailleerde oplossingsalgoritme retourneren.

Afstandsformule

Op een tweedimensionaal vlak kan de afstand d tussen punt 1 met coördinaten (X₁, Y₁) en punt 2 met coördinaten (X₂, Y₂) worden gevonden met behulp van de volgende formule:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Of, met andere woorden: de afstand tussen 2 punten in een 2-dimensionale ruimte kan worden gevonden als de vierkantswortel van de som van de kwadraten van de verschillen van de overeenkomstige coördinaten. Deze formule staat bekend als de Euclidische afstandsformule. Daarom kan deze rekenmachine ook een Euclidische afstandsrekenmachine worden genoemd.

Afleiding van de Euclidische afstandsformule

Om de formule af te leiden, kijken we naar de twee gegeven punten op het (X, Y) coördinatenvlak:

Om de afstand tussen punt 1 en punt 2 te vinden, laten we een verticale lijn naar beneden van punt 2 tekenen en een horizontale lijn naar rechts van punt 1. De twee getekende lijnen en de benodigde afstand zullen een rechthoekige driehoek vormen. De verticale zijde van deze driehoek zal worden gevormd door de verticale afstand tussen punt 1 en punt 2: Y₂ – Y₁. De horizontale zijde van de driehoek zal worden gevormd door de horizontale afstand tussen de twee punten: X₂ – X₁. De schuine zijde van deze driehoek vertegenwoordigt de benodigde afstand tussen de punten. Wanneer de lengtes van de zijden van de rechthoekige driehoek bekend zijn, kan de lengte van de schuine zijde worden gevonden met behulp van de stelling van Pythagoras:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Rekenvoorbeelden

Voorbeeld 1

Laten we de afstand vinden tussen punt 1 met (X₁, Y₁) = (3, 1) en punt 2 met (X₂, Y₂) = (5, 7). Door de waarden van X₁, Y₁, X₂, Y₂ in de Euclidische afstandsformule in te voeren, krijgen we:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Merk op dat het veranderen van de volgorde van de punten het eindresultaat niet verandert, aangezien de verschillen tussen de coördinaten worden gekwadrateerd. Laten we de bovenstaande berekening herhalen, ervan uitgaande dat (X₁, Y₁) = (5, 7) en (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Voorbeeld 2

Laten we een voorbeeld bekijken met negatieve coördinaten en de afstand vinden tussen punt 1 met (X₁, Y₁) = (-4, 2) en punt 2 met (X₂, Y₂) = (6, -6). Door de waarden van X₁, Y₁, X₂, Y₂ in de Euclidische afstandsformule in te voeren, krijgen we:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Voorbeelden uit het echte leven

Zoals hierboven getoond, is de Euclidische afstandsformule gebaseerd op de stelling van Pythagoras. Toch past het de stelling aan situaties waar alleen de coördinaten van de punten bekend zijn (in plaats van de lengtes van de zijden van de driehoek die door de stelling van Pythagoras worden gebruikt). De formule is nuttig wanneer afstanden berekend moeten worden vanuit de coördinaten op een kaart of grafiek. Het wordt ook gebruikt om de grootte van complexe getallen en vectoren te berekenen.

Voorbeeld 3

Stel je een ladder voor die tegen een muur leunt. In deze situatie vertegenwoordigt de vloer de x-as van het 2D-vlak en vertegenwoordigt de muur de y-as, zoals te zien is in de afbeelding hieronder. Als de ladder de muur raakt op punt (0, 2), en de vloer raakt op punt (3, 0), vind dan de lengte van de ladder.

Oplossing

Om de lengte van de ladder in een tweedimensionaal vlak gevormd door de muur en de vloer te vinden, laten we eerst de coördinaten van de eindpunten van de ladder identificeren: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Laten we het punt waar de ladder de muur raakt - punt 1 (X₁, Y₁) noemen, en het punt waar de ladder de vloer raakt - punt 2 (X₂, Y₂). We weten dat de ladder de muur raakt op het punt met de coördinaten (0, 2). Daarom is (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Merk op hoe X₁ = 0, wat duidelijk wordt geïllustreerd door de bovenstaande afbeelding, waar het punt (0, 0) overeenkomt met het fysieke punt waar de muur de vloer ontmoet, waardoor negatieve waarden van X en Y onmogelijk zijn.

Verder weten we dat de ladder de vloer raakt op het punt met de coördinaten (3, 0). Daarom is (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Ook Y₂ = 0 aangezien deze coördinaten overeenkomen met het punt direct op de vloer. Laten we nu de afstandsformule gebruiken om de lengte van de ladder te berekenen:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Antwoord

De lengte van de ladder is 3,6.

Afstand in 3D-ruimte

Euclidische afstand is wat de meeste mensen bedoelen met "afstand". Wanneer we zeggen dat een object 5 meter van ons verwijderd is, hebben we het over de Euclidische afstand. De hierboven beschreven afstandsformule kan eenvoudig worden geëxtrapoleerd naar 3 (of zelfs meer!) dimensies.

In een driedimensionale ruimte kan de afstand tussen punt 1 met coördinaten (X₁, Y₁, Z₁) en punt 2 met coördinaten (X₂, Y₂, Z₂) worden berekend als de vierkantswortel van de som van de kwadraten van de verschillen tussen de overeenkomstige coördinaten:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$