Hellingcalculator

Hellingcalculator

De hellingcalculator is een eenvoudig online hulpmiddel waarmee je de helling van een rechte lijn kunt vinden. In de wiskunde wordt de helling van een lijn gedefinieerd als de verandering in de verticale coördinaat (y-coördinaat) ten opzichte van de verandering in de horizontale coördinaat (x-coördinaat).

Gebruikte notatie

De helling wordt aangeduid met de letter m. De bovenstaande grafiek toont alle andere notaties die in de rekenmachine worden gebruikt. De hellingszoeker kan berekeningen uitvoeren in twee verschillende scenario's:

1. Als de coördinaten van de twee punten op de lijn bekend zijn. Op de grafiek hebben de twee punten de coördinaten (x₁,y₁) en (x₂,y₂). In dit geval vindt de rekenmachine de helling van de lijn, m.

2. Als we de coördinaten kennen van een punt (x₁,y₁), de afstand d en de helling van een lijn, dan zal de rekenmachine de coördinaten vinden van het tweede punt op de lijn, (x₂,y₂).

In beide scenario's zal de rekenmachine ook andere ontbrekende kenmerken van de lijn teruggeven: de horizontale verandering ∆x, de verticale verandering ∆y, de hellingshoek θ, de lijnlengte, of afstand, d.

Gebruiksaanwijzing

Identificeer eerst de bekende waarden en kies de juiste rekenmachine. Als de coördinaten van de twee punten bekend zijn, kies je "Als de 2 punten bekend zijn".

Als je alleen de coördinaten van een van de punten hebt, moet je om berekeningen uit te voeren de afstand, d, en de helling van de lijn, m, weten. Kies in dit geval "Als 1 punt en de helling bekend zijn".

Als de 2 punten bekend zijn

Voer de bekende coördinaten van de punten in de overeenkomstige velden in en druk dan op "Berekenen". De rekenmachine zal de volgende informatie teruggeven:

• de helling m,
• de hellingshoek θ,
• de lengte van de lijn d,
• de horizontale verandering ∆x,
• de verticale verandering ∆y.

De rekenmachine toont ook de formules die gebruikt worden om de helling en alle andere karakteristieke waarden van de lijn te vinden. De rekenmachine toont de bijbehorende vergelijking van de lijn en plot de lijn schematisch voor visuele weergave.

Als 1 punt en de helling bekend zijn

Voeg de bekende coördinaten van het punt, de afstand en de helling in de overeenkomstige velden in. Merk op dat je in plaats van de helling ook de waarde van de "hellingshoek (theta of θ)" kunt invoeren. De waarde van θ moet in graden worden ingevoerd. Slechts één van deze waarden moet worden ingevuld (m of θ). Stel dat zowel m als θ zijn ingevuld. In dat geval zal de rekenmachine de waarde van θ negeren en alleen de helling m gebruiken voor de berekeningen.

Druk op "Berekenen". De rekenmachine geeft de volgende informatie terug: de coördinaten van het tweede punt (x₂,y₂), de horizontale verandering ∆x, de verticale verandering ∆y, en de lengte van de lijn d. Als je voor de berekeningen de helling m hebt gebruikt, geeft de rekenmachine ook de waarde van θ terug. Als je voor de berekeningen de hellingshoek θ hebt gebruikt, geeft de rekenmachine de waarde van m terug in het antwoord. De rekenmachine toont ook de bijbehorende vergelijking van de lijn en plot de lijn schematisch voor visuele weergave.

Hellingsformule

Zoals hierboven vermeld, is de helling van een lijn gedefinieerd als de verandering in de verticale coördinaat (y-coördinaat) van een lijn ten opzichte van de verandering in de horizontale coördinaat (x-coördinaat):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

De vergelijking hierboven heet de hellingformule. We kunnen het gebruiken om de helling van een gegeven lijn te vinden als de coördinaten van twee punten op de lijn bekend zijn. De helling wordt gewoonlijk aangeduid als m. Het wordt gebruikt om de richting van de lijn te beschrijven, evenals de steilheid:

• Als de lijn van links naar rechts omhoog gaat, dan geldt y₂>y₁ als x₂>x₁. De helling is altijd positief, m>0. In dit geval zeggen we dat de lijn stijgend is.

• Als de lijn van links naar rechts naar beneden gaat, dan is y₂ < y₁ als x₂ > x₁. De helling is dan negatief, m < 0. In dit geval zeggen we dat de lijn dalend is.

• Als de lijn horizontaal is, dan is y₂=y₁ en y₂-y₁=0. Dan is de helling ook gelijk aan nul: m=0.

• Als de lijn verticaal is, dan is x₂=x₁ en x₂-x₁=0. De hellingformule zal een nul in de noemer hebben en de helling is ongedefinieerd.

Lijnvergelijking

We kunnen elke lineaire vergelijking in de volgende vorm schrijven:

$$y=mx+b$$

Deze vorm van lineaire vergelijking heet de helling-intercept vorm. De plot van deze vergelijking zal een rechte lijn zijn, waarbij m de helling van de lijn is. En B is de coördinaat waar de grafiek de y-as snijdt. B wordt soms ook het y-afsnijpunt van de rechte genoemd, omdat y=b wanneer x=0.

Wanneer de coördinaten van een punt op de rechte en de helling bekend zijn, kunnen we de vergelijking van de rechte schrijven in de zogenaamde punt-hellingvorm:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Deze vorm van de lineaire vergelijking is handig om het y-afsnijpunt van een lijn te vinden.

Rekenvoorbeeld

Laten we aannemen dat we de coördinaten van de twee punten op de rechte kennen.

Gegeven:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Laten we eerst de helling van deze lijn vinden:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Laten we nu de andere karakteristieke waarden van de lijn zoeken. We weten dat m=tanθ. Daarom kunnen we de hellingshoek θ als volgt vinden:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Vervolgens,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

We kunnen de afstand d vinden met behulp van een stelling van Pythagoras. Deze stelt dat het kwadraat van de lengte van de schuine zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengte van de benen van de rechthoekige driehoek.

Als we deze stelling toepassen op onze driehoek, krijgen we:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Daarom,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Om het y-afsnijpunt van de lijn te vinden, schrijven we de vergelijking van de lijn in de punt-hellingvorm, waarbij we de gegeven waarden van m, x₁ en y₁ invullen:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Daarom is y=-2 het y-afsnijpunt van de lijn, of, met andere woorden, als x=0, y=-2.

Als y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

De schets toont de overeenkomstige lijn. In ons geval is de helling positief, m>0, en we kunnen zien dat de lijn toeneemt - hij gaat van links naar rechts omhoog. We kunnen ook zien dat de lijn vrij steil is omdat de hellingshoek θ ≈ 72° is.