Kubuswortelcalculator

Deze calculator kan gebruikt worden voor het vinden van alle derdemachtswortels van het gegeven getal. Het vindt zowel reële als imaginaire wortels.

Gebruiksaanwijzing

Om de derdemachtswortel van een getal te vinden, voer je dat getal in het invoerveld in en druk je op "Berekenen". De rekenmachine zal het antwoord in twee delen tonen: de "hoofdwortel (reëel)" en "alle wortels", waarbij "alle wortels" de hoofdwortel en de imaginaire wortels omvatten.

De rekenmachine accepteert positieve en negatieve gehele getallen als invoer. Breuken en imaginaire getallen worden niet geaccepteerd. Merk op dat als je een breuk of een imaginair getal als invoer gebruikt, deze kubuswortels calculator automatisch alles na het eerste niet-getal symbool zal negeren. Als je bijvoorbeeld 8/15 invoert, zal de rekenmachine de derdemachtswortel van 8 berekenen; als je 5 + 3i invoert, zal de derdemachtswortel van 5 berekend worden.

Definitie van de derdemachtswortel

De derdemachtswortel van een getal is gedefinieerd als het getal dat drie keer vermenigvuldigd moet worden om het oorspronkelijke getal te krijgen. De derdemachtswortel van x wordt gewoonlijk aangeduid als ∛x. Volgens de definitie is y de derdemachtswortel van x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

als

$$y \times y \times y = x$$

Het nemen van een derdemachtswortel uit een getal, ∛x, is gelijk aan het verheffen van dat getal tot de macht 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

De wortelbewerking is het omgekeerde van de kubusbewerking. Om de kubus van een getal te vinden, moet dat getal 3 keer vermenigvuldigd worden:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

En omgekeerd,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Perfecte kubussen

Een perfecte kubus is een getal waarvan de derdemachtswortel een geheel getal is. Bijvoorbeeld, 8 is een perfecte kubus omdat:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Omdat gehele getallen positief en negatief kunnen zijn, kunnen perfecte kubussen zowel positief als negatief zijn. Bijvoorbeeld, -8 is een perfecte kubus omdat:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 is ook een geheel getal en

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Daarom is 0 ook een perfecte kubus.

Aan de andere kant is 4 geen perfecte kubus omdat de echte derdemachtswortel van 4 is:

∛4 ≈ 1,58740105

die geen geheel getal is.

Eigenschappen van de derdemachtswortel

Een derdemachtswortel van een negatief getal is gedefinieerd als het negatief van de derdemachtswortel van een positief getal, dus,

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Bijvoorbeeld,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Vermenigvuldigingseigenschap van vierkantswortels:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Hoe de derdemachtswortel berekenen

De reële derdemachtswortel van een perfecte kubus berekenen

Om de derdemachtswortel van een getal te vinden, gebruik je de priemfactorisatiemethode:

1. Zoek de priemfactoren van het getal.
2. Verdeel de priemfactoren in groepen van drie dezelfde factoren.
3. Neem een factor van elk van de groepen en vermenigvuldig ze om het uiteindelijke antwoord te krijgen.

Laten we bijvoorbeeld alle echte derdemachtswortels van 3375, ∛3375, vinden:

1. Als we de priemfactoren van 3375 vinden, krijgen we 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Door ze te verdelen in groepen van drie dezelfde factoren, krijgen we 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. Als we ten slotte van elke groep één factor nemen en die vermenigvuldigen, krijgen we 3 × 5 = 15.

Daarom is ∛3375 = 15.

Als de priemfactoren van een getal geen groepen van drie vormen, is het getal geen perfecte kubus en kunnen we deze methode niet gebruiken om de derdemachtswortel te vinden.

Berekening van de reele derdemachtswortel van een getal groter dan -1 en kleiner dan 1 (exclusief 0)

Als het gegeven getal groter is dan -1 en kleiner dan 1, kan het geen perfecte kubus zijn, want per definitie is een perfecte kubus een getal waarvan de derdemachtswortel een geheel getal is. Elk getal y uit het interval -1 < y < 1 dat niet 0 is, kan geen perfecte kubus zijn. Soms kan het echter relatief eenvoudig zijn om de echte derdemachtswortel van zo'n getal te vinden.

Laten we bijvoorbeeld alle echte derdemachtswortels van -0,000125 vinden. Dit getal is geen geheel getal. Daarom kunnen we de hierboven beschreven priemfactorisatiemethode niet gebruiken.

Maar we kunnen gemakkelijk opmerken dat -0.000125 = -125 × 10⁻⁶. Daarom,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Als we de vermenigvuldigingseigenschap van de derdemachtswortel toepassen, krijgen we:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Door de derdemachtswortel van het negatieve getal te herschrijven als het negatieve van de derdemachtswortel van het positieve getal, krijgen we:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Het is gemakkelijk op te merken dat 125 = 5 × 5 × 5, and 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻². Daarom,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

en

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Uiteindelijk krijgen we:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Voorbeelden uit het echte leven

Kubuswortels worden in het echte leven gebruikt om de zijlengte van een kubusvormig object te vinden. Als je bijvoorbeeld het volume van een doos weet en wilt weten hoe hoog deze is, kijk dan of de doos ergens in past. Of als je de hoeveelheid verf moet schatten die je nodig hebt om de muren van een kubusvormige kamer te schilderen. Of als je het aantal tegels moet tellen, moet je de vloer van een kubusvormige kamer met een bekend volume bedekken.

Het kubieke volume van hout

Stel je voor dat je een huis bouwt en je vindt een advertentie waarin 64 kubieke meter hout te koop wordt aangeboden. Wat zouden de afmetingen van dat volume hout zijn in lengte, breedte en hoogte?

Om dit probleem op te lossen, moet je de derdemachtswortel van 64 vinden. De lengte van de zijde van de denkbeeldige kubus die je zou helpen om dit volume te beschrijven zou ∛64 = 4 zijn. Op basis van de oorspronkelijke gegevens over het kubusvolume van hout hebben we dus een ander idee van de grootte van zo'n volume.