Kwadratische formule rekenmachine

Het gebruik van een kwadratische formule calculator

Deze rekenmachine is een eenvoudig te gebruiken hulpmiddel om kwadratische vergelijkingen op te lossen. In algebra is een kwadratische vergelijking elke vergelijking die in de volgende vorm kan worden geschreven:

ax²+bx+c=0

waarbij

a≠0

Om de rekenmachine voor kwadratische formules te gebruiken, voer je de waarden van A, B en C in de overeenkomstige velden in en druk je op "Berekenen". De waarde van A kan niet gelijk zijn aan nul, terwijl nul een acceptabele invoer is voor B en C. Voor reële en complexe wortels zal de rekenmachine de kwadratische formule gebruiken om alle oplossingen van een gegeven vergelijking te bepalen. Na gebruik van de kwadratische formule zal de rekenmachine ook de resulterende radicaal vereenvoudigen om de oplossingen in hun eenvoudigste vorm te vinden.

Kwadratische vergelijkingen oplossen met de kwadratische formule

Je kunt elke kwadratische vergelijking oplossen met de kwadratische formule. Om de kwadratische formule te gebruiken, moet je eerst de gegeven vergelijking in de volgende vorm brengen: ax²+bx+c=0. Daarna kunnen de oplossingen als volgt gevonden worden:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Het deel van de vergelijking onder de vierkantswortel, b²-4ac, heet de discriminant.

• Als de discriminant positief is, b²-4ac>0, dan heeft de vergelijking twee reele wortels.
• Als de discriminant negatief is, b²-4ac<0, dan heeft de vergelijking twee complexe wortels omdat de vierkantswortel van een negatief getal een complex getal is.
• Als de discriminant gelijk is aan nul, b²-4ac=0, dan heeft de vergelijking maar één wortel. De rekenmachine voor kwadratische vergelijkingen toont de oplossingen van de ingevoerde vergelijkingen en de werkwijze om deze oplossingen te vinden. De calculator berekent ook de discriminant en laat zien of deze positief, negatief of gelijk aan nul is.

Praktische voorbeelden

Voorbeeld 1 (met echte wortels)

Laten we de kwadratische vergelijking oplossen:

2x²+3x-2=0

In dit voorbeeld

a=2,b=3,c=-2

Als we de kwadratische formule voor deze waarden gebruiken, krijgen we:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

De discriminant van deze vergelijking is positief,

b²-4ac=25>0

Daarom zal de vergelijking twee reële wortels hebben.

Laten we nu de resulterende radicaal vereenvoudigen:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ en \ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ en \ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ en \ \ \ x=-2$$

Uiteindelijk

x=0,5

x=-2

Voorbeeld 2 (met complexe wortels)

Laten we de volgende kwadratische vergelijking oplossen:

x²+2x+5=0

In dit voorbeeld

a=1,b=2,c=5

Als we de kwadratische formule voor deze waarden gebruiken, krijgen we:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

De discriminant van deze vergelijking is negatief,

b²-4ac=-16<0

Daarom zal de vergelijking twee complexe wortels hebben.

Laten we nu de resulterende radicaal vereenvoudigen:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Uiteindelijk

x=-1+2i

x=-1-2i

Voorbeeld 3 (met één wortel)

Laten we de volgende kwadratische vergelijking oplossen:

3x²+6x+3=0

In dit voorbeeld

a=3,b=6,c=3

Als we de kwadratische formule voor deze waarden gebruiken, krijgen we:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

De discriminant van deze vergelijking is nul, b²-4ac=0. Daarom zal de vergelijking één wortel hebben.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Uiteindelijk,

x=-1

Afleiding van de kwadratische formule

Zoals hierboven is aangetoond, kun je de kwadratische formule gebruiken om absoluut elke kwadratische vergelijking op te lossen, ongeacht of de discriminant positief of negatief is of gelijk aan nul. Laten we nu onderzoeken hoe de formule kan worden afgeleid. Het kennen van de basisprincipes van het afleiden van formules kan erg handig zijn als je de formule zelf vergeet.

Het algoritme voor het afleiden van kwadratische formules is relatief eenvoudig en is gebaseerd op de procedure van het completeren van het kwadraat. Om de oplossingen van de standaard kwadratische vergelijking ax²+bx+c=0 af te leiden, moet je de onderstaande stappen volgen:

1. We hebben een vergelijking:

ax²+bx+c=0

Verplaats de constante C naar de rechterkant van de vergelijking:

ax²+bx=-c

2. Verwijder de coëfficiënt A naast de kwadratische term x². Deel hiervoor de vergelijking door A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Voeg toe.

$$(\frac{b}{2a})^2$$

aan beide zijden van de vergelijking:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Het linkerlid heeft nu de vorm

x²+2dx+d²

Deze uitdrukking kan herschreven worden als

(x+d)²

In onze vergelijking wordt d uitgedrukt als

$$\frac{b}{2a}$$

Dus:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Vul dit in aan de linkerkant van onze formule en laat de rechterkant voor nu onaangeroerd:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Nu komt de wortel x maar één keer voor in de vergelijking.

5. Trek de vierkantswortel uit beide delen van de vergelijking:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Verplaats \$\frac{b}{2a}\$ naar de rechterkant van de vergelijking:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Vermenigvuldig de rechterkant van de vergelijking met

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Vereenvoudig de vergelijking:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Als resultaat krijgen we een kwadratische formule:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Interessante feiten over kwadratische vergelijking

• De som van de twee wortels van de kwadratische vergelijking is $$\frac{-b}{a}$$

Bijgevolg, als de discriminant van de kwadratische vergelijking b²-4ac gelijk is aan nul, kun je de enige wortel van de vergelijking vinden als

$$\frac{-b}{2a}$$

• Het product van de twee wortels van de kwadratische vergelijking is

$$\frac{c}{a}$$

• De term "kwadratisch" komt van het Latijnse woord "quadratus", wat "kwadraat" betekent. De vergelijking werd kwadratisch genoemd omdat de hoogste macht van de variabele 2 is, dat wil zeggen dat de variabele " in het kwadraat " is.

• De kwadratische formule in zijn huidige vorm werd al in 628 na Christus beschreven door de Indiase wiskundige Brahmagupta, die geen symbolen gebruikte maar de oplossing besprak met woorden. Brahmagupta beschreef echter slechts één van de twee mogelijke oplossingen, waarbij hij het belangrijke ± teken voor de vierkantswortel wegliet.

• De grafiek van een kwadratische functie y=ax²+bx+c is een parabool. De oplossingen, of wortels, van de kwadratische vergelijking zijn eigenlijk de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as. Als de vergelijking twee echte wortels heeft, snijdt de grafiek de x-as twee keer. Als de vergelijking slechts één wortel heeft, raakt de grafiek van de bijbehorende parabool de x-as alleen op zijn maximum of minimum. Als de vergelijking geen echte wortels heeft, snijdt de grafiek van de bijbehorende parabool de x-as helemaal niet.

• Wanneer de waarde van de coëfficiënt van de kwadratische term, A, nul nadert, wordt de grafiek van de overeenkomstige parabool vlakker en neigt uiteindelijk naar een rechte lijn. Wanneer a=0, wordt de vergelijking lineair, en de grafische voorstelling ervan is duidelijk een rechte lijn!

• Op dezelfde manier zal de parabool naar boven wijzen als a>0. Als a<0, zal de overeenkomstige parabool naar beneden wijzen. Als a=0, is de "parabool" vlak, dus een rechte lijn.

Kwadratische vergelijkingen worden veel gebruikt in alle takken van de wetenschap. In de natuurkunde worden kwadratische vergelijkingen bijvoorbeeld gebruikt om de beweging van een projectiel te beschrijven.