Kwadratische Vergelijking Rekenmachine

De Kwadratische Vergelijkingscalculator

Kwadratische vergelijkingen zijn een belangrijk onderdeel van de wiskundecurricula op scholen en universiteiten. De oplossing van een kwadratische vergelijking geeft bijvoorbeeld verschillende informatie zoals de veranderingspercentages, stijgingen en dalingen van de functie. Het vinden van de oplossing van een kwadratische vergelijking vereist het uitvoeren van een reeks algebraïsche en rekenkundige bewerkingen. Hoewel de oplossing een standaardvorm heeft, kost het wat tijd om de wiskunde handmatig uit te voeren.

De online kwadratische formule calculator is een eenvoudig te gebruiken hulpmiddel dat de gebruiker direct de oplossing van een kwadratische vergelijking geeft. Deze gratis tool geeft de antwoorden en presenteert de toegepaste stappen bij het oplossen van de vergelijking. Hierdoor krijgt de gebruiker een idee van de probleemoplossing, de numerieke resultaten en een stapsgewijze gids door de oplossing.

Kwadratische vergelijkingen

Een kwadratische vergelijking, ook wel kwadratische functie of tweedegraads polynoom genoemd, is een algebraïsche vergelijking met de algemene vorm ax²+bx+c=0 waarbij x een onbekende variabele is die gevonden moet worden. De termen a en b zijn de coëfficiënten van respectievelijk x² en x, terwijl C een constante is. Het woord "quad" of "tweedegraads" komt van het feit dat de hoogste exponent van de variabele x 2 is, zoals in x². We kunnen hieronder enkele voorbeelden van kwadratische vergelijkingen laten zien.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

De vergelijking 2x²=0 is ook een kwadratische vergelijking, met b=0 en c=0. Maar 2x+3=0 is geen kwadratische vergelijking omdat de kwadratische term ax² niet in de vergelijking voorkomt. Zoals aangetoond in de vorige voorbeelden kunnen de waarden van A, B en C positieve/negatieve gehele getallen of decimalen (breuken) zijn zodat a≠0.

Kwadratische vergelijkingen oplossen

Het aantal mogelijke oplossingen van een vergelijking is gelijk aan de hoogste exponentwaarde in de vergelijking. Een kwadratische vergelijking kan in deze context maximaal twee oplossingen hebben. Een manier om een kwadratische functie op te lossen is met behulp van de kwadratische formule in vergelijking (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Je kunt de compacte vorm voor de kwadratische formule schrijven als:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Dit is een eenvoudige oplossing waarbij de gebruiker de waarden A, B en C kan invullen om de waarde van x₁ en x₂ te krijgen. Afhankelijk van de waarde van de discriminant, aangeduid door de term onder de vierkantswortel b²-4ac, verandert het aantal en de aard van de oplossing. We kunnen drie gevallen bespreken:

• Als de discriminant positief is; b²-4ac>0, dan bestaan er twee reële oplossingen (x₁≠x₂)
• Als de discriminant nul is; b²-4ac=0, dan bestaat er één reële oplossing (x₁=x₂)
• Als de discriminant negatief is; b²-4ac<0, dan bestaan er twee complexe oplossingen (x₁≠x₂)

We zullen van elk geval een voorbeeld geven in het hoofdstuk Voorbeelden.

Grafisch, op een x-y coördinatenvlak, waar y een functie is van x, kan de lezer de oplossing(en) van een kwadratische functie visueel realiseren als de *x-coördinaat (-en) * van de punten waar de functie y de x-as kruist.

De Kwadratische Formule Rekenmachine gebruiken

De rekenmachine voor kwadratische formules kan alle kwadratische vergelijkingen oplossen, ongeacht de aard van de oplossing (reëel of complex). De rekenmachine heeft drie invoergegevens nodig: de waarden van A, B en C. In sommige gevallen moet de gebruiker enkele manipulaties aan de vergelijking uitvoeren voordat hij de rekenmachine kan gebruiken.

In 2x² = x + 3 moet de gebruiker gewoon de termen van de rechterkant naar de linkerkant verplaatsen. Als resultaat krijgen we 2x²-x-3=0, waarbij a = 2, b = -1, en c = - 3.

Bovendien, als we 4(x²-0,2x)=1 beschouwen, moet de gebruiker de haakjes uitbreiden door 4x²-0,8x=1 te schrijven en vervolgens de termen aan de linkerkant naar de rechterkant verplaatsen om de vergelijking in de algemene vorm te zetten als 4x²-0,8x-1=0 waarbij a = 4, b=-0,8 en c=-1.

Voorbeelden

In deze sectie kunnen drie voorbeelden de drie mogelijke gevallen van de oplossing van de kwadratische vergelijking met de rekenmachine voor kwadratische vergelijkingen uitleggen.

Voorbeeld 1: Twee reële oplossingen

We moeten de oplossing(en) vinden van de kwadratische functie y₁ gegeven als y₁=x²-8x+12 en getekend in figuur 1.

Intuïtief gaat het erom de x-coördinaten te vinden van de punten waar de functie y₁ de x-as kruist - als die er zijn.

Figuur 1: Plot van y₁=x²-8x+12

Eerst wordt de functie gelijkgesteld aan nul ( y₁ wordt vervangen door 0), wat x²-8x+12=0 oplevert. We zien dat de laatste vergelijking de standaard kwadratische vergelijkingsvorm heeft waarbij a=1, b=-8 en c=12. We kunnen direct de rekenmachine voor kwadratische vergelijkingsformules gebruiken.

Als je de waarde van de discriminant b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0 controleert, zou de kwadratische functie twee reële oplossingen moeten hebben. Na het klikken op de berekenknop geeft de rekenmachine de numerieke oplossing en de oplossingsstappen met behulp van de kwadratische formule van de vergelijking (1).

Het is belangrijk om te benadrukken dat na het invoeren van de waarden van A, B en C, de rekenmachine de vergelijking toont. De gebruiker kan overwegen om te controleren of de getoonde vergelijking dezelfde is als de vergelijking in de hand om invoerfouten te voorkomen.

• Vergelijking: x²-8x+12=0

• Oplossing: x₁=2 and x₂=6

• Stappen:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ of \ 2$$

De oplossing is dus x₁=2 en x₂=6. We kunnen de resultaten grafisch valideren door het snijpunt van de functie met de x-as te inspecteren. Figuur 2 laat zien dat de functie de x-as kruist in de eerder genoemde punten.

Figuur 2: Plot van y₁=x²-8x+12

Voorbeeld 2: Eén reële oplossing

Als we een andere functie nemen, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Alvorens de rekenmachine te gebruiken, zou een eerste stap zijn om y₂ aan de ene kant te isoleren en alle andere termen aan de andere kant te verzamelen als y₂=-4x²+10x+3x²-25. Door y₂ gelijk te stellen aan nul en de rekenkundige bewerkingen uit te voeren, wordt de algemene vorm verkregen als -x²+10x-25=0 met a=-1, b=10 en c=-25.

De discriminant is gelijk aan nul b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, dus de gebruiker zou een enkele oplossing verwachten. Dan kunnen we de kwadratische formule calculator gebruiken om x₁=x₂=5 te vinden.

• Vergelijking: -x²+10x-25=0

• Oplossing: x = 5

• Stappen:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

Figuur 3 toont de plot van y₂ waar te zien is dat de functie de x-as in één punt kruist.

Figuur 3: y₂=-x²+10x-25

Voorbeeld 3: Twee complexe oplossingen

Tenslotte wordt y₃=x²-4x+8 bestudeerd om te laten zien hoe een kwadratische functie twee complexe oplossingen kan hebben. Figuur 4 laat zien dat y₃ de x-as niet kruist.

Figuur 4: y₃=x²-4x+8

Kijkend naar b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 wat duidt op het bestaan van twee complexe oplossingen, maar wat zijn complexe getallen?

Een complex getal is een getal dat wordt uitgedrukt in de vorm van een combinatie van reële en imaginaire getallen en de vorm heeft van a+ib.

In dit geval staat 'i' in complexe getallen voor de imaginaire eenheid, die de vierkantswortel van -1 voorstelt.

De term A duidt het reële deel van het complexe getal (Re) aan. Anderzijds is ib het imaginaire getal (Im) waarbij i=√-1.

De vierkantswortel zal een negatief getal bevatten als de term b²-4ac kleiner is dan nul. De vierkantswortel nemen van een negatief getal vereist dus het gebruik van complexe getallen.

Terug naar het vinden van de oplossing van x²-4x+8=0; de rekenmachine lost de vergelijking op en vindt x₁=2+2i en x₂=2-2i.

• Vergelijking: x²-4x+8=0

• Er zijn twee mogelijke oplossingen: x=2±2i

• Stappen:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Gebruik en tips

De kwadratische formule calculator is ontworpen voor studenten op scholen en universiteiten of iedereen die op zoek is naar een snelle oplossing voor een kwadratische functie. Kwadratische functies komen voor in techniek, economie, landbouw, etc.

Hoewel het gebruik van de tool eenvoudig is, moet de gebruiker in staat zijn om elementaire rekenkundige bewerkingen uit te voeren om de vergelijking in de standaard kwadratische vorm ax²+bx+c=0 te zetten om de tool te gebruiken. Bovendien is het wenselijk (geen vereiste) om bekend te zijn met complexe getallen, aangezien de oplossing van een kwadratische vergelijking een paar complexe getallen kan zijn.

De gebruiker kan ook geïnteresseerd zijn in het gebruik van plotting tools om de functie en zijn oplossingen te visualiseren.