Modulo Calculator

De Modulo-operatie is een methode om de rest van een deling te vinden. Het specifieke aan modulo is dat het de rest als een geheel getal retourneert.

Stel, je hebt drie kinderen. Je koopt een doos snoepjes met daarin 20 stuks. Je wilt alle snoepjes eerlijk en gelijkmatig verdelen onder je kinderen. En het snoepje dat overblijft zelf opeten zonder het te hoeven snijden of breken. Je kinderen zijn nog op school. Dus je kunt eerst de resterende hoeveelheid na de deling bepalen en je aantal snoepjes opeten.

Dit is een geval waarin je de modulo-operator kunt gebruiken. Het kan ook worden weergegeven als het %-teken of mod. Voor bewerkingen met kleine getallen kun je berekeningen in je hoofd uitvoeren. Als je met grote getallen werkt, is het comfortabeler om een modulo-calculator te gebruiken.

De vergelijking kan als volgt worden weergegeven:

Deeltal = (Quotiënt × Deler) + Rest

In ons geval:

• het deeltal is 20 (het totale aantal snoepjes);
• de deler is 3 (het aantal kinderen);
• het quotiënt is 6 (het aantal snoepjes voor elk kind);
• de rest is 2 (het aantal snoepjes dat je zelf kunt nemen).

Als je de modulo-operatie gebruikt, kun je het als volgt opschrijven:

x % y = r

of

x mod y = r

Waarbij x het deeltal is, y de deler en r de rest.

In ons geval,

20 % 3 = 2

Berekeningen Zonder een Modulus Calculator

Laten we een specifiek geval als voorbeeld nemen.

Voorbeeld

Wayan woont op Bali en bouwt een klein pension met zes wooneenheden. Hij gaat de badkamers betegelen. Zijn buurman Gede, die zijn hotel al heeft afgebouwd, biedt Wayan een aanzienlijke korting om de overgebleven tegels te kopen.

De buurman telde 15 dozen in zijn magazijn, elk met 4 (60 × 60 cm) tegels en twee losse tegels. Dat zijn in totaal 62 tegels. En Gede wil alle tegels in één keer verkopen.

Nu moet Wayan uitzoeken hoeveel badkamers hij kan betegelen met deze tegels. En hoeveel tegels mogelijk ongebruikt blijven?

Hoe vind je handmatig de modulus zonder modulus-operator calculator?

Wayan mat de grootte van een standaardbadkamer in zijn pension en realiseerde zich dat hij ongeveer 14 tegels per kamer nodig had.

Laten we de handmatige berekeningen doen!

1. Kies een startgetal of deeltal. In ons geval is dat 62, of het aantal tegels dat de buurman aanbiedt.
2. Bepaal de deler. Dit is 14—het gemiddeld aantal tegels voor een standaardbadkamer.
3. Deel het deeltal door de deler en rond het resultaat af op een geheel getal. 62 / 14 = 4,428571428571429 of 4. Dus Wayan kan de tegels gebruiken voor vier badkamers.
4. Vermenigvuldig het afgeronde resultaat van de deling met de deler. En dat is 4 × 14 = 56. Dit wordt het aantal tegels voor vier kamers.
5. Trek dit vermenigvuldigingsresultaat af van het originele deeltal. Dat is 62 - 56 = 6. Dit laat Wayan met zes extra tegels.

Op een vereenvoudigde en verkorte manier kunnen we deze operatie als volgt schrijven:

62 % 14 = 6

of

62 mod 14 = 6

Wayan besloot dat dit een goede optie is omdat hij ongeveer 10% tegelreserve moet nemen voor het tegelwerk in geval van afsnijdingen of misverstanden. En hij zal de tegels voor de andere twee badkamers kopen bij een lokale bouwmarkt.

Een mod-calculator zou dit resultaat in slechts enkele seconden kunnen leveren.

Klokdemonstratie van het Modulo-principe

Een type wiskunde genaamd "modulaire rekenkunde" gaat over cyclische structuren. De gemakkelijkste manier om dit voor te stellen is een wijzerplaat met een cyclus van 12. Voor een wiskundige heeft de wijzerplaat mod 12.

Als je wilt weten of je 251 uur door dagen kunt delen zonder rest, kun je de bewerking toepassen

251 mod 24

Het resultaat is 11, dus het antwoord is nee! We kunnen alleen "ja" antwoorden als het resultaat 0 is.

Voorbeeld

Daniel wil met de bus van Atlanta naar Miami. De bus vertrekt om 13:00 uur en de reis duurt 15 uur. Hoe laat is het als hij aankomt? Dat zou zijn

13 + 15 mod 12

wat 4 is. In zijn geval zal het 4 uur 's ochtends zijn.

Gebruik van Modulo

Bepalen van Even en Oneven Getallen

Een van de meest basale toepassingen van de modulus-operator is om te bepalen of een getal even of oneven is. Dit is mogelijk omdat x % 2 altijd 0 of 1 retourneert. Even getallen retourneren altijd 0 omdat ze gelijk verdeeld zijn door 2, terwijl oneven getallen altijd een rest van 1 retourneren.

De meest voorkomende toepassing van modulo in programmeren is wanneer je een tabel in je applicatie afdrukt en wilt afwisselen van kleuren in de rijen. Je wilt ze bijvoorbeeld lichtblauw en lichtgrijs kleuren, dus je controleert modulo om te zien of je op een even of oneven rij zit.

Eenheid Conversie

Eenheid conversie is een typisch voorbeeld van het praktisch gebruik van de modulo-operatie. Het wordt meestal gebruikt wanneer we een kleinere eenheid, zoals minuten, inches of centimeters, willen omzetten naar een grotere eenheid, zoals uren, mijlen of kilometers. Decimale of fractionele getallen zijn niet altijd nuttig in dergelijke situaties.

Bijvoorbeeld, als we het aantal uren in 373 minuten willen weten, kan een resultaat uitgedrukt als 6 uur en 13 minuten waardevoller zijn dan 6,2166666666666666667 uur.

Standaard deling (met afronding naar het dichtstbijzijnde gehele getal) bepaalt het aantal uren, en de modulo-operatie wordt gebruikt om rekening te houden met de resterende minuten. Of je nu te maken hebt met tijd, afstand, druk, energie of gegevensopslag, je kunt deze algemene aanpak gebruiken voor het omzetten van eenheden.

Bepalen van een Schrikkeljaar

Een ander voorbeeld van het gebruik van de modulo-operator is om te zien of een jaar een schrikkeljaar is.

Een schrikkeljaar is een kalenderjaar met een extra dag in de zonnekalender. De extra dag in een schrikkeljaar is 29 februari.

Op 1 januari 45 v.Chr. introduceerde de Romeinse dictator Gaius Julius Caesar de kalender die in Rome was ontwikkeld door Alexandrijnse astronomen. De kalender was gebaseerd op de berekening dat een astronomisch jaar ongeveer 365,25 dagen duurt (365 dagen en 6 uur). Deze kalender werd de Juliaanse kalender genoemd.

Om de verschuiving van zes uur te compenseren, introduceerde Caesar een schrikkeljaar. Gedurende drie opeenvolgende jaren waren er 365 dagen in een jaar. En elk jaar, een veelvoud van vier, werd een extra dag toegevoegd in februari.

Na verloop van tijd bleek echter dat deze regel alleen niet voldoende was.

Het gemiddelde tropische jaar (de tijd tussen de twee lentepunten) is nauwkeuriger ongeveer 365 dagen, 5 uur en 49 minuten. Het verschil tussen het gemiddelde jaar en het Juliaanse kalenderjaar (365 dagen en 6 uur) was ongeveer 11 minuten. Dus in ongeveer 128 jaar konden die 11 minuten optellen tot een hele extra dag.

Om de opgelopen fouten te compenseren en een soortgelijke verschuiving in de toekomst te voorkomen, hervormde paus Gregorius XIII de kalender in 1582. Hij voegde extra regels toe voor schrikkeljaren. Schrikkeljaren waren nog steeds een veelvoud van vier, maar er werden uitzonderingen gemaakt voor die jaren die een veelvoud van 100 waren. Dergelijke jaren waren alleen schrikkeljaren als ze ook deelbaar waren door 400.

De regels voor het bepalen van het schrikkeljaar werden als volgt:

• Een jaar waarvan het nummer een veelvoud van 400 is, is een schrikkeljaar.
• De rest van de jaren waarvan het totaal een veelvoud van 100 is, zijn geen schrikkeljaren (bijvoorbeeld de jaren 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300);
• De rest van de jaren, waarvan het nummer een veelvoud van 4 is, zijn schrikkeljaren.
• Alle andere jaren zijn geen schrikkeljaren.

Dus de jaren 1700, 1800 en 1900 zijn geen schrikkeljaren, omdat ze een veelvoud van 100 zijn en geen veelvoud van 400. De jaren 1600 en 2000 zijn schrikkeljaren, omdat ze een veelvoud van 400 zijn.

Laten we teruggaan naar ons probleem.

We weten dat:

• Als een jaarnummer mod 4 = 0, en een jaarnummer mod 100 ≠ 0, dan is het een schrikkeljaar.
• Als een jaarnummer mod 400 = 0, dan is het een schrikkeljaar.
• In alle andere gevallen is het geen schrikkeljaar.

Met een eenvoudig Python-script kun je bepalen of een jaar een schrikkeljaar is of niet. Het ziet er zo uit:

jaar = int(input('Voer jaar in: '))

if (jaar%4 == 0 and jaar%100 != 0) of (jaar%400 == 0) :

	print(jaar, "is een schrikkeljaar.")

else:

	print(jaar, "is geen schrikkeljaar.")

Populaire toepassingen van de modulo-operator in programmering zijn onder andere:

• bepalen of iets even of oneven is;
• het uitvoeren van een specifieke bewerking op elk N-de item in een lijst;
• het beperken van het aantal tot een bereik;
• het roteren door beperkte opties (circulaire array);
• het omkeren van een nummer;
• het omzetten van lineaire gegevens naar een matrix;
• bepalen of arrays geroteerde versies van elkaar zijn;
• paginering.

Random-getallengeneratoren

Modulo matching wordt vaak gebruikt in computerhardware en telecommunicatieapparatuur om controlegetallen te creëren en willekeurige getallen te genereren in een beperkt bereik, zoals een congruente random-getallengenerator. Derrick Henry Lemer stelde de lineaire congruente methode voor in 1949.

De lineaire congruente methode werkt volgens de formule:

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

Waarbij:

• m de modulo is,
• a de vermenigvuldigingsfactor is,
• c de increment is, en
• X₀ de beginwaarde is.

Bijvoorbeeld, voor m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9, krijgen we de volgende reeks willekeurige getallen:

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

Cryptografie

Cryptografen zijn dol op modulo. Omdat wanneer het wordt gebruikt met echt grote getallen, je iets kunt creëren met modulo wat bekend staat als "eenrichtingsfuncties." Deze speciale functies maken het gemakkelijk om iets in één richting te berekenen, maar niet in de tegenovergestelde richting.

Als 9 het resultaat is van kwadrateren, kun je snel bepalen dat de invoer 3 was. Je kunt je het hele proces voor je zien van begin tot eind. Als ik je vertel dat 9 het resultaat is van mod 29, is het moeilijker om erachter te komen wat in de invoer zit.

Cryptografen vinden dit idee leuk omdat ze deling met rest kunnen gebruiken om reusachtige priemgetallen te genereren om cryptografische sleutels te maken.

Conclusie

Of je nu probeert objecten gelijkmatig te verdelen in een opbergdoos, wilt weten of een getal deelbaar is door een ander getal, of gewoon probeert tijd te berekenen, modulo is altijd daar. In al deze gevallen is de rest net zo cruciaal als het quotiënt in de delingsoperatie.

Soms is het probleem voor de hand liggend en intuïtief. Echter, het is altijd beter om de moduluscalculator online te gebruiken om de oplossing te vinden wanneer dingen gecompliceerd zijn.