Permutatierekenmachine

De permutatierekenmachine berekent het aantal manieren waarop je n verschillende objecten kunt rangschikken, waarbij je steeds een steekproef van r elementen neemt. Het vertelt ons het aantal mogelijke rangschikkingen van objecten in groepen waarbij de volgorde van rangschikking belangrijk is. Het totale aantal te rangschikken objecten wordt aangeduid met n, terwijl het aantal elementen in elke groep wordt aangeduid met r.

Bijvoorbeeld, als we de letters XYZ in groepen van twee letters elk willen rangschikken, dan hebben we XY, XZ, YZ, YX, ZX en ZY: 6 manieren.

Om deze rekenmachine te gebruiken, voer n in, het totale aantal te rangschikken objecten in een bepaalde volgorde, en voer r in, het aantal elementen in elke groep, en klik vervolgens op "Bereken".

Permutaties

Een permutatie van een set is een rangschikking van de leden in een volgorde of een specifieke volgorde. Als een set al geordend is, is het een permutatie van zijn elementen. Voor een permutatie is de volgorde van de elementen belangrijk. Bijvoorbeeld, permutaties AB en BA zijn twee verschillende permutaties. Het aantal permutaties van n objecten in steekproeven van r objecten wordt aangeduid als nPr.

De berekening van het aantal permutaties hangt af van de te rangschikken objecten. Het hangt ook af van het al dan niet toestaan van herhalingen. Tenzij anders vermeld, gaan we ervan uit dat herhalingen niet zijn toegestaan bij het berekenen van permutaties.

In dit artikel zullen we kijken naar voorbeelden van permutaties zonder herhalingen.

Permutaties volgen het fundamentele principe van tellen. Het stelt dat als een experiment bestaat uit k gebeurtenissen waarbij de eerste gebeurtenis n₁ keer voorkomt, de tweede gebeurtenis n₂ keer voorkomt. En zo verder tot de gebeurtenis nₖ keer voorkomt. Het aantal manieren waarop het experiment achtereenvolgens kan plaatsvinden, wordt gegeven door het product van het aantal keren dat de afzonderlijke gebeurtenissen plaatsvinden, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Stel dat we het aantal mogelijke rangschikkingen van de letters ABC willen weten zonder herhalingen in permutaties. Elk van de letters kan als eerste komen, dus er zijn 3 manieren om de eerste letter in te stellen.

Nadat de eerste letter is ingesteld, zijn er nog twee letters over en een van de twee letters kan als tweede letter worden ingesteld, dus er zijn twee manieren om de tweede letter in te stellen. Nadat de tweede letter is ingesteld, blijft er slechts één letter over. Dus er is slechts één manier om de derde letter in te stellen.

Dus, volgens het fundamentele principe van tellen, zijn er 3 × 2 × 1 = 6 manieren om de letters ABC te rangschikken. Ze zijn ABC, ACB, BCA, BAC, CAB en CBA.

De Factoriële

Hierboven hebben we vastgesteld dat het aantal permutaties van 3 verschillende objecten wordt gegeven door 3 × 2 × 1 = 6. Over het algemeen wordt het aantal permutaties van n objecten (in totaal) gegeven door n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Dat is vermenigvuldigingen van alle gehele getallen vanaf n tot en met 1. De vermenigvuldiging van alle gehele getallen vanaf een geheel getal, laten we zeggen n, tot en met 1 wordt de factoriële genoemd en wordt aangeduid met ! (het uitroepteken).

Dus, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, en wordt n factoriële genoemd.

Merk op dat 0! = 1 en 1! = 1.

Het Voorbeeld van Permutaties

De standaardbaan voor races bij de Olympische Spelen heeft meestal 9 banen. Echter, voor de 100-meter race wordt baan 1 meestal niet gebruikt. 8 hardlopers worden op de banen 2 tot en met 9 op een rij geplaatst. Hoeveel mogelijke manieren zijn er om de 8 hardlopers op de banen 2 tot en met 9 te rangschikken?

Volgens het fundamentele telprincipe:

• krijgt een van de 8 hardlopers baan 2,
• kan een van de resterende 7 hardlopers baan 3 krijgen,
• kan een van de resterende 6 hardlopers baan 4 krijgen,
• kan een van de resterende 5 hardlopers baan 5 krijgen,
• kan een van de resterende 4 hardlopers baan 6 krijgen,
• kan een van de resterende 3 hardlopers baan 7 krijgen,
• kan een van de resterende 2 hardlopers baan 8 krijgen,
• krijgt de laatst overgebleven hardloper baan 9.

Daarom is het totaal aantal mogelijke permutaties van de 8 hardlopers die op de 8 banen kunnen worden gerangschikt 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 manieren.

In de permutatierekenmachine, voer 8 in in zowel de n (objecten) als de r (steekproef) vakjes en klik op Berekenen om 40.320 te krijgen.

Permutatie van Deelverzamelingen

In de voorgaande voorbeelden hebben we gekeken naar permutaties van objecten wanneer alle objecten worden overwogen in de rangschikkingen. Er zijn echter situaties waarin de objecten in kleinere groepen worden gerangschikt.

In die gevallen wordt het totale aantal objecten aangeduid met n, het aantal objecten in de groepen (steekproef) wordt aangeduid met r, en de formule geeft het aantal permutaties:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Deze formule wordt gebruikt om permutaties zonder herhalingen te berekenen. En als we in een bepaalde volgorde een steekproef r moeten organiseren, genomen uit de set n.

Als we het aantal keuzes berekenen waarmee we alle elementen van de set in een bepaalde volgorde en zonder herhalingen kunnen rangschikken, kunnen we de volgende formule gebruiken:

$$ₙPᵣ=n!$$

Voorbeeld

In het bovenstaande voorbeeld hebben we gekeken naar het aantal mogelijke manieren waarop alle acht hardlopers in een 100-meter race gerangschikt konden worden. Nu zijn er in dezelfde race drie medailles te winnen. De eerste plaats in de race wint de gouden medaille, en de hardlopers op de tweede en derde plaats winnen respectievelijk de zilveren en bronzen medailles. Uit de 8 hardlopers in de race, hoeveel mogelijke manieren zijn er om de goud-, zilver- en bronzen medaillewinnaars te krijgen?

Volgens het fundamentele telprincipe kan een van de 8 hardlopers de eerste positie innemen. Nadat de eerste positie is gevuld, zouden er zeven hardlopers overblijven om te strijden voor de tweede positie. En na de tweede positie zouden zes hardlopers strijden voor de derde positie. Daarom is het totaal aantal mogelijke permutaties van de eerste tot derde posities van de 8 hardlopers: 8 × 7 × 6 = 336

We gebruiken de formule:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

En we krijgen

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

En in de permutatierekenmachine, voer 8 in het n (objecten) vakje en 3 in het r (steekproef) vakje in en klik op "Berekenen" om 336 te krijgen.

Permutaties en Combinaties: Het Verschil

Een andere essentiële teltechniek zijn combinaties. Combinaties zijn de verschillende manieren waarop een kleiner aantal objecten (steekproef), r, kan worden geselecteerd uit een groter aantal objecten, n. Het aantal combinaties van r objecten uit n objecten wordt eenvoudigweg aangeduid met ₙCᵣ.

In de definitie van permutatie vermeldden we dat de volgorde of rangschikking belangrijk is. Nou, dat is het verschil tussen permutaties en combinaties, want bij combinaties is de volgorde niet belangrijk.

Dus, bijvoorbeeld, stelden we dat de permutaties van de letters XYZ in groepen van twee letters elk zullen zijn: XY, XZ, YZ, YX, ZX en ZY. Dus krijgen we zes permutaties.

Echter, de combinaties van de letters XYZ in groepen van twee letters elk zijn XY, XZ en YZ; drie combinaties. Dit komt omdat, bij combinaties, XY en YX als dezelfde combinaties worden beschouwd; hetzelfde met XZ en ZX, en hetzelfde met YZ en ZY. Dus de volgorde van rangschikking maakt niet uit bij het berekenen van combinaties.

De formule geeft het aantal combinaties van r objecten uit n objecten:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Voorbeeld van het Berekenen van Combinaties

In het bovenstaande voorbeeld met de hardlopers hebben we het aantal manieren berekend waarop we de eerste, tweede en derde posities kunnen selecteren uit een groep van 8 hardlopers. Stel dat we willen weten op hoeveel manieren 3 medaillewinnaars kunnen worden geselecteerd uit de groep van 8 hardlopers zonder rekening te houden met hun posities. Het maakt niet uit of de persoon als eerste, tweede of derde eindigt, zolang de hardloper maar een medaille wint.

In dit geval worden combinaties gebruikt omdat de volgorde van de medailles onbelangrijk is. Dus, we lossen dit op met behulp van de combinatieformule.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Het aantal manieren waarop 3 medaillewinnaars kunnen worden geselecteerd uit 8 hardlopers wordt gegeven door:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Voorbeelden van het berekenen van permutaties

1. De producent van een nieuwsprogramma kan 3 van de 5 gastsprekers kiezen voor hun analytisch programma. De volgorde van de gasten is belangrijk. Op hoeveel verschillende manieren kan de producent de presentaties van de gasten rangschikken? Volgorde is belangrijk en herhaling zal niet worden gebruikt omdat dezelfde gast niet twee keer in hetzelfde nieuwsprogramma kan verschijnen. Daarom kunnen we de formule voor permutaties gebruiken.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Zo kunnen we zien dat de producent 60 manieren heeft om de sprekers te organiseren.

2. Een restaurantcriticus heeft 10 goede eetgelegenheden in de stad geselecteerd die sushi serveren om de top 3 sushi-restaurants te rangschikken. De eetgelegenheden moeten in een volgorde worden gepresenteerd die hun plaats in de ranglijst toont. Ook mag dezelfde plaats niet meerdere keren in de ranglijst voorkomen. Dus voldoen we aan de vereisten voor de formule van permutaties - de volgorde is belangrijk en er mogen geen herhalingen zijn. We gebruiken de formule voor permutaties:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Wanneer we zeggen dat volgorde belangrijk is voor permutaties, betekent dit niet dat de volgorde numeriek moet zijn van 1 tot, laten we zeggen, 10 of een ander getal. De volgorde kan worden gevormd door bepaalde objecten waartussen we onze elementen van de set verdelen.

Neem bijvoorbeeld de manager van een huisreparatiebedrijf. Hij heeft vandaag vier opdrachten voor het schilderen van kamers. Dit zijn het kantoor van een visumbureau, een magazijn in een fabriek, een kledingwinkel en een kamer in een privéwoning. Het bedrijf heeft zes schilders. Elk van hen kan gedurende één dag naar 1 faciliteit gaan. De overige twee schilders hebben een vrije dag.

Deze objecten zijn het kantoor van een visumbureau, een magazijn in een fabriek, een kledingwinkel en een kamer in een privéwoning, die de analogen zijn van posities 1, 2, 3 en 4.

De manager heeft:

• 6 kandidaten die aan het kantoor kunnen worden toegewezen,
• 5 overgebleven kandidaten die aan het magazijn kunnen worden toegewezen,
• 4 overgebleven kandidaten die naar de winkel kunnen worden gestuurd,
• 3 overgebleven kandidaten die aan een kamer in een privéwoning kunnen worden toegewezen.

Dus intuïtief kunnen we het aantal keuzes beschrijven als 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

We krijgen de voorwaarde dat de volgorde waarin de schilders over de objecten worden verdeeld, belangrijk voor ons is. Geen herhaling is toegestaan, dat wil zeggen, een schilder die op dezelfde dag aan meer dan één object werkt. Dus kunnen we de permutatieformule toepassen die we al eerder gebruikten.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Het blijkt dat er 360 verschillende manieren zijn waarop een manager van een huisreparatiebedrijf opdrachten kan toewijzen aan de beschikbare schilders onder gegeven voorwaarden.