Rechthoekige Driehoek Calculator

Rechthoekige Driehoek Calculator

De rechthoekige driehoek calculator is een online driehoekoplosser die zich uitsluitend richt op rechthoekige driehoeken. De calculator neemt twee waarden van de rechthoekige driehoek als invoer en berekent de ontbrekende driehoeksmetingen. De inbegrepen waarden zijn – de lengtes van de zijden van de driehoek (a, b en c), de hoekwaarden behalve de rechte hoek (α en β), omtrek (P), oppervlakte (A) en hoogte-tot-hypotenusa (h).

Om de calculator te gebruiken, voer twee van de bovenstaande waarden in en druk op "Berekenen".

De hoekwaarden kunnen zowel in graden als in radialen worden ingevoerd. Om de waarde in radialen met π in te voeren, gebruik de volgende notatie: "pi." Bijvoorbeeld, als de gegeven hoekwaarde π/3 is, voer dan "pi/3" in.

De calculator toont alle ontbrekende waarden en de berekeningsstappen. De calculator zal ook de geschaalde weergave van de relevante driehoek tonen, en de waarden van de binnenradius en de omtrekstraal.

Beperkingen op de invoerwaarden van de driehoekcalculator

1. Je kunt slechts twee waarden invoeren.
2. De hoekwaarden van α en β moeten minder zijn dan 90° of (π/2)rad.
3. De lengte van de hoogte-tot-hypotenusa (h) mag niet langer zijn dan de lengte van een van de catheti (a of b).
4. De lengte van elke zijde van de driehoek (a, b, of c) moet minder zijn dan de som van de andere twee zijden.
5. Voor elke gegeven lengte van de hypotenusa heeft de driehoek een maximale omtrek. De calculator accepteert geen omtrek die deze waarde overschrijdt. De maximale omtrek van de rechthoekige driehoek met de gegeven lengte van de hypotenusa komt overeen met het geval van een gelijkbenige driehoek (a=b). In dit geval \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, en de maximale omtrek \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Rechthoekige driehoek: definitie en nuttige informatie

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waar één hoek gelijk is aan 90° of \$\frac{π}{2}\ rad\$. De zijde tegenover de rechte hoek wordt de hypotenusa genoemd. De andere twee zijden worden de catheti of benen van de driehoek genoemd.

Het been b wordt soms de basis van de rechthoekige driehoek genoemd, en het been a is de hoogte van de rechthoekige driehoek.

De benen van de driehoek zijn altijd korter dan de hypotenusa. Aangezien één hoek van de driehoek 90° is, en de som van alle hoeken van elke driehoek 180° is, is de som van de andere twee hoeken van de rechthoekige driehoek ook 90°: α+β=90°. De lengtes van de zijden van de driehoek zijn gerelateerd aan elkaar zoals beschreven in de stelling van Pythagoras.

De Stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras relateert de lengtes van alle zijden van een rechthoekige driehoek. Het stelt dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee benen:

$$c^2=a^2+b²$$

Dientengevolge, als alleen de lengtes van de catheti bekend zijn, kan de lengte van de hypotenusa als volgt worden berekend:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Stel dat we de lengte van één cathetus en de lengte van de

hypotenusa kennen. In dat geval kunnen we de lengte van de andere cathetus als volgt berekenen:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

De stelling van Pythagoras is de belangrijkste stelling over de rechthoekige driehoek en een van de belangrijkste stellingen in de Euclidische meetkunde.

Andere essentiële formules

Naast de stelling van Pythagoras worden de volgende relaties gebruikt om de ontbrekende waarden van een rechthoekige driehoek te berekenen:

De omtrek van een driehoek is de som van de lengtes van al zijn zijden en wordt gevonden als

$$P = a + b + c$$

De oppervlakte van een rechthoekige driehoek wordt berekend als

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

Om de hoeken van de rechthoekige driehoek te vinden, moeten we de sinus, cosinus en tangens van de hoeken berekenen. Om de sinus, cosinus of tangens van een hoek te vinden, moeten we de aangrenzende en overstaande zijden van de hoek identificeren. Een hypotenusa en één andere zijde vormen beide scherpe hoeken van de rechthoekige driehoek. Deze andere zijde is de aangrenzende zijde van de overeenkomstige hoek. De zijde die overblijft is dus de overstaande zijde van deze hoek. Bijvoorbeeld, in de onderstaande figuur is a de overstaande zijde van hoek α, en b is de aangrenzende zijde.

De sinus van elke scherpe hoek in de rechthoekige driehoek kan worden gevonden als de lengte van de overstaande zijde gedeeld door de lengte van de hypotenusa:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

De cosinus van elke scherpe hoek in de rechthoekige driehoek kan worden berekend als de lengte van de aangrenzende zijde gedeeld door de lengte van de hypotenusa:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

De tangens van elke scherpe hoek in de rechthoekige driehoek kan worden gevonden als de verhouding van de lengte van de overstaande zijde tot de lengte van de aangrenzende zijde:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

De lengte van de hoogte-tot-hypotenusa wordt berekend als

$$h=\frac{ab}{c}$$

De calculator vindt ook de radius en omtrek van een gegeven driehoek met behulp van de volgende formules:

$$Binnenradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Omtrekstraal=\frac{c}{2}$$

Rekenvoorbeeld

Laten we aannemen dat we een driehoek hebben waarvan de lengtes van de twee benen bekend zijn: a = 3 en b = 4. Laten we alle ontbrekende waarden van de driehoek vinden.

Eerst vinden we de lengte van de hypotenusa c met behulp van de stelling van Pythagoras:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Laten we nu de hoekwaarden van de driehoek vinden. Zoals hierboven vermeld,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

dus,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

Op vergelijkbare wijze

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

dus

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

Laten we de hoogte-tot-hypotenusa, h, vinden:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Voor de oppervlakte van de driehoek hebben we:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Voor de omtrek van de gegeven driehoek hebben we:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

De binnenradius kan als volgt worden berekend:

$$binnenradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

En ten slotte, de omtrekstraal:

$$omtrekstraal=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Speciale rechthoekige driehoeken

Er zijn twee speciale soorten rechthoekige driehoeken – de 45-45-90 driehoek en de 30-60-90 driehoek. De lengtes van de zijden van deze driehoeken staan in een speciale verhouding.

De gelijkbenige rechthoekige driehoek

De rechthoekige driehoek met de maten van de scherpe hoeken van 45° en 45° heeft twee gelijke hoeken. Daarom zijn de lengtes van de benen ook gelijk, waardoor deze driehoek gelijkbenig en rechthoekig is. De lengtes van de zijden zijn als volgt gerelateerd:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

De 30-60-90 driehoek

De scherpe hoeken van deze driehoek zijn 30° en 60°. De lengtes van de zijden zijn als volgt gerelateerd:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

waarbij 'a' de zijde tegenover de 30° hoek is, 'b' de zijde tegenover de 60° hoek, en 'c' de hypotenusa.