Rekenmachine voor priemfactorisatie

Deze online factorisatie calculator vindt alle priemfactoren van het ingevoerde getal. De calculator toont de priemfactoren in de algemene vorm, maar ook in de exponentiële vorm en het CSV-formaat. Bovendien kan deze factorisatiecalculator een priemfactorenboom maken en alle (niet alleen priemfactoren) factoren van het opgegeven getal vinden.

Gebruiksaanwijzing

Om deze rekenmachine te gebruiken om priemfactoren van een getal te vinden, voer je het gegeven getal in en druk je op "Berekenen". De rekenmachine geeft de priemfactoren van het getal terug in de algemene vorm, in de exponentiële vorm en als lijst in CSV-formaat.

Je hebt ook de optie om een factorisatieboom te maken en de mogelijkheid om alle factoren van het gegeven getal te vinden. Beide opties kun je kiezen door een corresponderend vakje aan te vinken.

Beperkingen voor de invoerwaarden

• Invoerwaarden moeten gehele getallen zijn; decimalen en breuken worden niet geaccepteerd.
• Alleen positieve gehele getallen groter dan 1 kunnen als invoer worden gebruikt.
• De lengte van het getal mag niet groter zijn dan 13 cijfers (zonder komma's om de duizendtallen te scheiden), d.w.z. de waarde van het ingevoerde getal moet kleiner zijn dan 10.000.000.000.000 of 10000000000000. De maximale invoerwaarde is daarom 9.999.999.999.999 of 9999999999999.

Priemgetallen en samengestelde getallen

Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 dat niet verder onderverdeeld kan worden in andere gehele getallen. Met andere woorden, een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 dat niet kan worden gemaakt door andere gehele getallen te vermenigvuldigen. De kleinste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... (Merk op dat slechts één priemgetal even is - 2, alle andere priemgetallen zijn oneven).

Het n-de priemgetal in de bovenstaande lijst kan worden aangeduid als Prime[n]. In dat geval is Prime[1] = 2, Prime[2] = 3, Prime[3] = 5, enzovoort. Deze online rekenmachine toont de index n van elk geïdentificeerd priemgetal tot n = 5000.

Een samengesteld getal is een geheel getal groter dan 1 dat kan worden gemaakt door andere gehele getallen te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld, 6 is een samengesteld getal omdat 6 = 3 × 2. 12 is een samengesteld getal omdat 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

Nummerfactorisatie

De getallen die je vermenigvuldigt om een ander geheel getal te krijgen, worden factoren genoemd. Zoals hierboven is aangetoond, zijn 3 en 2 de factoren van 6. Aangezien 6 ook kan worden gevonden door 1 en 6 te vermenigvuldigen: 6 = 1 × 6, zijn 1 en 6 ook de factoren van 6. Ten slotte zijn alle factoren van 6 1, 2, 3 en 6.

De enige factoren van een priemgetal zijn 1 en het getal zelf. Bijvoorbeeld, factoren van 17 zijn 1 en 17.

Prime factorization is het proces van het vinden van alle priemgetallen die kunnen worden vermenigvuldigd om het gegeven getal te maken. Priemfactorisatie van een getal is iets anders dan het vinden van alle factoren van dat getal.

Bijvoorbeeld, alle factoren van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 12. Deze factoren worden geschreven als een lijst.

Terwijl de priemfactorisering van 12 er als volgt uitziet: 12 = 2 × 2 × 3. Bij priemfactorisatie krijgen we alleen resultaten in de vorm van priemgetallen.

Algoritme voor priemfactorisatie

Proefdeling

Laten we eens kijken naar de meest intuïtieve priemfactorisatiemethode, ook wel de proefdelingmethode genoemd, op een voorbeeld en de priemfactoren van 36 identificeren. Omdat we alle priemgetallen kennen, kunnen we controleren of het gegeven getal deelbaar is door een van deze getallen. De eenvoudigste manier is om te beginnen bij het kleinste priemgetal, dat 2 is:

36 ÷ 2 = 18

Het resultaat van deze deling is een geheel getal. Daarom is 2 een van de priemfactoren van 36. Maar 18 is nog geen priemgetal, dus we gaan verder en kijken of 18 deelbaar is door 2:

18 ÷ 2 = 9

9 is ook een geheel getal. Daarom is 18 deelbaar door 2.

Laten we het nog eens proberen: 9 ÷ 2 = 4,5. Dit is geen geheel getal. Daarom is 9 niet deelbaar door 2.

Laten we het volgende priemgetal proberen, 3. 9 ÷ 3 = 3. Dit is een geheel getal, dus het is gelukt! Bovendien is 3 al priemgetal, wat betekent dat we de laatste stap van het proces hebben bereikt! Nu hoeven we alleen nog maar het uiteindelijke antwoord op te schrijven:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Dit is de algemene manier om de priemfactorisering van een getal op te schrijven. Het kan ook zo worden geschreven met exponenten:

36 = 2² × 3²

Boom van priemfactoren

Het priemfactorenproces kan ook worden geïllustreerd als een "boom". De priemfactorenboom voor 36 ziet er als volgt uit:

Proefdeling (willekeurige factoren)

Soms wordt het priemfactorisatieproces gemakkelijker als we het getal eerst uitdrukken als een vermenigvuldiging van twee andere (niet priem)getallen en dan hun priemfactoren bepalen. Laten we bijvoorbeeld de priemfactoren van 48 vinden. Het is gemakkelijker om te beginnen met 48 = 6 × 8, omdat je dat waarschijnlijk uit je hoofd kent. Dan moeten we priemfactoren van 6 vinden:

6 = 2 × 3, en 8: 8 = 2 × 2 × 2. Uiteindelijk, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

Fundamentele stelling van rekenen

Elk positief geheel getal groter dan 1 kan gemaakt worden uit een unieke verzameling priemfactoren. Deze stelling wordt ook wel de Prime Factorization Theorem genoemd.

Toepassingen in het echte leven

Priemgetallen worden gebruikt in cryptografie en cyberbeveiliging om berichten te versleutelen en te ontsleutelen. We weten al dat elk getal kan worden voorgesteld als een product van een verzameling priemgetallen en dat deze verzameling uniek is. Deze eigenschap van priemgetallen maakt ze zo geschikt voor encryptie.

Nog handiger is dat het vinden van priemfactoren van zeer grote getallen een zeer tijdrovende taak blijft, zelfs voor moderne computers. Dat is ook de reden waarom de rekenmachine op deze pagina niet kan werken met oneindig grote getallen.

Het kernprincipe achter het gebruik van priemgetallen voor encryptie is dat het relatief eenvoudig is om twee grote priemgetallen te nemen en deze te vermenigvuldigen om een veel groter samengesteld getal te maken. Het is echter ongelooflijk moeilijk om dat uiteindelijke getal terug te ontbinden in de oorspronkelijke priemgetallen.

Stel je voor dat je twee priemgetallen van 10 cijfers neemt en ze vermenigvuldigt om een getal met nog meer cijfers te krijgen. Stel je nu het proces voor van de priemfactorisering van dat getal door proefdeling...

Dit is zo'n lang proces dat geen enkele computer op dit moment twee priemgetallen in een gegeven probleem kan vinden in een redelijke tijd. Maar deze situatie kan in de toekomst veranderen met de ontwikkeling van kwantumcomputers.