Steekproefgrootte Rekenmachine

De steekproefgrootte rekenmachine bestaat uit twee onderdelen. Het eerste onderdeel is om de steekproefgrootte te berekenen en het tweede onderdeel om de foutmarge te bepalen.

Het selecteren van het betrouwbaarheidsniveau uit de keuzelijst is de eerste stap bij het bepalen van de steekproefgrootte. Voer vervolgens de relatieve foutmarge in. U kunt de foutmarge van absoluut naar relatief omzetten door de absolute waarde te delen door de puntsschatting.

Voer daarna de proportie van de populatie in als u deze kent. Anders houdt u het op 50%. Voer de omvang van de populatie in het laatste veld in als u deze kent; laat het anders leeg. Klik ten slotte op "Bereken".

Gebruik het tweede onderdeel van de rekenmachine om de foutmarge te verkrijgen. Kies als eerste stap een betrouwbaarheidsniveau uit het keuzemenu. Voer de steekproefgrootte van de studie in het tweede veld in. Voeg daarna de proportie van de populatie in. Voer de omvang van de populatie in het laatste veld in. Als u de omvang van de populatie niet weet, laat dat veld dan leeg. Klik tenslotte op "Bereken".

Steekproef

Een deel of een gedeelte van de populatie staat bekend als een steekproef. De populatie verwijst naar alle elementen van belang in een specifieke studie. Het bestuderen van elk element van de populatie van uw gekozen studie is de ideale manier om de populatie te onderzoeken. Echter, door vele factoren is het vaak onpraktisch om elk afzonderlijk item in de populatie te onderzoeken. Bijvoorbeeld, als uw onderzoek over insecten in de jungle gaat, is de populatie onbeperkt. Daarom kunt u niet uw gehele populatie bestuderen. Soms kunnen de items van uw studie vernietigd worden tijdens het testen.

Bijvoorbeeld, als u een verzegelde frisdrankfles opent en het volume controleert, kunt u die frisdrankfles niet meer naar de markt sturen.

U heeft veel tijd, geld en andere middelen nodig om de gehele populatie te onderzoeken. In de meeste gevallen moet u uw onderzoek voltooien met beperkte tijd, geld en andere middelen. Het onderzoeken van de gehele populatie is in de meeste gevallen onpraktisch. De oplossing is om een steekproef te kiezen en het onderzoek te doen.

Foutmarge

Vaak kunnen we niet alle onderdelen van de populatie onderzoeken. Daarom worden steekproefstatistieken (berekeningen uit de steekproef) vaak gebruikt om populatieparameters (berekeningen uit de gehele populatie) te schatten. Steekproefstatistieken zijn afgeleid van de daadwerkelijk waargenomen of gemeten gegevens uit de steekproef. We spreken van een puntschatting wanneer je een enkel getal schat voor een populatieparameter.

Bijvoorbeeld, als je het gemiddelde volume van een frisdrankfles in een productielijn wilt schatten, kun je een willekeurige partij kiezen en het gemiddelde volume van die partij vinden. Laten we aannemen dat deze partij een gemiddeld volume x̄ van 250 ml heeft. Daarom schat je dat elke fles op de productielijn een gemiddeld volume \$(\hat{μ})\$ van 250 ml bevat.

In de praktijk zijn de werkelijke parameter en de geschatte parameter niet gelijk. Het verschil ontstaat doordat de parameter wordt geschat met behulp van een steekproef in plaats van de volledige populatie.

De foutmarge wordt gedefinieerd als het maximale waarschijnlijke verschil tussen de puntschatting van een parameter en de werkelijke waarde ervan. Dit wordt vaak aangeduid als de maximale fout van de schatting.

Betrouwbaarheidsinterval

Het betrouwbaarheidsinterval vertegenwoordigt het bereik van schattingen. Het bereik van schattingen of betrouwbaarheidsintervallen suggereert dat de parameter binnen een specifieke foutmarge is geschat. Om de ondergrens van het betrouwbaarheidsinterval te bepalen, wordt de foutmarge afgetrokken van de puntschatting. Om de bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval te bepalen, wordt de foutmarge opgeteld bij de puntschatting.

Verband tussen Steekproef in Statistiek, Foutmarge en Betrouwbaarheidsinterval

In plaats van de volledige populatie te onderzoeken, bestuderen we een steekproef om de parameters van de populatie te schatten. Daarom kan er een verschil zijn tussen de geschatte parameter van de populatie en de werkelijke parameter van de populatie. De foutmarge is het maximale waarschijnlijke verschil tussen de puntschatting van een parameter en de werkelijke waarde ervan. Bovendien is er een omgekeerd verband tussen steekproefgrootte en foutmarge. Een grotere steekproefgrootte resulteert in een nauwkeuriger weergave van de populatie, wat de foutmarge verlaagt. Omgekeerd vergroot het verkleinen van de steekproefgrootte de foutmarge.

Het betrouwbaarheidsinterval wordt verkregen wanneer je deze foutmarge toepast op de puntschatting.

Formule om Steekproefgrootte te berekenen

Er zijn verschillende formules beschikbaar om de steekproefgrootte te berekenen, afhankelijk van uw informatie.

Het gewenste betrouwbaarheidsniveau bepaalt de mate van nauwkeurigheid, terwijl het maximale bereik van de foutmarge de precisie bepaalt die we willen bereiken met onze schatting.

We kunnen de minimale steekproefgrootte berekenen die nodig is om het gewenste betrouwbaarheidsinterval te verkrijgen, als we ook de standaarddeviatie van de populatie kennen, door de onderstaande formule te gebruiken.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Het uiteindelijke resultaat n moet naar boven worden afgerond op het dichtstbijzijnde hele getal.

De formule van Cochran stelt u in staat om de minimale steekproefgrootte te bepalen op basis van het gewenste niveau van foutmarge, gewenste betrouwbaarheidsniveau, en de verwachte proportie van het kenmerk aanwezig in de populatie. De formule van Cochran is,

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Z-waarde uit de z-tabel op basis van het gewenste betrouwbaarheidsniveau
• p = De verwachte proportie van het kenmerk in de populatie
• E = Foutmarge

Voorbeeld 1

Stel dat we internationale studenten onderzoeken die ingeschreven zijn in universitaire opleidingen in Canada. Aanvankelijk hebben we niet veel informatie. Daarom gaan we ervan uit dat internationale studenten 60% uitmaken van alle universitaire studenten in Canada. Als gevolg daarvan is de geschatte proportie van het kenmerk in de populatie 60%. We wensen een betrouwbaarheidsniveau van 95% en een foutmarge van 4%. Hoeveel studenten moeten minimaal worden opgenomen in de steekproefgrootte van de studie?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Dus, minimaal 577 studenten moeten worden opgenomen in de studie om een betrouwbaarheidsniveau van 95% en een foutmarge van 4% te verkrijgen.

De bovenstaande formule wordt gebruikt wanneer de populatiegrootte groot of oneindig is. Als de populatiegrootte klein of eindig is, dan moeten we de steekproefgrootte aanpassen. De steekproefgrootte wordt aangepast met de onderstaande formule.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = De steekproefgrootte berekend met de formule van Cochran
• N = Populatiegrootte
• n = Aangepaste steekproefgrootte voor eindige populatie

Voorbeeld 2

Stel je voor dat we internationale studenten onderzoeken die ingeschreven zijn in universitaire opleidingen in jouw college in Canada. Aanvankelijk hebben we niet veel informatie. Daarom gaan we ervan uit dat internationale studenten 60% uitmaken van alle universitaire studenten in jouw college. Als gevolg daarvan is de geschatte proportie van het kenmerk in de populatie 60%. Het totale aantal studenten in jouw college is 12.000. We wensen een betrouwbaarheidsniveau van 95% en een foutmarge van 4%. Hoeveel studenten moeten minimaal worden opgenomen in de steekproefgrootte van de studie?

In dit geval moet je eerst n₀ berekenen met de formule van Cochran en daarna de steekproefgrootte aanpassen omdat de populatie eindig is.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{12.000}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Met een calculator voor minimale steekproefgrootte kun je de bovenstaande complexe berekeningen in minder dan een seconde voltooien.

Formule om Foutmarge te berekenen

Je kunt de formule voor de steekproefgrootte herschikken om de formule voor de foutmarge te vinden.

Je weet dat de formule voor minimale steekproefgrootte is,

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Laten we E of de foutmarge het onderwerp maken van de bovenstaande formule.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Voorbeeld 3

Stel je voor dat we internationale studenten onderzoeken die ingeschreven zijn in universitaire opleidingen in Canada. Aanvankelijk hebben we niet veel informatie. Daarom gaan we ervan uit dat internationale studenten 60% uitmaken van alle universitaire studenten in Canada. Als gevolg daarvan is de geschatte proportie van het kenmerk in de populatie 60%. Laten we zeggen dat we een betrouwbaarheidsniveau van 95% wensen, en je selecteert 577 studenten voor je onderzoek. Wat is de foutmarge van je studie?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Als de populatie eindig is, moet je eerst de n₀ vinden met behulp van de onderstaande formule.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Pas daarna het antwoord toe in de volgende formule om de foutmarge te vinden:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Het tweede onderdeel van de calculator voor minimale steekproefgrootte helpt je al deze stappen over te slaan en de foutmarge in minder dan een seconde te berekenen.

Formule om het betrouwbaarheidsinterval te berekenen

Het betrouwbaarheidsinterval is eenvoudig te bepalen als je de foutmarge kent. De onderstaande formule wordt gebruikt om het betrouwbaarheidsinterval te berekenen.

Betrouwbaarheidsinterval = Punt schatting ± Foutmarge

De bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval = Punt schatting + Foutmarge

De ondergrens van het betrouwbaarheidsinterval = Punt schatting - Foutmarge

Het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde μ is,

x̄ - E < μ < x̄ + E

De x̄ - E is de ondergrens, en de x̄ + E is de bovengrens.

Het betrouwbaarheidsinterval voor P is,

p - E < P < p + E

Voorbeeld 4

Je onderzoekt de gemiddelde programmakosten van internationale studenten die in Canada studeren. Je hebt 1.000 studenten geselecteerd voor je steekproef en op basis van je steekproef schat je dat de gemiddelde programmakosten van internationale studenten die in Canada studeren CAD 20.000 zijn. De foutmarge is CAD 5.000. Vind het betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde programmakosten van internationale studenten die in Canada studeren.

Bovengrens = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Ondergrens = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Daarom is het betrouwbaarheidsinterval,

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000