Stelling van Pythagoras rekenmachine

Deze Pythagoras calculator vindt de lengte van een zijde van een rechthoekige driehoek als de andere twee zijden van de driehoek bekend zijn. De berekeningen worden uitgevoerd op basis van de stelling van Pythagoras.

Gebruiksaanwijzing

Voer de bekende zijlengtes in en druk op "Bereken". De rekenmachine zal de volgende waarden teruggeven:

• Lengte van de derde zijde.
• Hoekwaarden van de hoeken buiten 90° in graden en radialen.
• Oppervlakte van de driehoek.
• Omtrek van de driehoek.
• Lengte van de hoogte loodrecht op de schuine zijde.

De rekenmachine geeft ook de gedetailleerde oplossing terug, die je kunt uitbreiden door op "+ Calculation Steps Show" te drukken.

Merk op dat de invoervelden voor elke zijde een gedeelte met een heel getal en een gedeelte met een vierkantswortel bevatten, zodat je gemakkelijk waarden als 2√3, √3, etc. kunt invoeren.

Merk ook op dat de waarden van a en b, de benen van de driehoek, korter moeten zijn dan de waarde van c, de schuine zijde.

Stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras stelt dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de lengte van de schuine zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengtes van de zijden.

De stelling van pythagoras kan als volgt worden geschreven:

a² + b² = c²,

Waarbij a en b de lengtes zijn van de kortere zijden, of benen, van een rechthoekige driehoek, en c - de lengte is van de langste zijde of schuine zijde. De vergelijking hierboven kan als volgt worden beschreven: a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan c kwadraat.

Bewijs van de stelling van Pythagoras

Laten we de stelling van Pythagoras bewijzen door de oppervlakten op te tellen.

In de bovenstaande afbeelding bestaat het vierkant met zijde (a + b) uit een vierkant met zijde c en vier rechthoekige driehoeken met zijden a, b en c. Laten we de oppervlakte van dit vierkant bepalen met behulp van twee verschillende strategieën:

1. De oppervlakte van het vierkant met de zijde (a + b) kan worden berekend als (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Dezelfde oppervlakte kan worden gevonden als de som van de oppervlakten van de figuren die het vierkant vormen - de oppervlakte van een vierkant met zijde c, en vier oppervlakten van een driehoek met zijden a, b en c. De oppervlakte van het vierkant met zijde c kan worden berekend als c². De oppervlakte van de rechthoekige driehoek met zijden a, b en c kan worden berekend als (ab)/2. Daarom,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Aangezien beide berekeningen dezelfde oppervlakte beschrijven, kunnen we ze gelijkstellen:

(a + b)² = c² + 2ab

Als we het kwadraat aan de linkerkant van de vergelijking uitzetten, krijgen we:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Als we 2ab van beide kanten van de vergelijking aftrekken, krijgen we:

a² + b² = c²

wat het vereiste resultaat is.

Rekenalgoritmen

De zijden van een rechthoekige driehoek vinden

Als twee zijden van een rechthoekige driehoek gegeven zijn, kan de derde zijde gevonden worden met behulp van de stelling van Pythagoras. Bijvoorbeeld, als de zijden a en b gegeven zijn, kan de lengte van de zijde als volgt gevonden worden:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Alsook,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

en

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Het vinden van de hoeken van een rechthoekige driehoek

Als alle drie de zijden van de rechthoekige driehoek bekend zijn, kunnen de hoeken van de driehoek die geen 90° zijn als volgt gevonden worden:

• ∠α = arcsin(a/c) of ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) of ∠β = arccos(a/c)

Hier is ∠α de hoek tegenover de zijde 'a', ∠β is de hoek tegenover de zijde 'b', en 'c' is de hypotenusa. De keuze tussen arcsin en arccos hangt af van welke zijde (a of b) je in relatie tot de hoek beschouwt. Met arcsin gebruik je de zijde tegenover de hoek, en met arccos gebruik je de aanliggende zijde aan de hoek. Beide benaderingen zijn geldig en zullen de correcte hoekmetingen geven in een rechthoekige driehoek.

Oppervlakte van een rechthoekige driehoek

De oppervlakte van een rechthoekige driehoek kan worden berekend als 1/2 van het product van de benen:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Omtrek van een rechthoekige driehoek

De omtrek van een rechthoekige driehoek wordt berekend als de som van alle zijden:

P = a + b + c

Hoogte tot hypotenusa

Als alle drie de zijden van een rechthoekige driehoek bekend zijn, kan de hoogte tot de schuine zijde, h, als volgt worden gevonden:

h = (a × b)/c

Voorbeelden uit de praktijk

De stelling van pythagoras wordt veel gebruikt in de architectuur en bouw om de lengtes van de benodigde onderdelen te berekenen en ervoor te zorgen dat de hoeken in gebouwde gebouwen kloppen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld van de toepassing van de stelling.

Objecten passen

Stel je voor dat je gaat verhuizen en je hebt een verhuiswagen gehuurd met een lengte van 4 meter en een hoogte van 3 meter. Je hebt niet veel grote voorwerpen, maar wel een ladder van 4,5 meter lang. Past je ladder in de vrachtwagen?

Oplossing

Aangezien de lengte van de ladder, 4,5 meter, groter is dan de lengte van de vrachtwagen, 4 meter, kan de ladder alleen diagonaal naar binnen. Om te bepalen of dat mogelijk is, moeten we de stelling van Pythagoras gebruiken om de hypotenusa te berekenen van een driehoek waarvan de zijden gelijk zijn aan de lengte en hoogte van de vrachtwagen. In ons geval is a = 4, b = 3 en moeten we c vinden:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

De schuine zijde van een driehoek met a = 4 en b = 3 is c = 5. Daarom kan het langste voorwerp dat in de vrachtwagen past 5 meter zijn. Je ladder is 4,5 meter lang. Daarom past hij er gemakkelijk in!

Antwoord

Ja, de ladder past erin.

Extra berekeningen

Deze online rekenmachine vindt ook een aantal aanvullende kenmerken van de gegeven driehoek. Bereken deze kenmerken voor de driehoek met a = 4, b = 3 en c = 5.

Oppervlakte van de driehoek:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Omtrek van de driehoek:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Hoogte tot hypotenusa:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Hoek tegenover zijde a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Hoek tegenover zijde b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad