Verhoudingscalculator

Verhoudingscalculator

Met de verhoudingscalculator kun je verhoudingen vereenvoudigen, ontbrekende waarden in verhoudingen vinden en bepalen of twee gegeven verhoudingen gelijkwaardig zijn. De rekenmachine accepteert getallen in een wetenschappelijke e-notatie en getallen in een wetenschappelijke e-notatie als invoer. Een voorbeeld van een getal in een wetenschappelijke e-notatie is 2e5, wat gelijk is aan 2 × 10⁵. Er is een invoerlimiet van 15 tekens, wat betekent dat elke invoer (A, B, C of D) niet langer dan 15 tekens mag zijn.

Gebruiksaanwijzing

1. Om de rekenmachine te gebruiken als een verhoudingsconverter, of, met andere woorden, om een verhouding te vereenvoudigen, voer je de teller en de noemer in voor één zijde van de verhouding. Voer A en B in of C en D. Druk vervolgens op "Berekenen". De verhoudingscalculator zal dan de gegeven verhouding vereenvoudigen en het antwoord in de laagste termen teruggeven.

Stel dat de bekende waarden zijn ingevoegd als gehele getallen of in de wetenschappelijke e-notatie. In dat geval zal de rekenmachine ook de stappen van de oplossing demonstreren.

Stel dat de ingevoerde waarde al in de laagste termen staat. In dat geval zal de rekenmachine een equivalente verhouding vinden door de teller en de breuknoemer met 2 te vermenigvuldigen.

2. Om de rekenmachine te gebruiken voor het vinden van een ontbrekende waarde in een verhouding, voer je de drie bekende waarden in en laat je het veld met de onbekende waarde leeg. Je kunt elk veld voor de onbekende waarde gebruiken - A, B, C of D. Nadat je de drie bekende waarden hebt ingevoerd, druk je op "Berekenen". De rekenmachine zal de opgeloste verhouding met alle vier de waarden teruggeven. Als de ingevoerde waarden gehele getallen waren, zou de rekenmachine ook de oplossing van het probleem laten zien.

Definities en belangrijke formules

In de wiskunde wordt een verhouding gedefinieerd als een geordend paar getallen a en b. We gebruiken verhoudingen om twee waarden te vergelijken door een van de getallen te delen door een ander getal.

Een verhouding tussen a en b kan worden geschreven als a/b of a:b. Over het algemeen wordt aangenomen dat b ≠ 0 is omdat b in de noemer van de breuk staat. Verhoudingen worden in het echte leven veel gebruikt om twee hoeveelheden te vergelijken.

Als er bijvoorbeeld 2 meisjes en 6 jongens in een klas zitten, is de verhouding meisjes/jongens 2:6, of, vereenvoudigd, 1:3, wat betekent dat er voor elk meisje drie jongens zijn.

Een verhouding is een uitdrukking die twee verhoudingen gelijkstelt. In ons vorige voorbeeld kan de verhouding als volgt worden geschreven:

$$2:6::1:3$$

Of

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

of

$$2:6=1:3$$

In een verhouding a:b=c:d worden de tweede en derde term, b en c, de "middelen" van de verhouding genoemd. En de eerste en laatste termen, a en d, worden de "extremen" genoemd. Verhoudingen hebben een belangrijke eigenschap, de De eigenschap van middelen en uitersten of de Verhoudingsformule.

De verhoudingsformule

In elke verhouding a:b=c:d is het product van middelen b × c gelijk aan het product van uitersten a × d. Of, wiskundig gezien:

Als

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Dan

$$a × d = b × c$$

Met deze formule kunnen we een ontbrekende term van een verhouding vinden. Als we bijvoorbeeld de gegeven verhouding voor a moeten oplossen, zouden we de verhoudingsformule als volgt hergroeperen:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

Laten we eens kijken naar de rekenvoorbeelden van de drie hierboven beschreven scenario's.

Voorbeeld 1

Jane is een landschapsarchitect en ontwerpt buitenruimtes voor een klant. De ruimte heeft een oppervlakte van 216 vierkante meter en ze heeft een plan gemaakt waarbij een zwembad 64 vierkante meter in beslag neemt. Vlak voordat Jane haar ontwerp indient, komt de klant met de eis dat minstens een derde van de ruimte in beslag moet worden genomen door het zwembad. Moet ze een nieuw ontwerp maken of kan ze het bestaande ontwerp indienen?

Om te bepalen of ze wel of niet een nieuw ontwerp moet maken, moet ze de verhouding tussen het zwembadoppervlak en de totale buitenruimte bepalen en die waarde vergelijken met 1/3. Het zwembad moet immers 1/3 van de ruimte innemen.

Het zwembad beslaat 64 vierkante meter, terwijl de totale buitenruimte 216 vierkante meter is. Daarom is de benodigde verhouding 64/216. De verhouding is niet in de laagste termen. Daarom kunnen we de verhouding vereenvoudigen. We kunnen de verhouding vereenvoudigen door de teller en de noemer te delen door de Grootste Gemene Deler (de GKF).

De Grootste Gemene Deler van de teller (64) en de noemer (216) is 8. Door beide termen te delen door de GCF, 8, krijgen we:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

Daarom,

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Het zwembad beslaat 8/27 van de totale buitenruimte. De klant wil echter dat het zwembad minstens 1/3, of 9/27 van de totale oppervlakte in beslag neemt. 8/27 < 9/27, en helaas moet Jane een nieuw ontwerp maken.

De verhouding vereenvoudigen

Om snel de oplossing van het probleem te vinden, voer je 64 en 216 in in respectievelijk veld A en B (of C en D) en druk je op "Berekenen".

Antwoord:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Een ontbrekende waarde vinden

Zoek een ontbrekende waarde in de volgende verhouding:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Om een onbekende verhouding op te lossen, gebruiken we de verhoudingformule. Deze stelt dat het product van middelen altijd gelijk is aan het product van uitersten in de verhouding. We kunnen de gegeven verhouding als volgt schrijven:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

99 en 4 zijn de middelen in deze verhouding, en 3 en de onbekende waarde x zijn de extremen. Daarom:

$$3 × X = 4 × 99$$

En

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

Antwoord

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

Voorbeeld 2

Helen wil een vertaler opdracht geven een aantal artikelen uit het Engels in het Japans te vertalen. Op de website van de vertaler staat een gemiddeld tarief van $20 voor een vertaling van 600 woorden. Helens artikelen zijn in totaal ongeveer 20.000 woorden. Hoe berekent ze de orderkosten als de vertaler weigert haar korting te geven?

Voer enkele equivalente eenheden in in de velden A en C. Voer andere equivalente eenheden in de velden B en D. In dit voorbeeld gebruiken we A en С voor het aantal woorden en B en D voor geld. De velden A en B zijn voor het eerste geval (het huidige tarief van de vertaler), en de velden C en D zijn voor het tweede geval (het mogelijke tarief voor Helens opdracht).

• In veld A voer je het aantal woorden in tegen het tarief van de vertaler - 600.
• In veld B voer je de prijs in voor 600 woorden, dus 20.
• In veld C voer je het aantal woorden in je opdracht in, dus 20.000.
• En in veld D krijg je het resultaat 666,66666666667.

Vervolgens kun je het resultaat naar boven afronden op $667. Vergeet niet dat Helen korting kan vragen voor bulkbestellingen, maar $667 kan een uitgangspunt zijn voor onderhandelingen. ## Voorbeeld 3

Jack is op vakantie in Indonesië en wil zijn contante dollars inwisselen voor de lokale valuta van de Indonesische roepia. Hij heeft het geld nodig om contant te betalen voor het huren van een Yamaha X-Max maxi-scooter, die 3.500.000 rupiahs per maand kost.

Hij weet dat de wisselkoers bij de dichtstbijzijnde wisselkantoor bij zijn hotel vandaag 14.750 rupiahs is voor één Amerikaanse dollar. Hoeveel dollars moet hij wisselen om 3.500.000 roepies te krijgen?

En weer gebruiken we sommige equivalente eenheden in de velden A en C en andere equivalente eenheden in de velden B en D.

In dit voorbeeld gebruiken we A en С voor Indonesische roepia en B en D voor Amerikaanse dollars.

• In veld A voer je het aantal roepies per $1 in, dus 14.750.
• In veld B voer je het equivalent van dat bedrag in dollars in, dus 1.
• In veld C voer je het aantal roepies in dat je wilt krijgen, dus 3.500.000.
• In veld D krijg je het gewenste bedrag in dollars, dus 237,28813559322.

Het blijkt dat als de geldwisselaar geen commissie neemt, hij minstens $237 moet wisselen om de scooterhuur voor een maand te betalen. Hij zal waarschijnlijk een ronder bedrag wisselen - $250 of $300.

De rekenmachine gebruiken om de oplossing te vinden

Om de rekenmachine te gebruiken voor het vergelijken van de twee verhoudingen, 4/16 en 3/12, voer je 4 in in veld A en 16 in veld B, om de ene kant van de verhouding in te vullen. Voer 3 in veld C en 12 in veld D in om de andere kant van de verhouding in te vullen. Druk vervolgens op "Berekenen".

Antwoord

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

WAAR is

Eigenschappen van verhoudingen

De belangrijkste eigenschap van verhoudingen (en de nuttigste) is de eigenschap Means-Extremen. Verhoudingen hebben echter nog enkele andere interessante eigenschappen.

De permutatie van middelen en extremen:

Als

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dan is, met de permutatie van de middelen, het volgende waar:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

En met de extreme permutatie is het volgende waar:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Het verhogen en verlagen van de verhouding kan worden gedaan volgens de volgende regel:

Als

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dan kan de verhouding als volgt worden verhoogd:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

En als volgt verlaagd:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Een verhouding samenstellen door optellen en aftrekken Als

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dan is het volgende waar:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

En

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Gulden snede

In de wiskunde hebben twee waarden een gulden snede als de verhouding van de grootste waarde tot de kleinste gelijk is aan de verhouding van de som van deze waarden tot de grootste waarde. Of, in wiskundige termen: voor a>b>0, kan de gulden snede als volgt geschreven worden:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Het menselijk brein beschouwt de gulden snede als de perfecte verhouding tussen de delen en het geheel. En de gulden snede wordt vaak waargenomen in de natuur, wetenschap en kunst.