Volume Rekenmachine

Elk vast driedimensionaal object neemt een bepaalde ruimte in. Je kunt denken aan de ruimte die onze mobiele telefoon inneemt als hij op tafel ligt, een watercontainer in de buurt of gewoon een voetbal op een veld.

We kunnen volume definiëren als de ruimte die een voorwerp inneemt. Volume kan ook verwijzen naar de capaciteit van het object. In plaats van te denken aan de ruimte die de watercontainer inneemt in onze garage, kunnen we denken aan de capaciteit of de hoeveelheid water die de container kan opslaan.

Volumeberekening wordt gebruikt in verschillende takken van wetenschap en wiskunde.

De volumecalculator ondersteunt meerdere metingen bij het berekenen van het volume. Bovendien toont de calculator de formule en een stap-voor-stap berekeningsproces. Dit artikel geeft een eenvoudige maar voldoende uitleg van de volumerekenmachine met echte voorbeelden.

Eenheden en metingen

Om de betrouwbaarheid en nauwkeurigheid van ons oordeel te verbeteren, hebben we een standaard meeteenheid nodig. Voor uniformiteit hebben we een gestandaardiseerde set meeteenheden nodig, de zogenaamde standaardeenheden.

De SI (Internationaal Stelsel van Eenheden) volume-eenheid is kubieke meter m³. Het volume van sommige kleine objecten kan echter in kleinere eenheden worden geschreven, zoals kubieke centimeter cm³ of kubieke millimeter mm³ als het object te klein is.

Aan de andere kant is de gebruiker vrij om de eenheid te kiezen die het beste past bij zijn toepassing. De volumecalculator ondersteunt twee meetsystemen: het metrisch stelsel, het imperiaal stelsel en de Amerikaanse maateenheden. De gebruiker heeft de vrijheid om te kiezen tussen de volgende eenheden:

• kilometers,
• meters,
• centimeters,
• millimeters,
• micrometers,
• nanometers,
• ångströms” ,
• mijl,
• yards,
• feet,
• inch.

Als we formules gebruiken om het volume te berekenen, moeten we werken met homogene meeteenheden. Daarom rekenen we meestal alle metingen om naar dezelfde eenheid om berekeningen makkelijker te maken.

Denk bijvoorbeeld aan het berekenen van het volume van een cilinder met een hoogte van 75 cm en een straal van 0,5 m. We rekenen de hoogte om naar meters en berekenen het volume in kubieke meters of we rekenen de straal om naar centimeters en vinden het volume in kubieke centimeters.

Hoe zou het zijn als je de hoogte in inch en de straal in nanometers zou kunnen definiëren? De calculator voert zelfs deze conversie uit en toont de stappen.

Met deze calculator kan de gebruiker voor elke ingevoerde meting een andere eenheid kiezen en de volumeformule calculator zal het volume teruggeven. Neem het voorbeeld waarbij de hoogte van de cilinder 5 inch is en de straal 10506070 nanometer. We navigeren naar de cilinder volumecalculator en voeren de waarden van de straal en hoogte in met de juiste eenheden in de vervolgkeuzelijst.

De calculator geeft eerst het volume 2,6874044006564 inch³ (in kubieke inch) en 4,4038667907438E+22 nanometer³ (kubieke nanometer). Waarom? Omdat dit de maateenheden zijn die we in onze invoer hebben gebruikt, neemt de rekenmachine aan dat we het volume moeten berekenen met een van deze eenheden. Het cilindervolume toont de twee manieren om de berekening uit te voeren, samen met de conversie van de eenheden!

De volumerekenmachine: Toepassingsgebied, functies en voorbeelden

De methoden voor het berekenen van volumes kunnen per figuur verschillen. Sommige geometrische vormen gebruiken standaard rekenkundige formules om hun volume te berekenen op basis van hun eigenschappen, zoals randlengte of straal.

Andere geometrische vormen zijn complexer en je kunt hun volume niet direct berekenen. In dat geval worden geavanceerde rekenmethoden gebruikt, zoals geometrische integratie en eindige-elementenmethoden. De volumecalculator ondersteunt een groot aantal objecten om hun volume te berekenen.

Bol

Een bol is het driedimensionale equivalent van een cirkel; een voorbeeld van een bol is een ronde bal (honkbal, basketbal, enz.). De volumeformule van een bol wordt gegeven als:

$$V_{sphere}=\frac{4}{3}π r^3$$

We kunnen vaststellen dat het volume van een bol alleen afhangt van de straal (r) van de bol. De straal is gedefinieerd als de afstand tussen het middelpunt van de bol en een willekeurig punt op het oppervlak. Gegeven dat een honkbal een straal r = 3,65 cm heeft, kunnen we de bol volumecalculator gebruiken om het volume te vinden:

$$Volume = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ centimeters^3$$

Kegel

Een kegel is een meetkundige vorm bestaande uit een cirkelvormige basis en een hoekpunt, de top genoemd, waarbij alle punten van de basisomtrek met lijnstukken verbonden zijn met de top. We kunnen de eigenschappen van de kegel definiëren met twee maten: de straal van de cirkelvormige basis (r) en de hoogte tussen het middelpunt van de basis en de top (h).

Het volume van een kegel kan worden uitgedrukt als:

$$V_{cone}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r is de straal en h is de hoogte van de kegel.

Stel, je hebt een verjaardagsfeestje en je wilt zelf kegelvormige feesthoedjes maken die later op de avond als popcornkegels worden gebruikt.

Als je kegelhoeden maakt met een straal van 7,5 cm en een hoogte van 0,45 m, kun je de kegelvolumerekenmachine gebruiken om het volume van elke kegelhoed te berekenen.

0,45 meter = 45 centimeter

$$Volume = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,52^2 × 45 = 2650,7188014664 \ centimeters^3$$

Dit betekent dat je aan het einde van het feest zoveel popcorn in je hoorntje kunt doen.

Kubus

Wie heeft er niet met een Rubik's kubus gespeeld?

Dit is een geometrisch object met 8 hoekpunten en 6 gelijke zijden. Het volume van een kubus hangt alleen af van de lengte van de zijde van de kubus (a).

$$V_{cube}=a^3$$

We besloten 30 Rubik’s kubussen te kopen voor ons ontwikkelingscentrum zodat de kinderen hun cognitieve vaardigheden konden verbeteren. We gingen naar de winkel en vonden de juiste kubussen voor het ontwerp en de prijs. De lengte van de zijde van de kubus is 5,7 centimeter. Helaas heeft de verkoper in de winkel maar één doos om alle kubussen in op te stapelen, zodat ze gemakkelijk vervoerd kunnen worden. De doos is kubusvormig en heeft een zijlengte van 20 centimeter. Passen al onze kubussen in die doos?

Het volume van de kubussen:

$$Volume = 5,7³ = 185,19\ centimeter³$$

Het totale volume van 30 kubussen zou zijn

$$185,19 × 30 = 5.555,7\ centimeter³$$

The volume of the box:

$$Volume = 20³ = 8,000\ centimeter³$$

We vergeleken het volume van de 30 kubussen met het volume van de doos.

$$5.555,7 < 8,000$$

En het bleek dat de kubussen perfect in de doos pasten.

Cilinder

Een cilinder is een geometrisch prisma met een uniforme cirkelvormige basis, alsof meerdere cirkels op elkaar geplaatst zijn om deze geometrische vorm te vormen. Net als bij de kegel worden de eigenschappen van een cilinder bepaald door de straal van de cirkel (r) en de hoogte van het onderste oppervlak tot het bovenste oppervlak van de cilinder (h). Het volume van een cilinder kan worden uitgedrukt als:

$$V_{cilinder}=π r^2h$$

Laten we het volume van een decoratieve cilindrische kaars berekenen, zodat de vakman weet hoeveel paraffine hij nodig heeft om de kaars te maken. De hoogte van onze kaars zal dus 15 centimeter zijn en de diameter 8 centimeter. Uit de diameter kunnen we de straal berekenen, die 4 centimeter zal zijn. We komen dus uit op:

$$Volume = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753,98223686155\ centimeters^3$$

Rechthoekige tank

Een rechthoekige tank is een kubusvariant waarbij alle randen loodrecht maar niet noodzakelijk gelijk zijn. Dit geometrische object wordt gedefinieerd door een lengte (l) en breedte (w), die een tweedimensionale rechthoek voorstellen, samen met een hoogte (h) die deze driedimensionale uitbreiding van de rechthoek creëert. Het volume van de rechthoekige tank kan dus als volgt worden geschreven:

$$V_{rectangular\ tank}=l × w × h$$

Een universeel voorbeeld van een rechthoekige tank is de zeecontainer. De standaard ISO-afmetingen voor zeecontainers zijn:

• Breedte = 2,43 m
• Hoogte = 2,59 m
• Lengte = 6,06 m of 12,2 m

Aangezien de metingen standaard zijn volgens ISO, zijn de volumes ook standaard. Steek de metingen in de rechthoekige tankcalculator om het volume te vinden. Voer de berekeningen uit voor beide lengtewaarden, 6,06 m en 12,2 m.

$$Volume = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ meters³$$

en

$$Volume = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ meters³$$

Complexere driedimensionale geometrische vormen

We kunnen andere geometrische vormen combineren met geometrische basisvormen. Wat is het volume van deze figuur?

We zien dat het object bestaat uit een cilinder en een kegel bovenop. Daarom kunnen we zeggen dat het volume van het object de som is van het volume van de cilinder en het volume van de kegel:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}$$

Zowel de cilinder als de kegel hebben een diameter van 4 cm. We kunnen dus zeggen dat

$$r_{cylinder}=r_{cone}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Bovendien,

$$h_{object}=h_{cylinder}+h_{cone}$$

Gegeven dat

$$h_{object}=10\ cm$$

en

$$h_{cone}=3\ cm$$

kunnen we interpreteren dat

$$h_{cylinder}=7\ cm$$

We kunnen de waarden nu als volgt in de volumerekenmachine stoppen:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}=87,96\ cm^3+12,56\ cm^3$$

$$V_{object}=100,52\ cm^3$$

Dit voorbeeld helpt om de komende geometrische vormen die de volumecalculator ondersteunt beter te begrijpen.

Capsule

De capsule is een van de meest voorkomende vormen van medische pillen. De gebruiker kan het vorige voorbeeld gebruiken om te begrijpen dat een capsule bestaat uit een cilinder met twee halve bollen op twee tegenovergestelde oppervlakken.

De twee hemisferen kunnen opgeteld één bol vormen en we kunnen zeggen dat het volume van een capsule de som is van het volume van een cilinder en het volume van een bol.

$$V_{capsule} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Waarbij r de straal is en h de hoogte van het cilindrische gedeelte.

Dankzij de volumecalculator voor capsules hoef je niet het volume van de cilinder te berekenen en dit bij dat van de bol op te tellen om het volume van de capsule te berekenen. De gebruiker kan direct de hoogte en de straal invoeren en de calculator zal het volume van de capsule berekenen.

Farmaceutische wetenschappers die medicijnen analyseren, ontwikkelen en produceren proberen altijd goede volumes voor capsules te vinden. De capsule moet de benodigde hoeveelheid medicatie per capsule bevatten, dus variëren wetenschappers de afmetingen van de capsule (hoogte en straal) om het volume overeenkomstig aan te passen.

Bolvormige kap

Het vorige voorbeeld verwees naar de halve bol. Een bolkap is echter een deel van de bol wanneer de bol door een vlak wordt gesneden. De halve bol is een speciaal geval van een bolkap waarbij de bol in twee gelijke delen wordt verdeeld. Het volume van een halve bol is dus de helft van dat van een bol.

Onderstaande figuur toont een voorbeeld van een bolvormige kap waarbij (r) de straal van het grondvlak is, (R) de straal van de bol en (h) de hoogte van de bolvormige kap. Er is een verband tussen deze variabelen. Het is dus voldoende om twee van deze waarden te kennen om de derde te berekenen.

• Gegeven r en R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Gegeven r en h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Gegeven R en h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

waarin:

• r de straal van de basis is,
• R de straal van de bol is,
• h de hoogte van de bolkap is.

Het volume van een bolvormige kap kan als volgt worden geschreven:

$$V_{spherical\ cap}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

Het is voldoende om twee van de drie variabelen van de bolkap in te voeren. Stel bijvoorbeeld dat R = 1 m en r = 0,25 m, dan vindt de rekenmachine twee mogelijke volumes: 0,00313 m³ en 4,1856 m³. Hoe komt dat?

Als je aan het volgende denkt

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

kunnen we zien dat als we de waarden van r en r geven, h twee waarden kan hebben

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

en

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

Dit verklaart de verschillende volumewaarden bij gebruik van $h_1$ en $h_2$.

Bovendien moet de ongelijkheid R ≥ r altijd gelden, anders geeft de rekenmachine een foutmelding "basisstraal kan niet groter zijn dan kogelstraal". Deze foutmelding is nuttig als de gebruiker de waarden R en r door elkaar gebruikt.

Afgeknotte kegel

We kunnen deze vorm verkrijgen door een kegel te snijden met een horizontale snede evenwijdig aan het cirkelvormige oppervlak. Dit resulteert in twee cirkelvormige en twee evenwijdige oppervlakken. Een conisch frustumvolume kan worden gedefinieerd als:

$$V_{afgeknotte\ kegel}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Waarbij h de hoogte tussen het middelpunt van het onderste en bovenste oppervlak is, r de straal van het bovenste oppervlak en R de straal van het onderste oppervlak zodat R ≥ r.

Stel je voor dat je naar een banketbakkerij ging en een lavataart zag met de vermelding dat er 35% gesmolten chocolade in zat.

Als je een echte wiskundefanaat bent en dit wilt vertalen naar een wiskundig probleem, ben je misschien geïnteresseerd in het volume van de chocolade in je taart. Welnu, meet de bovenste en onderste straal samen met de hoogte om het volume van de hele taart te berekenen.

Stel dat de metingen r = 16 cm, R = 20 cm en h = 10 cm zijn.

Dan kunnen we het taartvolume vinden door de waarden simpelweg in te voeren in de conische frustum volumecalculator.

$$Volume=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679 \ centimeters^3$$

Bovendien is 35% van 10.220,65 cm³ ongeveer 3.577,23 cm³ chocolade.

Ellipsoïde

Wanneer een bol vervormd wordt door richtingsschaling, ontstaat een oppervlak dat ellipsoïde wordt genoemd. Je kunt een ellipsoïde zien als een uitgerekte bol waarbij de afstanden tussen het middelpunt van de ellipsoïde en verschillende punten op het oppervlak niet gelijk zijn.

De ellipsoïde heeft dus drie assen en het volume van de ellipsoïde is gedefinieerd ten opzichte van de straal van het middelpunt naar elk van deze assen. De drie waarden van de stralen worden aangeduid met a, b en c. We denken altijd aan ronde bollen als we het over ballen hebben, maar ellipsvormige ballen bestaan ook! Kijk naar de rugbybal. Stel dat de afmetingen a = 9,3 cm, b = 9,3 cm en c = 14,3 cm zijn.

Het volume van een ellipsoïde is gegeven als:

$$V_{ellipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

De volgorde van a, b en c is onbelangrijk; ze door elkaar gebruiken is prima.

Met behulp van de ellipsoïde volumerekenmachine kunnen we het volume van onze rugbybal berekenen.

$$Volume=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5180,7250468112 \ centimeters^3$$

Vierkante piramide

Als je het over piramides hebt, denk je misschien aan de oude piramides van Egypte. Een vierkante piramide bestaat uit een vierkant grondvlak met een top waar de punten op de omtrek van het vierkant grondvlak met die top verbonden zijn. Het volume kan worden berekend als:

$$V_{squared\ pyramid}=\frac{1}{3}a^2h$$

Met a de rand van de vierkante basis en h de hoogte van het midden van de vierkante basis tot de top.

We nemen de afmetingen van de piramide van Khufu zoals hij oorspronkelijk werd gebouwd; h = 146,6 m en a = 230,33 m. Het volume van de piramide van Khufu kan als volgt worden berekend:

$$Volume=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2.592.469,9482467\ meters^3$$

Buis

In tegenstelling tot een cilinder heeft een buis een buiten- en binnendiameter. Het volume van de buis moet dus rekening houden met het verschil in diameter.

$$V_{buis}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Zoals je al geraden hebt, zijn d₁ en d₂ respectievelijk de buiten- en binnendiameter van de buis. l is de lengte van de buis.

Laten we de formule gebruiken om het volume van de betonnen ring te berekenen voor de put die we gaan graven op het terrein van ons vakantiehuisje. De hoogte van onze ring is 0,89 meter, de buitendiameter is 1,16 meter en de binnendiameter is 1 meter.

We hebben dus de volgende berekening:

$$Volume=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ meters^3$$