Waarschijnlijkheidsrekenmachine

Rekenmachine voor de Waarschijnlijkheid van Twee Gebeurtenissen

Wanneer je de waarschijnlijkheid van twee onafhankelijke gebeurtenissen kent, kun je de Rekenmachine voor de Waarschijnlijkheid van Twee Gebeurtenissen gebruiken om hun gezamenlijk voorkomen te bepalen. Je moet de waarschijnlijkheden van twee onafhankelijke gebeurtenissen invoeren als de waarschijnlijkheid van a en b in de rekenmachine. Vervolgens toont de rekenmachine de vereniging, doorsnede en andere gerelateerde waarschijnlijkheden van twee onafhankelijke gebeurtenissen, samen met de Venn-diagrammen.

Oplosser voor Waarschijnlijkheid van Twee Gebeurtenissen

Je kunt de waarschijnlijkheid van verschillende gebeurtenissen van twee onafhankelijke gebeurtenissen berekenen als je twee invoerwaarden van de Oplosser voor Waarschijnlijkheid van Twee Gebeurtenissen Calculator kent. Dit is belangrijk wanneer je een of beide waarschijnlijkheden van twee gebeurtenissen niet hebt. De resultaten tonen het antwoord met de berekeningsstappen.

Waarschijnlijkheid van een Reeks Onafhankelijke Gebeurtenissen

Je kunt de Rekenmachine voor de Waarschijnlijkheid van een Reeks Onafhankelijke Gebeurtenissen gebruiken om de waarschijnlijkheid te bepalen wanneer elk experiment twee onafhankelijke gebeurtenissen bevat die na elkaar plaatsvinden. In deze rekenmachine moet je het aantal keren dat de gebeurtenis plaatsvindt instellen.

Waarschijnlijkheid van een Normale Verdeling

De rekenmachine voor de waarschijnlijkheid van een normale verdeling is nuttig bij het bepalen van de waarschijnlijkheid van een normale curve. Je moet het gemiddelde μ, de standaardafwijking σ en de grenzen invoeren. De rekenmachine voor normale waarschijnlijkheid genereert de waarschijnlijkheid van de ingestelde grenzen en de betrouwbaarheidsintervallen voor een reeks betrouwbaarheidsniveaus.

Inleiding tot Waarschijnlijkheid

Waarschijnlijkheid is de kans dat een gebeurtenis zal plaatsvinden. Wanneer een gebeurtenis ongetwijfeld gaat gebeuren, is de waarschijnlijkheid 1. Wanneer een gebeurtenis niet gaat gebeuren, is de waarschijnlijkheid 0. Als gevolg daarvan ligt de waarschijnlijkheid van een gegeven gebeurtenis altijd tussen 0 en 1. De waarschijnlijkheidsrekenmachine maakt het berekenen van waarschijnlijkheden voor verschillende gebeurtenissen ongelooflijk eenvoudig.

Regels voor gebeurtenisbewerkingen

Elke groepering van de resultaten van een experiment wordt aangeduid als een gebeurtenis. Het is een gebeurtenis die elke subset van de steekproefruimte kan zijn. De complement, doorsnede en vereniging kunnen worden geïdentificeerd als regels voor gebeurtenisbewerkingen. Laten we elk van deze regels leren met behulp van het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld

Je universiteit heeft verschillende faculteiten, waaronder de bedrijfsfaculteit. Ook internationale studenten zijn ingeschreven op deze universiteit. Je moet interviews uitvoeren met studenten van je universiteit als onderdeel van je project. Je kiest ervoor te beginnen met de eerste student die door de poort komt. Je bent op de hoogte van de volgende waarschijnlijkheden. Laten we zeggen,

A = De eerste student is van de Bedrijfsfaculteit.

B = De eerste student is een internationale student.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Complement van een gebeurtenis

Het complement van een gebeurtenis is de verzameling van alle uitkomsten in een steekproefruimte die niet in die gebeurtenis zijn opgenomen.

Bijvoorbeeld, het complement van gebeurtenis A betekent dat de eerste student van ergens anders dan de bedrijfsfaculteit komt. Dit kan worden aangeduid met \$A\prime\$ of Aᶜ.

Laten we het complement van gebeurtenis A in een Venn-diagram tonen.

In het bovenstaande Venn-diagram vertegenwoordigt het gekleurde gebied het complement van gebeurtenis A.

De totale oppervlakte van de rechthoek vertegenwoordigt de algehele waarschijnlijkheid van de steekproefruimte. Deze is precies één. De ruimte buiten cirkel A toont de waarschijnlijkheid van het complement van gebeurtenis A. Het Venn-diagram stelt ons in staat de volgende relatie te vestigen:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Daarom,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Laten we de volgende waarschijnlijkheden vinden.

De waarschijnlijkheid dat de eerste student die je selecteert voor het interview niet van de bedrijfsfaculteit komt:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

De waarschijnlijkheid dat de eerste student die je selecteert voor het interview geen internationale student is:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Doorsnijding van gebeurtenissen

De doorsnijding van twee gebeurtenissen A en B is de lijst van alle gemeenschappelijke elementen in beide gebeurtenissen A en B. Het woord "EN" wordt vaak gebruikt om de doorsnijding van twee verzamelingen aan te duiden.

De doorsnijding van gebeurtenis A en gebeurtenis B in voorbeeld 1 betekent het selecteren van een internationale student, en de student is van de bedrijfsfaculteit. Dit kan als volgt worden aangeduid:

$$A\cap B$$

Laten we de doorsnijding van gebeurtenissen A en B in een Venn-diagram tonen.

In het bovenstaande Venn-diagram vertegenwoordigt het gekleurde gebied de doorsnijding van gebeurtenissen A en B.

Stel dat het selecteren van een lokale student voor het interview gebeurtenis C is. Nu zullen we gebeurtenissen A en C in een Venn-diagram tonen.

Het selecteren van een internationale student en een lokale student kan niet tegelijkertijd worden gedaan. Als de eerste student die je kiest een internationale student is, sluit dat de gebeurtenis uit dat de eerste student een lokale student is. Daarom zijn gebeurtenissen A en C wederzijds uitsluitende gebeurtenissen.

Wederzijds uitsluitende gebeurtenissen hebben geen gemeenschappelijke elementen tussen hen. Daarom is de doorsnijding van twee wederzijds uitsluitende gebeurtenissen leeg.

$$A\cap C=φ$$

De waarschijnlijkheid van de doorsnijding van gebeurtenissen kan met verschillende methoden worden berekend. Gebeurtenissen A en B kunnen als volgt worden geschreven.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Onafhankelijke Gebeurtenissen

Onafhankelijke gebeurtenissen zijn gebeurtenissen die elkaar niet beïnvloeden. In ons voorbeeld heeft het selecteren van een student van de bedrijfsfaculteit geen invloed op het al dan niet kiezen van een internationale student. Daarom kunnen we zeggen dat gebeurtenis A en gebeurtenis B twee onafhankelijke gebeurtenissen zijn.

Wanneer gebeurtenissen onafhankelijk zijn, hangt de waarschijnlijkheid dat een van hen gebeurt niet af van de ander. Daarom,

$$P(B/A)=B\ en\ P(A/B)=A$$

Je kunt deze formules gebruiken om de formule die we eerder hebben geleerd aan te passen om de waarschijnlijkheid van twee doorsnijdende gebeurtenissen te bepalen.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Daarom kun je de doorsnijding van de twee onafhankelijke gebeurtenissen vinden door de waarschijnlijkheid van die twee gebeurtenissen met elkaar te vermenigvuldigen.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Gegeven dat gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, laten we de waarschijnlijkheid bepalen dat de eerste student die je selecteert voor het interview zowel van de bedrijfsfaculteit is als een internationale student is.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Vereniging van gebeurtenissen

De vereniging van twee gebeurtenissen produceert een andere gebeurtenis die alle elementen van één of beide gebeurtenissen bevat. Het woord "OF" wordt typisch gebruikt om de vereniging van twee gebeurtenissen te beschrijven.

In Voorbeeld 1 betekent de vereniging van gebeurtenissen A en B het selecteren van een internationale student of een student van de bedrijfsfaculteit. Dit kan als volgt worden aangeduid.

$$A\cup B$$

Laten we de vereniging van gebeurtenissen A en B in een Venn-diagram tonen.

Het gekleurde gebied in het bovenstaande Venn-diagram vertegenwoordigt de vereniging van gebeurtenissen A en B.

Om de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A of gebeurtenis B te berekenen, moeten we de waarschijnlijkheden van beide gebeurtenissen optellen en de waarschijnlijkheid van de doorsnijding aftrekken.

De waarschijnlijkheid van een vereniging van gebeurtenissen A en B kan als volgt worden geschreven.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

We kunnen de bovenstaande formule aanpassen en een nieuwe formule creëren om de waarschijnlijkheid van de vereniging van twee onafhankelijke gebeurtenissen te vinden wanneer de waarschijnlijkheid van de doorsnijding van twee gebeurtenissen onbekend is en de twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn.

Als de gebeurtenissen onafhankelijk zijn,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Daarom,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Laten we berekenen wat de waarschijnlijkheid zou zijn van het combineren van gebeurtenissen A en B, dat wil zeggen, met welke waarschijnlijkheid zouden we een student kiezen die een bedrijfskunde student is, een internationale student, of beide tegelijk?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Dankzij de Calculator voor de Waarschijnlijkheid van Twee Gebeurtenissen of de Oplosser voor Twee Gebeurtenissen, kunt u alle bovenstaande berekeningen snel voltooien. U kunt de Oplosser voor Twee Gebeurtenissen ook gebruiken als u uw berekeningsstappen voor waarschijnlijkheid wilt controleren, omdat deze ook de stappen voor de berekening weergeeft.

Normale verdeling

De normale verdeling is symmetrisch en heeft een klokvorm. Een normale verdeling heeft een identieke gemiddelde, mediaan en modus, evenals 50% van de gegevens boven het gemiddelde en 50% eronder. De curve van de normale verdeling wijkt af van het gemiddelde in beide richtingen, maar raakt nooit de X-as. Het totale gebied onder de curve is 1.

Als de willekeurige variabele X een normale verdeling heeft met parameters μ en σ², schrijven we X ~ N(μ, σ²).

Waarschijnlijkheid van normale verdeling

De waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie van een normale verdeling wordt hieronder weergegeven:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

In deze functie:

• μ is het gemiddelde van de verdeling;
• σ² is de variantie van de verdeling;
• π is 3,14;
• e is 2,7182.

Het is onmogelijk om een waarschijnlijkheidstabel te bieden voor elke combinatie van gemiddelde en standaardafwijking omdat er een oneindig aantal verschillende normale krommen bestaan. Daarom wordt de standaardnormale verdeling gebruikt. De normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een standaardafwijking van 1 wordt de standaardnormale verdeling genoemd.

Om de waarschijnlijkheid van een normale verdeling te berekenen, moeten we eerst de werkelijke verdeling omzetten in een standaardnormale verdeling met behulp van de z-score en vervolgens de z-tabel gebruiken om de waarschijnlijkheid te berekenen. De normale waarschijnlijkheidsrekenmachine fungeert als een standaard normale waarschijnlijkheidsrekenmachine door waarschijnlijkheden voor verschillende betrouwbaarheidsniveaus te bieden.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

De curve van de standaardnormale verdeling kan worden gebruikt om een verscheidenheid aan problemen in de echte wereld op te lossen. De normale verdeling wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid van continue variabelen te bepalen. Een continue variabele is een variabele die een willekeurig aantal waarden kan aannemen, zelfs een decimaal. Enkele voorbeelden van continue variabelen zijn lengte, gewicht en temperatuur.

Laten we leren hoe we de waarschijnlijkheid van normale verdeling kunnen vinden met behulp van het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld

De resultaten van de statistiekcursus van jouw groep zijn normaal verdeeld, met een gemiddelde van 65 en een standaardafwijking van 10. Bepaal de waarschijnlijkheid van de volgende scenario's als een student willekeurig wordt geselecteerd:

• de score van de student is gelijk aan of hoger dan 70,
• de score van de student is minder dan 70,
• de score van de student ligt tussen 50 en 70.

Oplossing

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Het berekenen van de waarschijnlijkheid van een normale curve omvat tal van stappen en vereist het gebruik van z-tabellen. Aan de andere kant helpt de rekenmachine voor normale verdelingswaarschijnlijkheid u om waarschijnlijkheid eenvoudig te berekenen door vier getallen in de rekenmachine in te voeren. Om de rekenmachine voor normale verdeling te gebruiken, hoeft u alleen het gemiddelde, de standaardafwijking en de linker- en rechtergrenzen in te voeren.