Waarschijnlijkheidsrekenmachine

Kansrekenmachine voor Twee Gebeurtenissen

Wanneer je de kans op twee onafhankelijke gebeurtenissen kent, kun je de Kansrekenmachine voor Twee Gebeurtenissen gebruiken om hun gezamenlijke waarschijnlijkheid te bepalen. Voer simpelweg de kansen van de twee onafhankelijke gebeurtenissen (kans A en kans B) in de calculator in. Vervolgens toont de rekenmachine de vereniging (union), doorsnede (intersection) en andere gerelateerde kansen van deze twee gebeurtenissen, overzichtelijk in beeld gebracht met behulp van Venn-diagrammen.

Kansberekening Oplosser voor Twee Gebeurtenissen

Je kunt de waarschijnlijkheid van verschillende scenario's tussen twee onafhankelijke gebeurtenissen razendsnel berekenen, zolang je twee invoerwaarden voor de Kansberekening Oplosser voor Twee Gebeurtenissen kent. Deze tool is vooral onmisbaar wanneer je één of beide initiële kansen niet exact weet. De calculator berekent niet alleen het eindantwoord, maar toont je ook helder en stap-voor-stap hoe de berekening is uitgevoerd.

Kans op een Reeks Onafhankelijke Gebeurtenissen

Gebruik de Kansrekenmachine voor een Reeks Onafhankelijke Gebeurtenissen om de waarschijnlijkheid te bepalen van experimenten waarbij onafhankelijke gebeurtenissen elkaar opeenvolgend opvolgen. Om deze rekentool te gebruiken, hoef je alleen in te vullen hoe vaak de gebeurtenis plaatsvindt (het aantal herhalingen).

Waarschijnlijkheid bij een Normale Verdeling

De rekenmachine voor de normale verdeling is een krachtig hulpmiddel voor het berekenen van de kansen onder een normaalcurve. Je hoeft enkel het gemiddelde μ, de standaardafwijking σ en de gewenste grenswaarden in te voeren. Onze normale-kanscalculator berekent vervolgens direct de waarschijnlijkheid voor de door jou ingestelde grenzen, inclusief de betrouwbaarheidsintervallen voor diverse betrouwbaarheidsniveaus.

Introductie in de Kansrekening

Kans of waarschijnlijkheid drukt de mate van zekerheid uit dat een bepaalde gebeurtenis zal optreden. Als het 100% zeker is dat een gebeurtenis plaatsvindt, is de kans 1. Kan een gebeurtenis absoluut onmogelijk gebeuren? Dan is de kans 0. In de wiskunde ligt de kans op een bepaalde gebeurtenis dan ook altijd precies tussen de 0 en de 1. Met behulp van een kansrekenmachine wordt het oplossen van ingewikkelde vraagstukken rondom waarschijnlijkheid voor iedereen toegankelijk en eenvoudig.

Rekenregels voor gebeurtenissen

Elke mogelijke verzameling van uitkomsten van een experiment noemen we in de statistiek een gebeurtenis. Een gebeurtenis kan elke specifieke deelverzameling (subset) van de totale uitkomstenruimte (steekproefruimte) zijn. Bij het rekenen met kansen maken we gebruik van drie fundamentele regels voor gebeurtenisbewerkingen: het complement, de doorsnede en de vereniging. Laten we deze rekenregels verduidelijken aan de hand van het onderstaande praktijkvoorbeeld.

Voorbeeld

Stel, je universiteit heeft meerdere faculteiten, waaronder de Faculteit Bedrijfskunde. Er studeren ook veel internationale studenten aan de universiteit. Voor een belangrijk project moet je studenten op de campus interviewen. Je besluit het simpel te houden en de allereerste student te ondervragen die de hoofdpoort binnenloopt. Je bent op de hoogte van de volgende statistische gegevens. Laten we stellen:

A = De eerste student studeert aan de Faculteit Bedrijfskunde.

B = De eerste student is een internationale student.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Complement van een gebeurtenis

Het complement van een gebeurtenis omvat de verzameling van alle mogelijke uitkomsten in een uitkomstenruimte die niet tot die betreffende gebeurtenis behoren.

In ons voorbeeld betekent het complement van gebeurtenis A dat de allereerste student van een ándere faculteit komt dan de Faculteit Bedrijfskunde. Wiskundig wordt dit genoteerd als \$A\prime\$ of Aᶜ.

Laten we het complement van gebeurtenis A visualiseren in een Venn-diagram.

In het bovenstaande Venn-diagram vertegenwoordigt het gekleurde vlak het complement van gebeurtenis A.

De totale oppervlakte van de rechthoek staat voor de gezamenlijke kans van de gehele uitkomstenruimte, welke exact gelijk is aan 1. De ruimte buiten cirkel A toont de waarschijnlijkheid van het complement van gebeurtenis A. Dankzij dit Venn-diagram kunnen we de volgende logische relatie opstellen:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Daaruit volgt:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Laten we nu de volgende kansen berekenen.

De kans dat de eerste geselecteerde student voor het interview niet van de Faculteit Bedrijfskunde is:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

De kans dat de eerste geselecteerde student geen internationale student is:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Doorsnede van gebeurtenissen

De doorsnede van twee gebeurtenissen A en B omvat de lijst van alle gemeenschappelijke elementen die in zowel gebeurtenis A als B voorkomen. Het woord "EN" wordt in de wiskunde standaard gebruikt om de doorsnede van twee verzamelingen te omschrijven.

De doorsnede van gebeurtenis A en gebeurtenis B in ons voorbeeld betekent dat we een student selecteren die een internationale student is EN tevens aan de Faculteit Bedrijfskunde studeert. Dit wordt als volgt genoteerd:

$$A\cap B$$

Laten we de doorsnede van gebeurtenissen A en B bekijken in een Venn-diagram.

In het bovenstaande Venn-diagram vertegenwoordigt het gekleurde, overlappende gebied de doorsnede van gebeurtenissen A en B.

Stel nu dat we het selecteren van een lokale (niet-internationale) student gebeurtenis C noemen. Laten we gebeurtenissen A en C naast elkaar in een Venn-diagram plaatsen.

Je kunt logischerwijs niet tegelijkertijd een internationale én een lokale student selecteren. Als de eerste student die je kiest internationaal is, sluit dat volledig uit dat deze student lokaal is. Daarom spreken we bij gebeurtenissen A en C van wederzijds uitsluitende (disjuncte) gebeurtenissen.

Wederzijds uitsluitende gebeurtenissen bezitten geen enkele overlap (geen gemeenschappelijke elementen). Daardoor is de doorsnede van twee wederzijds uitsluitende gebeurtenissen altijd leeg.

$$A\cap C=φ$$

De waarschijnlijkheid van de doorsnede van gebeurtenissen kan via verschillende methoden worden berekend. Voor gebeurtenissen A en B kunnen deze formules als volgt worden genoteerd:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Onafhankelijke Gebeurtenissen

Onafhankelijke gebeurtenissen zijn gebeurtenissen die elkaar op geen enkele manier beïnvloeden. In ons voorbeeld heeft het kiezen van een student van de Faculteit Bedrijfskunde geen enkele impact op de vraag of we wel of niet een internationale student hebben gekozen. Hierdoor kunnen we vaststellen dat gebeurtenis A en gebeurtenis B twee onafhankelijke gebeurtenissen zijn.

Wanneer gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar zijn, hangt de kans dat de één optreedt dus niet af van de ander. Daarom geldt:

$$P(B/A)=B\ en\ P(A/B)=A$$

Je kunt deze regels toepassen op de eerdere formules, om zo de waarschijnlijkheid van twee doorsnijdende (niet-disjuncte) gebeurtenissen exact te bepalen.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Dit betekent in de praktijk dat je de doorsnede van twee onafhankelijke gebeurtenissen eenvoudig kunt berekenen door de kansen van deze twee losse gebeurtenissen met elkaar te vermenigvuldigen.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Met de wetenschap dat gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, berekenen we nu de kans dat de allereerste student die je voor het interview selecteert zówel bedrijfskunde studeert als een internationale achtergrond heeft.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Vereniging van gebeurtenissen

De vereniging van twee gebeurtenissen creëert een nieuwe verzameling die alle elementen bevat van de ene gebeurtenis, de andere gebeurtenis, óf beide tegelijk. Het woord "OF" wordt veelvuldig gebruikt om een vereniging (union) te omschrijven.

Toegepast op ons eerste voorbeeld, betekent de vereniging van gebeurtenissen A en B dat we een internationale student selecteren OF een student van de Faculteit Bedrijfskunde. De wiskundige notatie hiervoor is:

$$A\cup B$$

Laten we de vereniging van gebeurtenissen A en B visueel maken met behulp van een Venn-diagram.

Het gekleurde gebied in het bovenstaande Venn-diagram vertegenwoordigt exact de vereniging van gebeurtenissen A en B.

Om de kans op gebeurtenis A óf gebeurtenis B te berekenen, tellen we de afzonderlijke kansen van beide gebeurtenissen bij elkaar op en trekken we de kans van hun doorsnede (de overlap) eraf.

De waarschijnlijkheid van een vereniging van gebeurtenissen A en B noteer je op de volgende manier:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

We kunnen deze formule verder uitwerken tot een efficiënte nieuwe formule. Hiermee berekenen we de vereniging van twee onafhankelijke gebeurtenissen als de exacte waarschijnlijkheid van de doorsnede onbekend is.

Aangezien de gebeurtenissen onafhankelijk zijn, geldt:

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Hieruit volgt de formule:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Laten we testen wat de kans in de praktijk zou zijn wanneer we gebeurtenissen A en B combineren. Oftewel: hoe groot is de kans dat de geselecteerde student een bedrijfskunde student is, een internationale student is, of beide tegelijk?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Dankzij de Rekenmachine voor de Waarschijnlijkheid van Twee Gebeurtenissen en de Kansberekening Oplosser hoef je niet langer zelf te puzzelen. Deze slimme tools voeren alle bovenstaande berekeningen razendsnel en foutloos voor je uit. De Oplosser is bovendien het perfecte hulpmiddel om je eigen wiskundige vaardigheden te controleren, aangezien alle tussenstappen van de berekening transparant worden getoond.

Normale verdeling

De normale verdeling is volledig symmetrisch en herkenbaar aan de kenmerkende klokvorm (de klokcurve). In een perfecte normale verdeling zijn het gemiddelde, de mediaan en de modus exact aan elkaar gelijk. Hierbij bevindt 50% van de data zich netjes boven het gemiddelde en de andere 50% eronder. De curve buigt aan beide zijden van het gemiddelde vloeiend af richting de X-as, maar zal deze as tot in het oneindige nooit écht raken. De totale oppervlakte onder de gehele curve staat gelijk aan 1.

Als een continue willekeurige variabele (continue stochast) X een normale verdeling volgt met de parameters μ en σ², noteren we dit wiskundig als X ~ N(μ, σ²).

Waarschijnlijkheid bij een normale verdeling

De kansdichtheidsfunctie van een normale verdeling ziet er als volgt uit:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

In deze complexe formule staan de symbolen voor:

• μ is het gemiddelde van de verdeling;
• σ² is de variantie van de verdeling;
• π is (afgerond) 3,14;
• e is (afgerond) 2,7182.

Omdat er een oneindig aantal unieke normaalcurven bestaat (afhankelijk van het specifieke gemiddelde en de standaardafwijking), is het simpelweg onmogelijk om voor iedere combinatie een kant-en-klare kansentabel aan te bieden. Om dit probleem op te lossen, wordt in de statistiek gebruikgemaakt van de standaardnormale verdeling. Een normale verdeling met een gemiddelde van exact 0 en een standaardafwijking van 1 krijgt de naam: standaardnormale verdeling.

Om een waarschijnlijkheid binnen een willekeurige normale verdeling te berekenen, moeten we eerst de originele verdeling omzetten (standaardiseren) naar deze standaardnormale verdeling. Hiervoor gebruiken we de z-score. Zodra we de z-score hebben, raadplegen we de z-tabel (of standaardnormale tabel) om de bijbehorende kans te vinden. Onze online normale-kansrekenmachine automatiseert dit volledige proces en fungeert als een feilloze standaardnormale rekenmachine door je direct waarschijnlijkheden voor diverse betrouwbaarheidsniveaus te presenteren.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

De grafiek van de standaardnormale verdeling is van onschatbare waarde bij het analyseren van uiteenlopende reële problemen. We gebruiken de normale verdeling primair om kansen van continue variabelen in kaart te brengen. Een continue variabele kan iedere denkbare waarde binnen een bepaald bereik aannemen, inclusief getallen met eindeloos veel decimalen. Typische voorbeelden van continue variabelen zijn lichaamslengte, lichaamsgewicht en temperatuur.

Laten we stap voor stap leren hoe we de kans in een normale verdeling berekenen aan de hand van het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld

De eindcijfers voor het vak statistiek binnen jouw werkgroep zijn perfect normaal verdeeld. Het gemiddelde behaalde cijfer is een 65, met een standaardafwijking van 10. Bereken de kans op de volgende drie scenario's wanneer we compleet willekeurig één student uit deze groep selecteren:

• de score van de student is gelijk aan of hoger dan 70,
• de score van de student is lager dan 70,
• de score van de student valt exact tussen de 50 en 70 in.

Oplossing

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Het handmatig berekenen van de kans onder een normaalcurve kost veel tijd, omvat diverse rekenstappen en verplicht je om standaard met z-tabellen te werken. Gelukkig neemt onze online rekenmachine voor de normale verdeling al dit zware werk voor je uit handen. Je bereikt het einddoel moeiteloos door simpelweg vier waarden in de tool te typen. Om direct aan de slag te gaan met de normale-verdeling-calculator, hoef je alleen nog maar het gemiddelde, de standaardafwijking en de gewenste linker- en rechtergrenzen in te voeren.