Kalkulator Kombinacji

W matematyce istnieją różne strategie ustalania liczby sposobów wybierania obiektów z danego zbioru. Na ile sposobów możemy wybrać r wyników z n możliwości? To zależy od tego, czy kolejność ma znaczenie, oraz czy wartości mogą się powtarzać czy nie.

Liczba sposobów wyboru r nieuporządkowanych wyników z n możliwości jest znana jako kombinacja i zapisywana jako C (n, r). Jest to również znane jako współczynnik dwumianowy. Ten kalkulator umożliwia obliczenie kombinacji r obiektów z zestawu n obiektów.

Zasady używania kalkulatora kombinacji

Dla danego zestawu obiektów istnieje pewna liczba sposobów ich układania lub wybierania niektórych lub wszystkich z nich według pewnego porządku lub specyfikacji. Kalkulator oblicza liczbę sposobów wyboru r obiektów z zestawu n obiektów bez powtórzeń i gdy kolejność nie ma znaczenia. Kalkulator wymaga dwóch danych wejściowych:

• n = liczba różnych obiektów do wyboru, oraz
• r = liczba pozycji do wypełnienia.

Podstawowym kryterium wprowadzania danych do kalkulatora kombinacji jest to, że

$$0 ≤ r ≤ n$$

Jeśli wpiszesz liczbę r większą niż n, zostanie wyświetlony komunikat

"Proszę wprowadzić 0 ≤ r ≤ n".

Podstawowa zasada liczenia

Podstawowa Zasada Liczenia prowadzi nas do znajdowania sposobów na wykonanie różnych zadań. Istnieją dwie podstawowe zasady liczenia.

Zasada sumy

Pierwsze zadanie można wykonać na m sposobów, a drugie zadanie na n sposobów. Jeśli zadań nie można wykonać jednocześnie, liczbę możliwych sposobów można policzyć jako (m + n).

Zasada iloczynu

Pierwsze zadanie można wykonać na m sposobów, a drugie zadanie na n sposobów. Jeśli oba zadania można wykonać jednocześnie, to istnieje (m × n) sposobów ich wykonania.

Przykłady

Kafeteria sprzedaje 3 rodzaje ciast i 4 rodzaje napojów. Wśród nich są ciasto jabłkowe, truskawkowe i jagodowe. Oraz soki pomarańczowy, winogronowy, wiśniowy i ananasowy. Zarówno napoje, jak i ciasta sprzedawane są po 2 dolary. Masz przy sobie tylko 2 dolary i ani centa więcej. Więc masz 3 + 4 = 7 możliwości dokonania jakiegoś konkretnego wyboru.

Załóżmy, że chcesz policzyć liczbę sposobów rzucania monetą i rzucania kością. Liczba sposobów, w jakie można rzucić monetą, to 2, ponieważ moneta ma 2 strony. Podobnie istnieje 6 możliwych sposobów rzucania kością. Ponieważ oba zadania można wykonać jednocześnie, wówczas jest 2 × 6 = 12 sposobów, w jakie można rzucić monetą i rzucić kością.

Jeśli chcesz wyciągnąć 2 karty z talii 52 kart bez ich zastępowania, to istnieje 52 sposoby, aby wyciągnąć pierwszą i 51 sposobów na wyciągnięcie drugiej. Dlatego liczba sposobów wyciągnięcia dw

óch kart to 52 × 51 = 2.652.

Przestrzenie próbek

Przestrzeń próbek to zestawienie wszystkich możliwych wyników i jest oznaczone dużą literą S. Przestrzeń próbek dla jednoczesnego rzucania monetą i rzucania kością to

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Istnieje dwanaście możliwych sposobów. Zasady liczenia pozwalają nam ustalić liczbę sposobów eksperymentowania bez konieczności wypisywania ich wszystkich.

Kombinacja

Liczba możliwych sposobów wybierania r nienastępujących po sobie wyników z n możliwości, gdy kolejność nie ma znaczenia, jest znana jako kombinacja. Kombinacja obiektów jest zapisywana jako C(n, r). Jest to również znane jako współczynnik dwumianowy. Formuła kombinacji jest definiowana jako

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Znak ! po liczbie lub literze oznacza, że używamy silni z jakiejś liczby. Na przykład, n! to silnia liczby n - czyli iloczyn liczb naturalnych od 1 do n. Silnia liczby 2 to 1 × 2. Silnia liczby 3 to 1 × 2 × 3. Silnia liczby 4 to 1 × 2 × 3 × 4. Silnia liczby 5 to 1 × 2 × 3 × 4 × 5 i tak dalej. Silnię można obliczać tylko dla nieujemnych liczb całkowitych.

Istotną cechą obliczania kombinacji za pomocą tej formuły jest to, że nie jest dozwolone powtarzanie obiektów, a kolejność układania nie ma znaczenia.

Przykład 1

Załóżmy, że masz zbiór czterech liczb

{1, 2, 3, 4}

Na ile sposobów możemy połączyć dwa elementy z tego zestawu, jeśli ten sam element nie może się powtarzać w parze?

Jeśli kolejność elementów ma znaczenie, otrzymujemy grupy utworzone przez permutacje:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Jeśli kolejność nie ma znaczenia - otrzymujemy grupy utworzone przez kombinacje:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Jest 6 możliwych kombinacji. Możesz użyć wzoru, aby znaleźć liczbę wszystkich możliwych kombinacji. W tym przykładzie, $n=4$, $r=2$. Stąd

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

To właśnie oblicza Kalkulator Kombinacji.

Przykład 2

Jakie są kombinacje liter A, B, C i D w grupie 3? Jest 24 możliwych permutacji, gdy kolejność jest ważna. W rachunku kombinatorycznym kolejność jest nieistotna. Dlatego ważny jest tylko pierwszy rząd, czyli istnieją 4 możliwe kombinacje.

Zamiast wymieniać wszystkie możliwe układy, możemy obliczyć liczbę możliwych układów (w których kolejność nie jest ważna) używając powyższej formuły kombinacji. Tutaj mamy n=4 obiekty i bierzemy r=3 na raz. Stąd

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutacja

Permutacja definiuje liczbę sposobów organizowania obiektów, gdy kolejność obiektów jest ważna. Formuła na permutację przy wyborze r obiektów z listy n obiektów jest następująca:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dwie główne cechy obliczania permutacji przy użyciu tej formuły to brak dozwolonego powtórzenia obiektu oraz istotność kolejności obiektów.

Przykład 3

Załóżmy, że na rozmowie kwalifikacyjnej jest 4 kandydatów. Zadaniem komisji selekcyjnej jest sklasyfikować kandydatów od 1 do 4. Oto możliwości:

• 1. kandydat - jest 4 sposoby wyboru
• 2. kandydat - jest 3 sposoby wyboru
• 3. kandydat - są 2 sposoby wyboru
• 4. kandydat - jest tylko jeden sposób wyboru

Reguła mnożenia daje łączną liczbę sposobów wyboru, czyli 4 × 3 × 2 × 1 = 24, co jest tożsame z 4!. Powiedzmy, że kandydaci to:

{A, B, C, D}

Przestrzeń próbkowania problemu, pokazująca wszystkie możliwe permutacje, jest pokazana poniżej:

Zamiast wymieniać wszystkie możliwe układy, jak pokazano w tabeli powyżej, możemy obliczyć liczbę możliwych układów przy użyciu formuły permutacji. Dla powyższego przykładu mamy n = 4 obiekty, i bierzemy r = 4 elementy na raz. Stąd,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Różnica między kombinacjami a permutacjami

Główna różnica między kombinacjami a permutacjami polega na tym, że w kombinacjach kolejność elementów nie jest ważna, podczas gdy w permutacjach kolejność elementów jest ważna.