Kalkulator Objętości

Każdy trójwymiarowy obiekt stały zajmuje pewną przestrzeń. Możemy pomyśleć o przestrzeni, jaką zajmuje nasz telefon komórkowy położony na stole, zbiornik na wodę umieszczony w sąsiedztwie, lub po prostu piłkę na boisku.

Objętość możemy zdefiniować jako przestrzeń zajmowaną przez obiekt. Objętość może również odnosić się do pojemności obiektu. Zamiast myśleć o przestrzeni, którą zajmuje zbiornik na wodę w naszym garażu, możemy myśleć o pojemności lub ilości wody, którą zbiornik może przechowywać.

Obliczanie objętości jest używane w różnych dyscyplinach nauki i matematyki.

Kalkulator objętości obsługuje wiele pomiarów podczas obliczania objętości. Co więcej, kalkulator pokazuje wzór i proces obliczeń krok po kroku. Ten artykuł dostarczy proste, ale wystarczające wyjaśnienie objętości i kalkulatora wzoru na objętość z rzeczywistymi przykładami.

Jednostki i pomiary

Aby poprawić wiarygodność i dokładność naszych osądów, potrzebujemy standardowej jednostki miary. Dla jednolitości wymagamy ustandaryzowanego zestawu jednostek miar, znanych jako jednostki standardowe.

Jednostką objętości w układzie SI (Międzynarodowy Układ Jednostek Miar) jest metr sześcienny m³. Jednakże objętości niektórych małych obiektów można zapisywać w mniejszych jednostkach, takich jak centymetry sześcienne cm³ lub milimetry sześcienne mm³, jeśli obiekt jest bardzo mały.

Z drugiej strony, użytkownik ma wolność wyboru jednostki, która najlepiej odpowiada jego zastosowaniu. Kalkulator objętości obsługuje dwa systemy pomiarów: system metryczny oraz brytyjskie i amerykańskie jednostki zwyczajowe. Użytkownik ma wolność wyboru pomiędzy następującymi jednostkami:

• kilometry,
• metry,
• centymetry,
• milimetry,
• mikrometry,
• nanometry,
• angstromy,
• mile,
• jardy,
• stopy,
• cale.

Jeśli używamy wzorów do obliczania objętości, musimy pracować z jednorodnymi jednostkami miar. Dlatego zwykle przekształcamy wszystkie pomiary na tę samą jednostkę, aby ułatwić obliczenia.

Na przykład, rozważmy obliczenie objętości cylindra o wysokości 75 cm i promieniu 0,5 m. Albo przekształcamy wysokość na metry i obliczamy objętość w metrach sześciennych, albo przekształcamy promień na centymetry i znajdujemy objętość w centymetrach sześciennych.

A co z pozwalaniem na zdefiniowanie wysokości w calach, a promienia w nanometrach? Kalkulator przeprowadzi nawet taką konwersję jednostek i pokaże kroki.

Z tym kalkulatorem użytkownik może wybrać inną jednostkę dla każdego wprowadzonego pomiaru, a kalkulator wzoru objętości zwróci objętość.

Rozważmy przykład, w którym wysokość cylindra wynosi 5 cali, a promień 10506070 nanometrów. Przechodzimy do sekcji kalkulatora objętości cylindra i wprowadzamy wartości promienia i wysokości z właściwymi jednostkami z listy rozwijanej.

Kalkulator najpierw zwraca objętość 2,6874044006564 cala³ (w calach sześciennych) i 4,4038667907438E+22 nanometrów³ (nanometry sześcienne). Dlaczego tak jest? Ponieważ to są jednostki miar, których użyliśmy w naszym wejściu, kalkulator zakłada, że potrzebujemy obliczyć objętość w jednej z tych jednostek. Objętość cylindra pokazuje dwa sposoby przeprowadzenia obliczeń wraz z konwersją jednostek!

Kalkulator Objętości: Zakres, Funkcje i Przykłady

Metody obliczania objętości mogą się różnić w zależności od figury. Niektóre kształty geometryczne używają standardowych wzorów arytmetycznych do obliczenia ich objętości na podstawie ich właściwości, takich jak długość krawędzi lub promień.

Inne kształty geometryczne są bardziej skomplikowane, i nie można obliczyć ich objętości bezpośrednio. W takim przypadku używane są zaawansowane metody obliczeniowe, takie jak integracja geometryczna i metody elementów skończonych. Kalkulator objętości obsługuje szeroki zakres obiektów do obliczania ich objętości.

Kula

Kula jest trójwymiarowym odpowiednikiem koła; przykładem kuli jest każda okrągła piłka (baseballowa, koszykowa itp.). Wzór na objętość kuli jest podany jako:

$$V_{kula}=\frac{4}{3}π r^3$$

Możemy zauważyć, że objętość kuli zależy tylko od promienia kuli (r). Promień jest zdefiniowany jako odległość między środkiem kuli a dowolnym punktem na jej powierzchni. Mając na uwadze, że baseballowa piłka ma promień r = 3,65 cm, możemy użyć kalkulatora objętości kuli, aby znaleźć objętość:

$$Objętość = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ centymetry^3$$

Stożek

Stożek to kształt geometryczny składający się z okrągłej podstawy i punktu wierzchołkowego, oznaczonego jako wierzchołek, gdzie wszystkie punkty na obwodzie podstawy są połączone z wierzchołkiem za pomocą odcinków. Możemy zdefiniować właściwości stożka za pomocą dwóch pomiarów: promienia okrągłej podstawy (r) i wysokości między środkiem podstawy a wierzchołkiem (h).

Objętość stożka można wyrazić jako:

$$V_{stożek}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r to promień, a h to wysokość stożka

Załóżmy, że masz przyjęcie urodzinowe i chcesz zrobić stożkowate kapelusze imprezowe, które później będą używane jako stożki do popcornu podczas wieczoru.

Jeśli zdecydujesz się zrobić kapelusze stożkowe o promieniu 7,5 cm i wysokości 0,45 m, moż

esz użyć kalkulatora objętości stożka, aby obliczyć objętość każdego kapelusza stożkowego.

0,45 metra = 45 centymetrów

$$Objętość = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,5^2 × 45 = 2650,7188014664 \ centymetry^3$$

Oznacza to, że tyle popcornu możesz umieścić w swoim stożku na końcu imprezy.

Sześcian

Kto nie miał okazji pobawić się Kostką Rubika?

To obiekt geometryczny z 8 wierzchołkami i 6 równymi bokami. Objętość sześcianu zależy tylko od długości jego boku (a).

$$V_{sześcian}=a^3$$

Zdecydowaliśmy się kupić 30 kostek Rubika do naszego centrum rozwojowego, aby dzieci mogły poprawić swoje zdolności poznawcze. Poszliśmy do sklepu i znaleźliśmy odpowiednie kostki pod względem wzornictwa i ceny. Długość boku kostki wynosi 5,7 centymetra. Niestety, sprzedawca w sklepie ma tylko jedno pudełko, aby ułożyć wszystkie kostki dla łatwego transportu. Pudełko jest sześcienne o długości boku 20 centymetrów. Czy wszystkie nasze kostki zmieszczą się w tym pudełku?

Objętość kostek:

$$Objętość = 5,7³ = 185,19\ centymetry³$$

Całkowita objętość 30 kostek wynosiłaby

$$185,19 × 30 = 5 555,7\ centymetry³$$

Objętość pudełka:

$$Objętość = 20³ = 8 000\ centymetry³$$

Porównaliśmy objętość 30 kostek z objętością pudełka.

$$5 555,7 < 8 000$$

I okazało się, że kostki idealnie zmieszczą się w pudełku.

Walec

Walec to geometryczny graniastosłup o jednolitej okrągłej podstawie, jakby kilka kół umieszczono na sobie, tworząc ten kształt geometryczny. Podobnie jak stożek, właściwości walca są określone przez promień koła (r) i wysokość od dolnej powierzchni do górnej powierzchni walca (h). Objętość walca można wyrazić jako:

$$V_{walec}=π r^2h$$

Obliczmy objętość dekoracyjnej świecy cylindrycznej, aby rzemieślnik mógł zrozumieć, ile parafiny będzie potrzebował, aby ją wykonać. Zatem wysokość naszej świecy wyniesie 15 centymetrów, a średnica 8 centymetrów. Z średnicy możemy obliczyć promień, który wyniesie 4 centymetry. Otrzymujemy więc:

$$Objętość = πr^2h = π × 4² × 15 = 240π = 753,98223686155\ centymetry^3$$

Zbiornik Prostokątny

Zbiornik prostokątny to wariacja sześcianu, gdzie wszystkie krawędzie są prostopadłe, ale niekoniecznie równe. Ten obiekt geometryczny jest definiowany przez długość (l) i szerokość (w), które reprezentują dwuwymiarowy prostokąt, wraz z wysokością (h), która tworzy to trójwymiarowe rozszerzenie prostokąta. W związku z tym, objętość zbiornika prostokątnego można zapisać następująco:

$$V_{zbiornik\ prostokątny}=l × w × h$$

Uniwersalnym przykładem zbiornika prostokątnego jest kontener transportowy. Standardowe wymiary kontenera transportowego ISO to:

• Szerokość = 2,43 m
• Wysokość = 2,59 m
• Długość = 6,06 m lub 12,2 m

Ponieważ wymiary są standardowe zgodnie z ISO, objętości również są standardowe. Możesz wprowadzić wymiary do kalkulatora objętości zbiornika prostokątnego, aby znaleźć objętość. Przeprowadź obliczenia dla obu wartości długości, 6,06 m i 12,2 m.

$$Objętość = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ metry³$$

oraz

$$Objętość = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ metry³$$

Bardziej skomplikowane trójwymiarowe kształty geometryczne

Możemy łączyć inne kształty geometryczne z podstawowymi kształtami geometrycznymi. Jaka jest objętość tej figury?

Widzimy, że obiekt składa się z walca i stożka na górze. Dlatego możemy powiedzieć, że objętość obiektu to suma objętości walca i objętości stożka:

$$V_{obiekt}=V_{walec}+V_{stożek}$$

Zarówno walec, jak i stożek mają średnicę 4 cm. Zatem możemy stwierdzić, że

$$r_{walec}=r_{stożek}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Ponadto

$$h_{obiekt}=h_{walec}+h_{stożek}$$

Biorąc pod uwagę, że

$$h_{obiekt}=10\ cm$$

i

$$h_{stożek}=3\ cm$$

możemy interpretować, że

$$h_{walec}=7\ cm$$

Teraz możemy wstawić wartości do kalkulatora objętości, jak poniżej:

$$V_{obiekt}=V_{walec}+V_{stożek}=87,96\ cm^3+12,56\ cm^3$$

$$V_{obiekt}=100,52\ cm^3$$

Ten przykład pomoże lepiej zrozumieć nadchodzące kształty geometryczne, które obsługuje kalkulator objętości.

Kapsułka

Kapsułka jest jedną z najczęstszych form leków w tabletkach. Użytkownik może wykorzystać poprzedni przykład, aby zrozumieć, że kapsułka składa się z walca z dwoma półkulami na dwóch przeciwległych powierzchniach.

Dwie półkule mogą dać w sumie jedną kulę, więc możemy powiedzieć, że objętość kapsułki to suma objętości walca i objętości kuli.

$$V_{kapsułka} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Gdzie r to promień, a h to wysokość części cylindrycznej.

Dzięki kalkulatorowi objętości kapsułki nie musisz obliczać objętości walca i dodawać do niej objętości kuli, aby obliczyć objętość kapsułki. Użytkownik może bezpośrednio wprowadzić wysokość i promień, a kalkulator poda objętość kapsułki.

Farmaceuci, którzy analizują, opracowują i produkują leki, zawsze starają się znaleźć odpowiednie objętości kapsułek. Kapsułka powinna przechowywać wymaganą ilość leku na kapsułkę, więc naukowcy zmieniają wymiary kapsułki (wysokość i promień), aby odpowiednio dostosować objętość.

Część Kuli (Kalota)

Poprzedni przykład odnosił się do półkuli jako połowy kuli. Tymczasem część kuli (kalota) to fragment kuli, gdy kula jest przecięta przez płaszczyznę. Półkula jest szczególnym przypadkiem części kuli, gdy kula jest podzielona na dwie równe części. Zatem objętość półkuli stanowi połowę objętości kuli.

Poniższy rysunek przedstawia przykład części kuli (kaloty), gdzie (r) to promień podstawy, (R) to promień kuli, a (h) to wysokość części kuli. Istnieje związek między tymi zmiennymi. Wystarczy znać dwie z tych wartości, aby obliczyć trzecią.

• Dla danych r i R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Dla danych r i h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Dla danych R i h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

gdzie:

• r to promień podstawy,
• R to promień kuli,
• h to wysokość części kuli.

Objętość części kuli można zapisać jako:

$$V_{część\ kuli}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

Wystarczy wprowadzić dwie z trzech zmiennych części kuli. Na przykład, rozważmy, że R = 1 m i r = 0,25 m, kalkulator znajdzie dwie możliwe objętości; 0,00313 m³ i 4,1856 m³. Dlaczego tak jest?

Przypominając sobie następujące

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

możemy zauważyć, że gdy podane są wartości r i r, h może mieć dwie wartości

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

i

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

To wyjaśnia, dlaczego otrzymujemy różne wartości objętości przy użyciu $h_1$ i $h_2$.

Ponadto, nierówność R ≥ r powinna zawsze zachodzić, w przeciwnym razie kalkulator zwróci komunikat o błędzie mówiący, że "promień podstawy nie może być większy niż promień kuli". Ten błąd jest pomocny, jeśli użytkownik pomiesza wartości R i r.

Ucięty Stożek

Ten kształt uzyskujemy poprzez przecięcie stożka poziomym cięciem równoległym do jego okrągłej powierzchni. Daje to dwa okrągłe i dwie równoległe powierzchnie.

Objętość uciętego stożka można zdefiniować jako:

$$V_{ucięty\ stożek}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Gdzie h to wysokość między środkiem dolnej i górnej powierzchni, r to promień górnej powierzchni, a R to promień dolnej powierzchni, tak że R ≥ r.

Wyobraź sobie, że poszedłeś do cukierni i zobaczyłeś ciasto lawowe, mówiące, że zawiera 35% roztopionej czekolady.

Jeśli byłeś prawdziwym entuzjastą matematyki i chciałbyś przekształcić to w problem matematyczny, mogłeś być zainteresowany objętością czekolady w środku ciasta. W takim razie zmierz górny i dolny promień wraz z wysokością, aby obliczyć objętość całego ciasta.

Załóżmy, że pomiary wynoszą r = 16 cm, R = 20 cm i h = 10 cm.

Wtedy możemy znaleźć objętość ciasta, po prostu wprowadzając wartości do kalkulatora objętości uciętego stożka.

$$Objętość=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679 \ centymetry^3$$

Ponadto, 35% z 10 220,65 cm³ to około 3577,23 cm³ czekolady.

Elipsoida

Kiedy sfera jest deformowana przez skalowanie kierunkowe, tworzy powierzchnię znaną jako elipsoida. Można myśleć o elipsoidzie jako o rozciągniętej sferze, gdzie odległości między środkiem elipsoidy a różnymi punktami na jej powierzchni nie są równe.

W związku z tym elipsoida ma trzy osie, a objętość elipsoidy jest definiowana względem promienia od środka do każdej z tych osi. Trzy wartości promieni oznaczane są jako a, b i c.

Zawsze myślimy o okrągłych sferach, gdy mówimy o piłkach, ale istnieją również elipsoidalne piłki! Spójrz na piłkę do rugby. Załóżmy, że wymiary to a = 9,3 cm, b = 9,3 cm i c = 14,3 cm.

Objętość elipsoidy podaje się jako:

$$V_{elipsoida}=\frac{4}{3}π abc$$

Kolejność a, b i c nie ma znaczenia; ich zamiana miejsc jest dopuszczalna.

Używając kalkulatora objętości elipsoidy, możemy uzyskać objętość naszej piłki do rugby.

$$Objętość=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5180,7250468112 \ centymetry^3$$

Piramida Kwadratowa

Wspominanie o piramidach może skojarzyć się z antycznymi piramidami w Egipcie. Piramida kwadratowa składa się z kwadratowej podstawy z wierzchołkiem, gdzie punkty na obwodzie podstawy kwadratowej są połączone z tym wierzchołkiem. Objętość można obliczyć jako:

$$V_{piramida\ kwadratowa}=\frac{1}{3}a^2h$$

Z a jako krawędzią kwadratowej podstawy i h jako wysokością od środka kwadratowej podstawy do wierzchołka.

Bierzemy wymiary piramidy Chufu tak, jak została pierwotnie zbudowana; h = 146,6 m i a = 230,33 m. Objętość piramidy Chufu można obliczyć następująco:

$$Objętość=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2 592 469,9482467\ metry^3$$

Rura

W przeciwieństwie do cylindra, rura ma średnicę zewnętrzną i wewnętrzną. Dlatego objętość rury musi uwzględniać różnicę średnic.

$$V_{rura}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Jak już pewnie się domyślasz, d₁ i d₂ to odpowiednio zewnętrzna i wewnętrzna średnica rury. l to długość rury.

Użyjmy wzoru, aby obliczyć objętość betonowego pierścienia dla studni, którą zamierzamy wykopać na naszej działce letniskowej. Wysokość naszego pierścienia to 0,89 metra, średnica zewnętrzna to 1,16 metra, a średnica wewnętrzna to 1 metr.

Więc mamy następujące obliczenie:

$$Objętość=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ metry^3$$