Kalkulator Odległości

Poniższe kalkulatory mogą być używane do znajdowania odległości między dwoma punktami w przestrzeni dwuwymiarowej (płaszczyzna 2D) lub trójwymiarowej (przestrzeń 3D), a także do obliczania odległości między dwoma miejscami zdefiniowanymi za pomocą szerokości i długości geograficznej lub wskazanymi jako punkty na mapie świata. Na tej stronie znajdują się 3 kalkulatory:

• Kalkulator Odległości 2D
• Kalkulator Odległości 3D
• Kalkulator Odległości między Współrzędnymi

Kalkulator Odległości 2D może być również używany do określania równania linii oraz do znajdowania nachylenia i kąta linii łączącej dwa dane punkty.

Instrukcje użytkowania

Kalkulator Odległości 2D

Ten kalkulator znajduje odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie 2D: punktem 1 o współrzędnych (X₁, Y₁) i punktem 2 o współrzędnych (X₂, Y₂). Aby znaleźć odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie, wprowadź współrzędne obu punktów (X₁, Y₁, X₂, Y₂) do odpowiednich pól i naciśnij „Oblicz”.

Kalkulator zwróci końcowy wynik, szczegółowy algorytm rozwiązania oraz graficzną reprezentację punktów na płaszczyźnie współrzędnych. Dodatkowo, kalkulator znajdzie nachylenie i kąt linii łączącej dwa dane punkty oraz określi odpowiednie równanie linii.

Kalkulator Odległości 3D

Ten kalkulator znajduje odległość między dwoma punktami w przestrzeni 3D: punktem 1 o współrzędnych (X₁, Y₁, Z₁) i punktem 2 o współrzędnych (X₂, Y₂, Z₂). Aby obliczyć odległość między dwoma punktami w przestrzeni 3D, wprowadź współrzędne obu punktów (X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂) do odpowiednich pól i naciśnij „Oblicz”. Kalkulator zwróci końcowy wynik oraz szczegółowy algorytm rozwiązania. Aby wyczyścić wszystkie pola, naciśnij „Wyczyść”.

Kalkulator Odległości między Współrzędnymi - Odległość na Podstawie Szerokości i Długości Geograficznej

Użyj tego kalkulatora, aby znaleźć odległość między dwoma punktami na powierzchni Ziemi, jeśli znane są ich współrzędne (szerokość i długość geograficzna). Kalkulator znajduje odległość między punktem 1 o Szerokości 1 i Długości 1 oraz punktem 2 o Szerokości 2 i Długości 2, na podstawie założenia, że kształt Ziemi można przybliżać jako elipsoidę. Do obliczeń używane są wzory Lamberta.

Aby użyć tego kalkulatora, wprowadź podane wartości Szerokości 1, Długości 1, Szerokości 2 oraz Długości 2 do odpowiednich pól i naciśnij „Oblicz”. Kalkulator zwróci odległość między punktami w kilometrach i milach.

Wartości wejściowe

Współrzędne można wprowadzić w następujący sposób:

• Format stopień-minuta-sekunda, po którym następuje kierunek geograficzny z menu rozwijanego - N (północ) lub S (południe) dla Szerokości oraz E (wschód) lub W (zachód) dla Długości. Tutaj szerokości geograficzne powinny być reprezentowane przez wartości od -90 do 90, a długości geograficzne przez wartości od -180 do 180.
• Dziesiętnie bez kierunku geograficznego. Znak wartości wtedy reprezentuje kierunek: Szerokość jest dodatnia na północy (od równika), ujemna na południu, a Długość jest dodatnia na wschodzie (od Południka Greenwich) i ujemna na zachodzie. Również tutaj szerokości geograficzne powinny być reprezentowane przez wartości od -90 do 90, a długości geograficzne przez wartości od -180 do 180. Aby wyczyścić wszystkie pola, naciśnij „Wyczyść”.

Kalkulator Odległości między Dwoma Punktami na Mapie

Ten kalkulator również znajduje odległość między dwoma punktami na powierzchni Ziemi na podstawie założenia, że kształt Ziemi można przybliżać jako elipsoidę i używa do obliczeń wzorów Lamberta.

Aby użyć tego kalkulatora, wybierz dwa punkty na dostarczonej mapie. Kalkulator automatycznie określi (dziesiętne) współrzędne wybranych punktów i obliczy odległość w kilometrach i milach.

Wszystkie kalkulatory akceptują jako dane wejściowe liczby całkowite, dziesiętne i w notacji e.

Formuły

We wszystkich poniższych formułach odległość jest oznaczona jako d.

Formuła odległości 2D

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych (X₁, Y₁) i (X₂, Y₂) na dwuwymiarowej płaszczyźnie jest obliczana z pomocą twierdzenia Pitagorasa według następującej formuły:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²}$$

Formuła odległości 3D

Powyższą formułę można rozszerzyć na 3 wymiary, aby znaleźć odległość między punktem 1 o współrzędnych (X₁, Y₁, Z₁) i punktem 2 o współrzędnych (X₂, Y₂, Z₂) w następujący sposób:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²+(Z₂ - Z₁)²}$$

Obliczanie odległości na podstawie szerokości i długości geograficznej

W tej sekcji użyjemy następujących symboli: ϕ dla szerokości geograficznej i λ dla długości geograficznej. Punkt o Szerokości 1 i Długości 1 będzie opisany jako (ϕ1, λ1).

Aby obliczyć odległość między dwoma punktami na powierzchni Ziemi, musimy obliczyć odległość wzdłuż powierzchni Ziemi. Dlatego musimy wybrać przybliżenie dla kształtu powierzchni Ziemi. Istnieją trzy najczęstsze przybliżenia:

1. Płaska powierzchnia. To przybliżenie sprawdza się całkiem dobrze na krótkich dystansach. W tym przypadku można użyć formuły odległości 2D. Istnieje kilka dalszych przybliżeń, aby uwzględnić zmianę odległości między południkami podczas rzutowania powierzchni Ziemi na płaszczyznę.
2. Sferyczna powierzchnia. Formuła dla tego przybliżenia opiera się na założeniu, że powierzchnia Ziemi może być przybliżana jako sfera. Sferyczna trygonometria jest następnie używana do wyprowadzenia bardziej precyzyjnej formuły, która może być używana na znaczne odległości z dokładnością około 5%. Ta formuła nazywana jest wzorem na odległość wielkiego koła, lub wzorem haversine, ponieważ została wyprowadzona przy użyciu haversine – specjalnej funkcji trygonometrycznej. Haversine kąta θ jest zdefiniowane następująco: \$hav\ θ=\frac{(1-\cos⁡θ)}{2}\$. A wzór haversine na odległość między dwoma punktami o współrzędnych (ϕ₁, λ₁) i (ϕ₂, λ₂) wygląda tak:

$$d=2r\ \arcsin\sqrt{hav(φ₂-φ₁ )+(1-hav(φ₁-φ₂ )-hav(φ₁+φ₂ ))× hav(λ₂-λ₁)}$$

$$d=2r\ \arcsin\left( \sqrt{(sin²\left( \frac{φ₂-φ₁}{2} \right)⁡+cos⁡\ φ₁×cos⁡\ φ₂ × sin²\left( \frac{λ₂-λ₁}{2} \right)⁡}\right)$$

Gdzie r – to promień sfery poddanej badaniu (w naszym przypadku, średni promień Ziemi).

3. Powierzchnia elipsoidalna. To przybliżenie jest najbardziej precyzyjne, ponieważ rzeczywisty kształt Ziemi jest bliższy elipsoidy niż sfery. Najkrótsza linia (ścieżka) łącząca dwa punkty na powierzchni elipsoidy nazywana jest geodezyjną, a długość tej ścieżki jest obliczana przy użyciu wzorów Lamberta. Te wzory używają zredukowanych szerokości geograficznych β₁ i β₂ zamiast ϕ₁ i ϕ₂: tan β = (1 - f) × tan ϕ, gdzie f – to spłaszczenie. Odległość znajdowana jest następująco:

d = a (σ – f/2(X + Y))

Gdzie a – to równikowy promień elipsoidy (w naszym przypadku, Ziemi), σ – to centralny kąt między punktem 1 (β₁, λ₁) a punktem 2 (β₂, λ₂) w radianach. Ten kąt jest obliczany przy użyciu wzoru haversine opisanego powyżej, zakładając, że długości geograficzne są takie same na sferze i odpowiedniej elipsoidzie. X i Y są obliczane przy użyciu następujących wzorów:

$$X=(σ-\sin⁡σ)\frac{\sin²⁡P\ \cos²⁡Q}{\cos²\frac{σ}{2}⁡}$$

$$Y=(σ-\sin⁡σ)\frac{\cos²⁡P\ \sin²⁡Q}{\sin²\frac{σ}{2}⁡}$$

gdzie, P = (β₁ + β₂)/2 i Q = (β₂ – β₁)/2

Zastosowania w rzeczywistym życiu

Zazwyczaj, gdy mówimy o odległości, mamy na myśli odległość 2D lub 3D. Obejmuje to różne przykłady:

• Odległość między końcem kolejki a początkiem linii (dla kolejki ustawionej w prostej linii).
• Długość stoku, na którym jeździsz na nartach.
• Nawet odległość między słońcem a planetami układu słonecznego.

Odległość na podstawie szerokości i długości geograficznej, czyli odległość między punktami na mapie, jest bardzo często używana do obliczania trasy lotu samolotu podróżującego z punktu A do punktu B, ponieważ samolot lecący z jednego miejsca do drugiego porusza się wzdłuż elipsoidalnej powierzchni Ziemi – dokładnie takiej sytuacji, jaką opisują wzory Lamberta!