Kalkulator Permutacji

Kalkulator permutacji oblicza liczbę sposobów, w jakie można ułożyć n różnych obiektów, biorąc próbkę r elementów za każdym razem. Informuje nas o liczbie możliwych układów obiektów w grupach, gdzie ważna jest kolejność ułożenia. Całkowita liczba obiektów do ułożenia jest oznaczona przez n, podczas gdy liczba elementów w każdej grupie jest oznaczona przez r.

Na przykład, jeśli chcemy ułożyć litery XYZ w grupach po dwie litery, to będziemy mieli XY, XZ, YZ, YX, ZX i ZY: 6 sposobów.

Aby użyć tego kalkulatora, wpisz n, całkowitą liczbę obiektów do ułożenia w jakiejś kolejności, oraz wpisz r, liczbę elementów w każdej grupie, a następnie kliknij "Oblicz".

Permutacje

Permutacja zbioru to ułożenie jego elementów w sekwencji lub określonej kolejności. Jeśli zbiór jest już uporządkowany, jest to permutacja jego elementów. Dla permutacji ważna jest kolejność elementów. Na przykład, permutacje AB i BA to dwie różne permutacje. Liczba permutacji n obiektów w próbkach r obiektów jest oznaczona jako nPr.

Obliczanie liczby permutacji zależy od ułożonych obiektów. Zależy to także od tego, czy dozwolone są powtórzenia czy nie. O ile nie zaznaczono inaczej, zakładamy, że powtórzenia nie są dozwolone przy obliczaniu permutacji.

W tym artykule przyjrzymy się przykładom permutacji bez powtórzeń.

Permutacje podążają za fundamentalną zasadą liczenia. Stanowi ona, że jeśli eksperyment składa się z k wydarzeń, gdzie pierwsze wydarzenie występuje n₁ razy, drugie wydarzenie występuje n₂ razy. I tak dalej, aż do wydarzenia występującego nₖ razy. Liczba sposobów, w jakie eksperyment może wystąpić sekwencyjnie, jest dana przez iloczyn liczby wystąpień poszczególnych zdarzeń, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Załóżmy, że chcemy poznać liczbę możliwych układów liter ABC bez powtórzeń w permutacjach. Każda z liter może wystąpić jako pierwsza, więc są 3 sposoby ustawienia pierwszej litery.

Po ustawieniu pierwszej litery pozostają dwie litery, i każda z tych dwóch liter może być ustawiona jako druga litera, więc są dwa sposoby ustawienia drugiej litery. Po ustawieniu drugiej litery pozostanie tylko jedna litera. Zatem jest tylko jeden sposób ustawienia trzeciej litery.

Zatem, zgodnie z zasadą fundamentalnego liczenia, istnieje 3 × 2 × 1 = 6 sposobów ułożenia liter ABC. Są to ABC, ACB, BCA, BAC, CAB i CBA.

Silnia

Powyżej ustaliliśmy, że liczba permutacji 3 różnych obiektów wynosi 3 × 2 × 1 = 6. Ogólnie rzecz biorąc, liczba permutacji n obiektów (łącznie) jest dana przez n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Jest to mnożenie wszystkich liczb całkowitych od n do 1. Mnożenie wszystkich liczb całkowitych od liczby całkowitej, powiedzmy n, do 1 nazywa się silnią i jest oznaczone przez ! (wykrzyknik).

Zatem n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, i nazywa się to n silnia.

Zauważ, że 0! = 1 oraz 1! = 1.

Przykład Permutacji

Standardowy tor do biegów na Igrzyskach Olimpijskich zazwyczaj ma 9 torów. Jednakże, w biegu na 100 metrów, tor 1 zazwyczaj nie jest używany. 8 biegaczy jest umieszczonych na torach od 2 do 9 w rzędzie. Na ile możliwych sposobów można ustawić 8 biegaczy na torach od 2 do 9?

Według fundamentalnej zasady liczenia:

• którykolwiek z 8 biegaczy otrzymuje tor 2,
• którykolwiek z pozostałych 7 biegaczy może otrzymać tor 3,
• którykolwiek z pozostałych 6 biegaczy może otrzymać tor 4,
• którykolwiek z pozostałych 5 biegaczy może otrzymać tor 5,
• którykolwiek z pozostałych 4 biegaczy może otrzymać tor 6,
• którykolwiek z pozostałych 3 biegaczy może otrzymać tor 7,
• którykolwiek z pozostałych 2 biegaczy może otrzymać tor 8,
• ostatni pozostały biegacz otrzymuje tor 9.

Dlatego całkowita liczba możliwych permutacji 8 biegaczy, którzy mogą być ustawieni na 8 torach, wynosi 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40 320 sposobów.

W kalkulatorze permutacji wprowadź 8 zarówno w polu n (obiekty), jak i r (próbka) i kliknij „Oblicz”, aby uzyskać 40 320.

Permutacja Podzbiorów

W poprzednich przykładach patrzyliśmy na permutacje obiektów, gdy wszystkie obiekty są brane pod uwagę w układach. Jednak istnieją sytuacje, gdy obiekty są ułożone w mniejsze grupy.

W tych przypadkach całkowita liczba obiektów jest oznaczona przez n, liczba obiektów w grupach (próbka) jest oznaczona przez r, a wzór daje liczbę permutacji:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Ta formuła jest używana do obliczania permutacji bez powtórzeń. I jeśli musimy zorganizować w pewnym porządku próbkę r pobraną z zestawu n.

Jeśli obliczymy liczbę wyborów, z którymi możemy ułożyć wszystkie elementy zestawu w pewnym porządku i bez powtórzeń, możemy użyć następującej formuły:

$$ₙPᵣ=n!$$

Przykład

W powyższym przykładzie patrzyliśmy na liczbę możliwych sposobów ustawienia wszystkich ośmiu biegaczy w biegu na 100 metrów. Teraz, w tym samym biegu, do zdobycia są trzy medale. Pierwsze miejsce w wyścigu wygrywa medal złoty, a biegacze na drugim i trzecim miejscu wygrywają odpowiednio srebrny i brązowy medal. Spośród 8 biegaczy w wyścigu, na ile możliwych sposobów możemy wyłonić zdobywców złotego, srebrnego i brązowego medalu?

Według fundamentalnej zasady liczenia, którykolwiek z 8 biegaczy może zająć pierwszą pozycję. Po zajęciu pierwszej pozycji pozostanie siedmiu biegaczy, którzy będą rywalizować o drugą pozycję. A po drugiej pozycji, sześciu biegaczy będzie rywalizować o trzecią pozycję. Dlatego całkowita liczba możliwych permutacji od pierwszej do trzeciej pozycji spośród 8 biegaczy wynosi: 8 × 7 × 6 = 336

Używamy wzoru:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

I otrzymujemy

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×...×1}{5×4×...×1}=8×7×6=336$$

I w kalkulatorze permutacji wprowadź 8 w polu n (obiekty) i 3 w polu r (próbka) i kliknij na „Oblicz”, aby uzyskać 336.

Permutacje i Kombinacje: Różnica

Inną istotną techniką liczenia są kombinacje. Kombinacje to różne sposoby wyboru mniejszej liczby obiektów (próbki), r, z większej liczby obiektów, n. Liczba kombinacji r obiektów z n obiektów jest oznaczona po prostu jako ₙCᵣ.

W definicji permutacji wspomnieliśmy, że ważna jest kolejność lub układ. Otóż to jest różnica między permutacjami a kombinacjami, ponieważ w kombinacjach kolejność nie jest ważna.

Na przykład, stwierdziliśmy, że permutacje liter XYZ w grupach po dwie litery każda będą następujące: XY, XZ, YZ, YX, ZX i ZY. Otrzymujemy więc sześć permutacji.

Jednakże kombinacje liter XYZ w grupach po dwie litery każda to XY, XZ i YZ; trzy kombinacje. Wynika to z faktu, że w kombinacjach XY i YX są uważane za te same kombinacje; podobnie XZ i ZX oraz YZ i ZY. Dlatego kolejność układu nie ma znaczenia przy obliczaniu kombinacji.

Wzór daje liczbę kombinacji r obiektów z n obiektów:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Przykład Obliczania Kombinacji

W powyższym przykładzie z biegaczami otrzymaliśmy liczbę sposobów wyboru pierwszej, drugiej i trzeciej pozycji z grupy 8 biegaczy. Załóżmy, że chcemy poznać liczbę sposobów, w jakie można wybrać 3 medalistów z grupy 8 biegaczy, nie biorąc pod uwagę ich pozycji. Nie ma znaczenia, czy osoba przybiegnie pierwsza, druga czy trzecia, byleby biegacz zdobył medal.

W tym przypadku używane są kombinacje, ponieważ kolejność medali jest nieważna. Rozwiązujemy to więc, używając wzoru na kombinacje.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Liczba sposobów wybrania 3 medalistów z 8 biegaczy jest dana przez:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Przykłady obliczania permutacji

1. Producent programu informacyjnego może wybrać 3 z 5 gości na swój program analityczny. Ważna jest kolejność wystąpień gości. Na ile różnych sposobów producent może zorganizować prezentacje gości? Kolejność jest ważna, a powtórzenia nie będą używane, ponieważ ten sam gość nie może pojawić się dwa razy w tym samym programie informacyjnym. Dlatego możemy użyć wzoru na permutacje.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

W ten sposób widzimy, że producent ma 60 sposobów na zorganizowanie prezentacji gości.

2. Krytyk restauracyjny wybrał 10 dobrych lokali w mieście serwujących sushi, aby ocenić trzy najlepsze restauracje sushi. Lokale muszą być przedstawione w kolejności, która pokazuje ich miejsce w rankingu. Także to samo miejsce nie może pojawić się w rankingu kilka razy. Spełniamy więc wymagania wzoru na permutacje - kolejność jest ważna i nie powinno być powtórzeń. Używamy wzoru na permutacje:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Gdy mówimy, że kolejność jest ważna dla permutacji, nie oznacza to, że kolejność musi być numeryczna od 1 do, powiedzmy, 10 lub innego numeru. Kolejność może być uformowana przez pewne obiekty, pomiędzy którymi rozdzielamy nasze elementy zestawu.

Na przykład, weźmy menedżera firmy zajmującej się remontami domów. Ma dziś cztery zlecenia na malowanie pokoi. Są to biuro agencji wizowej, magazyn w fabryce, sklep odzieżowy i pokój w prywatnym domu. Firma ma sześciu malarzy. Każdy z nich może iść do jednej placówki w ciągu jednego dnia. Pozostałym dwóm malarzom przysługuje wolny dzień.

Te obiekty to biuro agencji wizowej, magazyn w fabryce, sklep odzieżowy i pokój w prywatnym domu, które są analogami pozycji 1, 2, 3 i 4.

Menedżer będzie miał:

• 6 kandydatów, którzy mogą być przypisani do biura,
• 5 pozostałych kandydatów do przypisania do magazynu,
• 4 pozostałych kandydatów do wysłania do sklepu,
• 3 pozostałych kandydatów, którzy mogą być przypisani do pokoju w prywatnym domu.

Więc intuicyjnie możemy opisać liczbę wyborów jako 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Dostajemy warunek, że ważna dla nas jest kolejność, w jakiej malarze są rozdzielani pomiędzy obiekty. Nie jest dozwolone powtarzanie, czyli malarz pracujący na więcej niż jednym obiekcie tego samego dnia. Więc możemy zastosować wzór na permutacje, którego już użyliśmy.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Okazuje się, że istnieje 360 różnych sposobów, w jakie menedżer firmy remontowej może rozdzielić zlecenia między dostępnych malarzy w danych warunkach.