Kalkulator pierwiastka sześciennego

Ten kalkulator może być używany do znajdowania wszystkich pierwiastków sześciennych danej liczby. Znajduje zarówno pierwiastki rzeczywiste, jak i urojone.

Instrukcja użytkowania

Aby znaleźć pierwiastek sześcienny liczby, wprowadź tę liczbę do pola wejściowego i naciśnij "Oblicz". Kalkulator pokaże odpowiedź w dwóch częściach: "główny (rzeczywisty) pierwiastek" oraz "wszystkie pierwiastki", gdzie "wszystkie pierwiastki" obejmują główny pierwiastek i pierwiastki urojone.

Kalkulator akceptuje dodatnie i ujemne liczby całkowite jako dane wejściowe. Ułamki i liczby urojone nie są akceptowane. Należy zauważyć, że jeśli użyjesz ułamka lub liczby urojonej jako dane wejściowe, ten kalkulator pierwiastków sześciennych automatycznie zignoruje wszystko po pierwszym nie-numerycznym symbolu. Na przykład, jeśli wprowadzisz 8/15, kalkulator obliczy pierwiastek sześcienny z 8; jeśli wprowadzisz 5 + 3i, obliczony zostanie pierwiastek sześcienny z 5.

Definicja pierwiastka sześciennego

Pierwiastek sześcienny liczby jest zdefiniowany jako liczba, która musi być pomnożona trzy razy, aby uzyskać pierwotną liczbę. Pierwiastek sześcienny z x jest powszechnie oznaczany jako ∛x. Zgodnie z definicją, y jest pierwiastkiem sześciennym x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

jeśli

$$y \times y \times y = x$$

Pobranie pierwiastka sześciennego z liczby, ∛x, jest równoważne podniesieniu tej liczby do potęgi 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Operacja pierwiastka sześciennego jest odwrotnością znajdowania operacji sześciennej. Aby znaleźć sześcian liczby, tę liczbę należy pomnożyć 3 razy:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

I odwrotnie,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Doskonałe Sześciany

Doskonały sześcian to liczba, której pierwiastek sześcienny jest liczbą całkowitą. Na przykład, 8 jest doskonałym sześcianem, ponieważ:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Ponieważ liczby całkowite są liczbami całymi, które mogą być dodatnie i ujemne, doskonałe sześciany mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne. Na przykład, -8 jest doskonałym sześcianem, ponieważ:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 jest również liczbą całkowitą i

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Zatem, 0 jest również doskonałym sześcianem.

Z drugiej strony, 4 nie jest doskonałym sześcianem, ponieważ rzeczywisty pierwiastek sześcienny z 4:

∛4 ≈ 1,58740105

co nie jest liczbą całkowitą.

Właściwości pierwiastka sześciennego

Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest zdefiniowany jako liczba przeciwna do pierwiastka sześciennego z liczby dodatniej, tj.

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Na przykład,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Własność mnożenia pierwiastków sześciennych:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Jak obliczyć pierwiastek sześcienny

Obliczanie rzeczywistego pierwiastka sześciennego doskonałego sześcianu

Aby znaleźć pierwiastek sześcienny liczby, użyj metody rozkładu na czynniki pierwsze:

1. Znajdź czynniki pierwsze liczby.
2. Podziel czynniki pierwsze na grupy zawierające trzy takie same czynniki.
3. Weź jeden czynnik z każdej grupy i pomnóż je, aby uzyskać ostateczną odpowiedź.

Na przykład, znajdźmy wszystkie rzeczywiste pierwiastki sześcienne z 3375, ∛3375:

1. Znajdując czynniki pierwsze 3375, otrzymujemy 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Dzieląc je na grupy po trzy takie same czynniki, otrzymujemy 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5).
3. Wreszcie, biorąc jeden czynnik z każdej grupy i mnożąc je, otrzymujemy 3 × 5 = 15.

Zatem, ∛3375 = 15.

Jeśli czynniki pierwsze liczby nie tworzą grup po trzy, liczba nie jest doskonałym sześcianem i nie możemy użyć tej metody do znalezienia pierwiastka sześciennego.

Obliczanie rzeczywistego pierwiastka sześciennego liczby większej niż -1 i mniejszej niż 1 (z wyłączeniem 0)

Jeśli dana liczba jest większa niż -1 i mniejsza niż 1, nie może być doskonałym sześcianem, ponieważ z definicji, doskonały sześcian to liczba, której pierwiastek sześcienny jest liczbą całkowitą. Każda liczba y z przedziału -1 < y < 1, która nie jest 0, nie może być doskonałym sześcianem. Jednak czasami znalezienie rzeczywistego pierwiastka sześciennego takiej liczby może być stosunkowo łatwe.

Na przykład, znajdźmy wszystkie rzeczywiste pierwiastki sześcienne z -0,000125. Ta liczba nie jest liczbą całkowitą. Dlatego nie możemy użyć opisanej powyżej metody rozkładu na czynniki pierwsze.

Ale łatwo zauważyć, że -0,000125 = -125 × 10⁻⁶. Zatem,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Stosując własność mnożenia pierwiastków sześciennych, otrzymujemy:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Przekształcając pierwiastek sześcienny liczby ujemnej jako liczbę przeciwną do pierwiastka sześciennego liczby dodatniej, otrzymujemy:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Łatwo zauważyć, że 125 = 5 × 5 × 5, a 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻². Zatem,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

i

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Ostatecznie otrzymujemy:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Przykłady z życia codziennego

Pierwiastki sześcienne są wykorzystywane w życiu codziennym do obliczania długości boku każdego obiektu sześciennego. Na przykład, jeśli znasz objętość pudełka i chcesz dowiedzieć się, jakie jest jego wysokość, sprawdź, czy zmieści się gdzieś. Albo, jeśli musisz oszacować ilość farby, której potrzebujesz, aby pomalować ściany sześciennej sali. Lub, jeśli musisz policzyć liczbę płytek, których potrzebujesz do pokrycia podłogi w sześciennym pomieszczeniu o znanej objętości.

Sześcienna objętość drewna

Wyobraź sobie, że budujesz dom i znajdujesz ogłoszenie o sprzedaży 64 metrów sześciennych drewna. Jakie wymiary miałby ten wolumen drewna pod względem długości, szerokości i wysokości?

Aby rozwiązać ten problem, musisz znaleźć pierwiastek sześcienny z 64. Długość boku wyimaginowanego sześcianu, który pomógłby Ci opisać tę objętość, wynosiłaby ∛64 = 4. Zatem, z pierwotnych danych o sześciennej objętości drewna, mamy inne wyobrażenie o wielkości takiego wolumenu.