Kalkulator Prawdopodobieństwa

Kalkulator Prawdopodobieństwa Dwóch Zdarzeń

Gdy znasz prawdopodobieństwo dwóch niezależnych zdarzeń, możesz użyć Kalkulatora Prawdopodobieństwa Dwóch Zdarzeń, aby określić prawdopodobieństwo ich wspólnego wystąpienia. Musisz wprowadzić prawdopodobieństwa dwóch niezależnych zdarzeń jako prawdopodobieństwo a i b w kalkulatorze. Następnie kalkulator pokaże sumę, przecięcie oraz inne powiązane prawdopodobieństwa tych dwóch niezależnych zdarzeń wraz z diagramami Venna.

Rozwiązywanie Prawdopodobieństwa dla Dwóch Zdarzeń

Możesz obliczyć prawdopodobieństwo różnych zdarzeń dwóch niezależnych zdarzeń, jeśli znasz dwie wartości wejściowe Kalkulatora Rozwiązywania Prawdopodobieństwa dla Dwóch Zdarzeń. Jest to ważne, gdy nie masz jednego lub obu prawdopodobieństw dwóch zdarzeń. Wyniki pokażą odpowiedź wraz z etapami obliczeń.

Prawdopodobieństwo Serii Niezależnych Zdarzeń

Możesz użyć Kalkulatora Prawdopodobieństwa Serii Niezależnych Zdarzeń, aby określić prawdopodobieństwo, kiedy każdy eksperyment zawiera dwa niezależne zdarzenia występujące po sobie. W tym kalkulatorze musisz ustawić liczbę wystąpień zdarzenia.

Prawdopodobieństwo Rozkładu Normalnego

Kalkulator prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest pomocny przy określaniu prawdopodobieństwa krzywej normalnej. Musisz wprowadzić średnią μ, odchylenie standardowe σ i granice. Kalkulator prawdopodobieństwa normalnego wygeneruje prawdopodobieństwo dla ustalonych granic oraz interwały ufności dla różnych poziomów ufności.

Wprowadzenie do Prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo to szansa, że zdarzenie się wydarzy. Gdy zdarzenie na pewno się wydarzy, jego prawdopodobieństwo wynosi 1. Gdy zdarzenie na pewno się nie wydarzy, jego prawdopodobieństwo wynosi 0. W związku z tym prawdopodobieństwo danego zdarzenia zawsze mieści się między 0 a 1. Kalkulator prawdopodobieństwa ułatwia obliczanie prawdopodobieństw dla różnych zdarzeń.

Zasady operacji na zdarzeniach

Dowolne grupowanie wyników eksperymentu określa się jako zdarzenie. Zdarzenie to może być dowolnym podzbiorem przestrzeni próbkowej. Uzupełnienie, przecięcie i suma to zasady operacji na zdarzeniach. Poznajmy każdą z tych zasad na poniższym przykładzie.

Przykład

Twój uniwersytet ma różne wydziały, w tym wydział biznesu. W uczelni tej są również zapisani studenci międzynarodowi. Musisz przeprowadzić wywiady ze studentami swojej uczelni w ramach projektu. Wybierasz, że zaczniesz od pierwszego studenta, który przejdzie przez bramę. Znane są Ci następujące prawdopodobieństwa. Załóżmy, że:

A = Pierwszy student pochodzi z Wydziału Biznesu.

B = Pierwszy student jest studentem międzynarodowym.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Uzupełnienie Zdarzenia

Uzupełnienie zdarzenia to zbiór wszystkich wyników w przestrzeni próbkowej, które nie są zawarte w danym zdarzeniu.

Na przykład, uzupełnienie zdarzenia A oznacza, że pierwszy student pochodzi z innego wydziału niż wydział biznesu. Można to oznaczyć jako \$A\prime\$ lub Aᶜ.

Pokażmy uzupełnienie zdarzenia A na diagramie Venna.

Na powyższym diagramie Venna, kolorowa powierzchnia reprezentuje uzupełnienie zdarzenia A.

Całkowita powierzchnia prostokąta reprezentuje całkowite prawdopodobieństwo przestrzeni próbkowej. Jest ono dokładnie równe jeden. Obszar poza kołem A pokazuje prawdopodobieństwo uzupełnienia zdarzenia A. Diagram Venna pozwala nam ustalić następującą zależność:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Zatem,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Znajdźmy następujące prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo, że pierwszy student wybrany na wywiad nie pochodzi z wydziału biznesu:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

Prawdopodobieństwo, że pierwszy student wybrany na wywiad nie jest studentem międzynarodowym:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Przecięcie Zdarzeń

Przecięcie dwóch zdarzeń A i B to lista wszystkich wspólnych elementów w obu zdarzeniach A i B. Słowo "AND" jest często używane do wskazania przecięcia dwóch zbiorów.

Przecięcie zdarzeń A i B w przykładzie 1 oznacza wybranie studenta międzynarodowego, który jest z wydziału biznesu. Można to oznaczyć następująco:

$$A\cap B$$

Pokażmy przecięcie zdarzeń A i B na diagramie Venna.

Na powyższym diagramie Venna, kolorowa powierzchnia reprezentuje przecięcie zdarzeń A i B.

Załóżmy, że zdarzenie wyboru lokalnego studenta na wywiad to C. Teraz pokażemy zdarzenia A i C na diagramie Venna.

Wybranie studenta międzynarodowego i lokalnego jednocześnie nie jest możliwe. Zakładając, że pierwszy wybrany student jest studentem międzynarodowym, wyklucza to zdarzenie, że pierwszy student jest studentem lokalnym. Dlatego zdarzenia A i C są zdarzeniami wzajemnie wykluczającymi się.

Zdarzenia wzajemnie wykluczające się nie mają żadnych wspólnych elementów między sobą. Dlatego przecięcie dwóch wzajemnie wykluczających się zdarzeń jest puste.

$$A\cap C=φ$$

Prawdopodobieństwo przecięcia zdarzeń można obliczyć różnymi metodami. Zdarzenia A i B można zapisać w następujący sposób.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Zdarzenia Niezależne

Zdarzenia niezależne to takie zdarzenia, które nie mają na siebie wpływu. W naszym przykładzie, wybranie studenta z wydziału biznesowego nie wpływa na to, czy student jest międzynarodowy, czy nie. Dlatego możemy powiedzieć, że zdarzenie A i zdarzenie B to dwa niezależne zdarzenia.

Gdy zdarzenia są niezależne, prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z nich nie zależy od drugiego. Dlatego,

$$P(B/A)=B\ i\ P(A/B)=A$$

Możesz użyć tych wzorów, aby zmodyfikować wzór, który wcześniej poznaliśmy, aby określić prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Dlatego możesz znaleźć przecięcie dwóch niezależnych zdarzeń, mnożąc prawdopodobieństwo tych dwóch zdarzeń.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Biorąc pod uwagę, że zdarzenia A i B są niezależne, ustalmy prawdopodobieństwo, że pierwszy student wybrany na wywiad będzie z wydziału biznesowego i będzie studentem międzynarodowym.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Suma Zdarzeń

Suma dwóch zdarzeń tworzy inne zdarzenie, które zawiera wszystkie elementy z jednego lub obu zdarzeń. Słowo "LUB" jest zwykle używane do opisania sumy dwóch zdarzeń.

W Przykładzie 1, suma zdarzeń A i B oznacza wybór studenta międzynarodowego lub studenta z wydziału biznesowego. Możemy to zapisać w następujący sposób.

$$A\cup B$$

Pokażmy sumę zdarzeń A i B na diagramie Venna.

Na powyższym diagramie Venna kolorowa powierzchnia reprezentuje sumę zdarzeń A i B.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A lub zdarzenia B, musimy dodać prawdopodobieństwa obu zdarzeń i odjąć prawdopodobieństwo przecięcia.

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B można zapisać w następujący sposób.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Możemy zmodyfikować powyższy wzór i stworzyć nowy wzór, aby znaleźć prawdopodobieństwo sumy dwóch niezależnych zdarzeń, gdy prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń jest nieznane i oba zdarzenia są niezależne.

Jeśli zdarzenia są niezależne,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Dlatego,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Obliczmy, jakie będzie prawdopodobieństwo połączenia zdarzeń A i B, czyli z jakim prawdopodobieństwem wybierzemy studenta, który jest studentem biznesu, studentem międzynarodowym lub obojgiem jednocześnie?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Dzięki Kalkulatorowi Prawdopodobieństwa Dwóch Zdarzeń lub Rozwiązywaczowi Prawdopodobieństwa Dwóch Zdarzeń, możesz szybko wykonać wszystkie powyższe obliczenia. Możesz użyć Rozwiązywacza Prawdopodobieństwa Dwóch Zdarzeń, nawet jeśli chcesz sprawdzić swoje kroki obliczeniowe prawdopodobieństwa, ponieważ również wyświetla kroki obliczeń.

Rozkład Normalny

Rozkład normalny jest symetryczny i ma kształt dzwonu. Rozkład normalny ma identyczną średnią, medianę i modę, a także 50% danych powyżej średniej i 50% poniżej średniej. Krzywa rozkładu normalnego oddala się od średniej w obu kierunkach, ale nigdy nie dotyka osi X. Całkowita powierzchnia pod krzywą wynosi 1.

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami μ i σ², piszemy X ~ N(μ, σ²).

Prawdopodobieństwo Rozkładu Normalnego

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego przedstawiona jest poniżej:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

W tej funkcji:

• μ to średnia rozkładu;
• σ² to wariancja rozkładu;
• π wynosi 3,14;
• e wynosi 2,7182.

Nie jest możliwe dostarczenie tabeli prawdopodobieństwa dla każdej kombinacji średniej i odchylenia standardowego, ponieważ istnieje nieskończona liczba różnych krzywych normalnych. W związku z tym wykorzystywany jest standardowy rozkład normalny. Rozkład normalny ze średnią równą 0 i odchyleniem standardowym równym 1 nazywany jest standardowym rozkładem normalnym.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo rozkładu normalnego, musimy najpierw przekształcić rzeczywisty rozkład w standardowy rozkład normalny za pomocą punktacji z, a następnie użyć tabeli z do obliczenia prawdopodobieństwa. Kalkulator prawdopodobieństwa normalnego działa jako standardowy kalkulator prawdopodobieństwa normalnego, oferując prawdopodobieństwa dla różnych poziomów ufności.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Krzywa standardowego rozkładu normalnego może być wykorzystywana do rozwiązywania różnych problemów w rzeczywistym świecie. Do określenia prawdopodobieństwa zmiennych ciągłych wykorzystywany jest rozkład normalny. Zmienna ciągła to zmienna, która może przyjmować dowolną liczbę wartości, nawet dziesiętną. Kilka przykładów zmiennych ciągłych to wzrost, waga i temperatura.

Dowiedzmy się, jak znaleźć prawdopodobieństwo rozkładu normalnego, korzystając z poniższego przykładu.

Przykład

Wyniki kursu statystyki Twojej grupy są rozłożone normalnie, ze średnią 65 i odchyleniem standardowym 10. Określ prawdopodobieństwo następujących scenariuszy, jeśli student zostanie wybrany losowo:

• wynik studenta jest równy lub wyższy niż 70,
• wynik studenta jest mniejszy niż 70,
• wynik studenta znajduje się w przedziale od 50 do 70.

Rozwiązanie

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Obliczenie prawdopodobieństwa krzywej normalnej wymaga licznych kroków i korzystania z tabeli z. Z drugiej strony, kalkulator prawdopodobieństwa rozkładu normalnego pomaga obliczyć prawdopodobieństwo poprzez wprowadzenie czterech liczb do kalkulatora. Aby użyć kalkulatora rozkładu normalnego, wystarczy wprowadzić średnią, odchylenie standardowe oraz lewą i prawą granicę.