Kalkulator Rozkładu na Czynniki Pierwsze

Ten kalkulator online znajduje wszystkie czynniki pierwsze podanej liczby. Kalkulator prezentuje czynniki pierwsze w formie ogólnej, a także w formie wykładniczej oraz w formacie CSV. Dodatkowo, kalkulator ten może stworzyć drzewo czynników pierwszych i znaleźć wszystkie (nie tylko pierwsze) czynniki danej liczby.

Instrukcje użytkowania

Aby użyć tego kalkulatora do znalezienia czynników pierwszych liczby, wprowadź daną liczbę i naciśnij "Oblicz". Kalkulator zwróci czynniki pierwsze liczby w formie ogólnej, w formie wykładniczej oraz jako listę w formacie CSV.

Masz również opcję utworzenia drzewa rozkładu na czynniki oraz możliwość znalezienia wszystkich czynników danej liczby. Oba te opcje można wybrać, zaznaczając odpowiednie pole.

Ograniczenia dotyczące wartości wejściowych

• Wartości wejściowe powinny być liczbami całkowitymi; ułamki dziesiętne i ułamki zwykłe nie są akceptowane.
• Jako wartości wejściowe mogą być używane tylko dodatnie liczby całkowite większe niż 1.
• Długość liczby nie może przekroczyć 13 cyfr (bez przecinków oddzielających tysiące), tj. wartość liczby wejściowej powinna być mniejsza niż 10 000 000 000 000 lub 10000000000000. Maksymalna wartość wejściowa to zatem 9 999 999 999 999 lub 9999999999999.

Liczby pierwsze i liczby złożone

Liczba pierwsza to liczba całkowita większa niż 1, która nie może być dalej podzielona na inne liczby całkowite. Innymi słowy, liczba pierwsza to liczba całkowita większa niż 1, która nie może być otrzymana przez mnożenie innych liczb całkowitych. Najmniejsze liczby pierwsze to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … (Zauważ, że tylko jedna liczba pierwsza jest parzysta – 2, wszystkie inne liczby pierwsze są nieparzyste).

N-tą liczbę pierwszą na powyższej liście można oznaczyć jako Prime[n]. W takim przypadku Prime[1] = 2, Prime[2] = 3, Prime[3] = 5 i tak dalej. Ten kalkulator online pokaże indeks n każdej zidentyfikowanej liczby pierwszej do n = 5000.

Liczba złożona to liczba całkowita większa niż 1, którą można otrzymać przez mnożenie innych liczb całkowitych. Na przykład, 6 jest liczbą złożoną, ponieważ 6 = 3 × 2. 12 jest liczbą złożoną, ponieważ 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

Rozkład na czynniki

Liczby, które mnożysz, aby uzyskać inną liczbę całkowitą, nazywane są czynnikami. Jak wyżej pokazano, 3 i 2 są czynnikami 6. Ponieważ 6 można również uzyskać poprzez mnożenie 1 i 6: 6 = 1 × 6, 1 i 6 są również czynnikami 6. W końcu wszystkie czynniki 6 to 1, 2, 3 i 6.

Jedynymi czynnikami każdej liczby pierwszej są 1 i sama liczba. Na przykład, czynniki 17 to 1 i 17.

Rozkład na czynniki pierwsze to proces znajdowania wszystkich liczb pierwszych, które mogą być pomnożone, aby uzyskać daną liczbę. Zauważ, że rozkład na czynniki pierwsze liczby różni się od znalezienia wszystkich czynników tej liczby.

Na przykład, wszystkie czynniki 12 to 1, 2, 3, 4, 6, 12. Te czynniki są zapisane jako lista.

Podczas gdy rozkład na czynniki pierwsze 12 wygląda tak: 12 = 2 × 2 × 3. W rozkładzie na czynniki pierwsze otrzymujemy wyniki tylko w formie liczb pierwszych.

Algorytm rozkładu na czynniki pierwsze

Dzielenie próbne

Spójrzmy na najbardziej intuicyjną metodę rozkładu na czynniki pierwsze, czasami nazywaną metodą dzielenia próbnego, na przykładzie i zidentyfikujmy czynniki pierwsze liczby 36. Ponieważ znamy wszystkie liczby pierwsze, możemy sprawdzić, czy dana liczba jest podzielna przez którąkolwiek z nich. Najłatwiej jest zacząć od najmniejszej liczby pierwszej, która wynosi 2:

36 ÷ 2 = 18

Wynik tego dzielenia jest liczbą całkowitą. Dlatego 2 jest jednym z czynników pierwszych liczby 36. Ale 18 nie jest jeszcze liczbą pierwszą, więc kontynuujemy i sprawdzamy, czy 18 jest podzielne przez 2:

18 ÷ 2 = 9

9 jest również liczbą całkowitą. Dlatego 18 jest podzielne przez 2.

Spróbujmy ponownie: 9 ÷ 2 = 4,5. To nie jest liczba całkowita. Dlatego 9 nie jest podzielne przez 2.

Spróbujmy następnej liczby pierwszej, 3. 9 ÷ 3 = 3. To liczba całkowita, więc się udało! Co więcej, 3 jest już liczbą pierwszą, co oznacza, że osiągnęliśmy ostatni krok procesu! Teraz wystarczy zapisać ostateczną odpowiedź:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

To ogólny sposób zapisywania rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Można to również zapisać za pomocą wykładników w następujący sposób:

36 = 2² × 3²

Drzewo Czynników Pierwszych

Proces rozkładu na czynniki pierwsze można również zilustrować jako "drzewo". Drzewo czynników pierwszych dla liczby 36 będzie wyglądało tak:

Dzielenie próbne (wszystkie czynniki)

Czasami proces rozkładu na czynniki pierwsze staje się łatwiejszy, jeśli najpierw wyrazimy liczbę jako iloczyn dwóch innych (nie będących liczbami pierwszymi) liczb, a następnie zidentyfikujemy ich czynniki pierwsze. Na przykład, znajdźmy czynniki pierwsze liczby 48. Łatwiej jest zacząć od 48 = 6 × 8, ponieważ prawdopodobnie wiesz to na pamięć. Następnie musimy znaleźć czynniki pierwsze liczby 6: 6 = 2 × 3 oraz 8: 8 = 2 × 2 × 2. Ostatecznie 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki

Każdą dodatnią liczbę całkowitą większą niż 1 można utworzyć z unikalnego zestawu czynników pierwszych. To twierdzenie czasami nazywane jest Twierdzeniem o Rozkładzie na Czynniki Pierwsze.

Zastosowania w życiu codziennym

Liczby pierwsze są wykorzystywane w kryptografii i cyberbezpieczeństwie do szyfrowania i deszyfrowania wiadomości. Wiemy już, że każdą liczbę można przedstawić jako iloczyn zestawu liczb pierwszych i że ten zestaw jest unikalny. To właśnie ta cecha liczb pierwszych sprawia, że są one tak wygodne do szyfrowania.

Co więcej, znajdowanie czynników pierwszych bardzo dużych liczb pozostaje zadaniem bardzo czasochłonnym, nawet dla nowoczesnych komputerów. Dlatego też kalkulator na tej stronie nie może pracować z nieskończenie dużymi liczbami.

Podstawowa zasada używania liczb pierwszych do szyfrowania polega na tym, że stosunkowo łatwo jest wziąć dwie duże liczby pierwsze i pomnożyć je, aby stworzyć znacznie większą liczbę złożoną. Jednak rozkładanie tej końcowej liczby z powrotem na pierwotne liczby pierwsze jest niesamowicie trudne.

Wyobraź sobie, że bierzesz dwie 10-cyfrowe liczby pierwsze i mnożysz je, aby uzyskać liczbę o jeszcze większej liczbie cyfr. Teraz wyobraź sobie proces rozkładu tej liczby na czynniki pierwsze metodą dzielenia próbnego...

Jest to proces tak długi, że obecnie żaden komputer nie może znaleźć dwóch początkowych liczb pierwszych w danym problemie w rozsądnym czasie. Ale ta sytuacja może ulec zmianie w przyszłości wraz z rozwojem komputerów kwantowych.