Kalkulator rozmiaru próbki

Kalkulator rozmiaru próbki składa się z dwóch części. Pierwsza służy do obliczania rozmiaru próbki, a druga do ustalania błędu granicznego.

Pierwszym krokiem w ustalaniu rozmiaru próbki jest wybranie poziomu ufności z rozwijanej listy. Następnie wprowadź względny błąd graniczny. Możesz przekształcić błąd graniczny z wartości bezwzględnej na względną, dzieląc wartość bezwzględną przez szacowany punkt.

Następnie, jeśli znasz proporcję populacji, wprowadź ją. W przeciwnym razie pozostaw ją na poziomie 50%. W ostatniej komórce wpisz wielkość populacji, jeśli ją znasz; w przeciwnym razie pozostaw ją pustą. Na końcu kliknij "Oblicz".

Użyj drugiej części kalkulatora, aby uzyskać błąd graniczny. Jako pierwszy krok wybierz poziom ufności z rozwijanego menu. W drugiej komórce wprowadź wielkość próbki badania. Następnie wprowadź proporcję populacji. W ostatniej komórce wpisz wielkość populacji. Jeśli nie znasz wielkości populacji, zostaw tę komórkę pustą. Na koniec kliknij "Oblicz".

Próbka

Próbka to część lub fragment populacji. Populacja odnosi się do wszystkich elementów zainteresowania w określonym badaniu. Idealnym sposobem badania populacji jest badanie każdego elementu danej populacji. Jednak z wielu powodów często jest to niepraktyczne, aby zbadać każdy pojedynczy element populacji. Na przykład, jeśli twoje badanie dotyczy owadów w dżungli, populacja jest nieograniczona. Dlatego nie możesz zbadać całej populacji. Czasami podczas testowania, elementy twojego badania mogą zostać zniszczone.

Na przykład, gdy otworzysz i sprawdzisz objętość zamkniętej butelki z napojem gazowanym, nie możesz wysłać tej butelki na rynek.

Potrzebujesz dużo czasu, pieniędzy i innych zasobów, aby zbadać całą populację. W większości przypadków musisz zakończyć badanie z ograniczonym czasem, pieniędzmi i innymi zasobami. Badanie całej populacji jest w większości przypadków niepraktyczne. Rozwiązaniem jest wybranie próbki i przeprowadzenie badania.

Błąd graniczny

Zazwyczaj nie możemy zbadać wszystkich elementów populacji. Dlatego statystyki próbki (miary obliczone z próbki) są często używane do oszacowania parametrów populacji (miary obliczone z całej populacji). Statystyki próbki są pochodnymi rzeczywistych danych zaobserwowanych lub zmierzonych w próbce. Mówimy o estymacji punktowej, gdy szacujemy pojedynczą liczbę dla parametru populacji.

Na przykład, jeśli chcesz oszacować średnią objętość butelki z napojem na linii produkcyjnej, możesz wybrać losową partię i znaleźć średnią objętość tej partii. Załóżmy, że partia ta ma średnią objętość x̄ wynoszącą 250 ml. Dlatego szacujesz, że każda butelka na linii produkcyjnej zawiera średnią objętość \$(\hat{μ})\$ wynoszącą 250 ml.

W praktyce rzeczywisty parametr i szacowany parametr nie są równe. Różnica wynika z oszacowania parametru przy użyciu próbki, a nie całej populacji.

Błąd graniczny definiuje się jako maksymalną prawdopodobną różnicę między punktowym oszacowaniem parametru a jego rzeczywistą wartością. Często nazywa się to maksymalnym błędem oszacowania.

Przedział ufności

Przedział ufności reprezentuje zakres estymacji. Zakres oszacowań lub przedziały ufności sugerują, że parametr został oszacowany w określonym błędzie granicznym. Aby określić dolną granicę przedziału ufności, od estymacji punktowej odejmuje się błąd graniczny. Aby określić górną granicę przedziału ufności, do estymacji punktowej dodaje się błąd graniczny.

Wzajemne powiązanie między próbką w statystyce, błędem granicznym a przedziałem ufności

Zamiast badać całą populację, badamy próbkę, aby oszacować parametry populacji. Dlatego może istnieć różnica między oszacowanym parametrem populacji a rzeczywistym parametrem populacji. Błąd graniczny to maksymalna prawdopodobna różnica między punktowym oszacowaniem parametru a jego rzeczywistą wartością. Ponadto istnieje odwrotny związek między wielkością próbki a błędem granicznym. Większa wielkość próbki spowoduje dokładniejsze odzwierciedlenie populacji, co obniży błąd graniczny. Podobnie zmniejszenie wielkości próbki zwiększa błąd graniczny.

Przedział ufności zostanie uzyskany, gdy zastosujesz ten błąd graniczny do estymacji punktowej.

Formuła do obliczania wielkości próbki

Dostępne są różne formuły do obliczania wielkości próbki w zależności od posiadanych informacji.

Pożądany poziom ufności określa stopień dokładności, podczas gdy maksymalny zakres błędu granicznego określa stopień precyzji, którą chcemy osiągnąć z naszym szacunkiem zakresu.

Możemy obliczyć minimalną wielkość próbki wymaganą do uzyskania pożądanego przedziału ufności, jeśli znamy również odchylenie standardowe populacji, korzystając z poniższej formuły.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Ostateczny wynik n powinien być zaokrąglony do najbliższej pełnej liczby.

Formuła Cochrana pozwala ustalić minimalną wielkość próbki na podstawie pożądanego poziomu błędu granicznego, pożądanego poziomu ufności i oczekiwanej proporcji atrybutu obecnego w populacji. Formuła Cochrana to,

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = wartość Z z tabeli Z na podstawie pożądanego poziomu ufności
• p = Oczekiwana proporcja atrybutu obecnego w populacji
• E = Błąd graniczny

Przykład 1

Wyobraźmy sobie, że badamy międzynarodowych studentów zapisanych na studia licencjackie w Kanadzie. Na początku nie mamy wielu informacji. Zakładamy więc, że studenci międzynarodowi stanowią 60% wszystkich studentów licencjackich w Kanadzie. W rezultacie szacowana proporcja tego atrybutu w populacji wynosi 60%. Chcemy uzyskać 95% poziom ufności i 4% błąd graniczny. Ile studentów musi zostać włączonych do minimalnej wielkości próby badania?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Zatem minimalnie 577 studentów musi zostać włączonych do badania, aby uzyskać pożądany 95% poziom ufności i 4% błąd graniczny.

Powyższa formuła jest stosowana, gdy wielkość populacji jest duża lub nieskończona. Jeśli wielkość populacji jest mała lub skończona, wówczas musimy dostosować wielkość próbki. Wielkość próbki jest dostosowywana za pomocą poniższej formuły.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = Wielkość próbki obliczona z formuły Cochrana
• N = Wielkość populacji
• n = Dostosowana wielkość próbki dla skończonej populacji

Przykład 2

Wyobraźmy sobie, że badamy międzynarodowych studentów zapisanych na studia licencjackie w twoim kolegium w Kanadzie. Na początku nie mamy wielu informacji. Zakładamy więc, że studenci międzynarodowi stanowią 60% wszystkich studentów licencjackich w twoim kolegium. W rezultacie szacowana proporcja tego atrybutu w populacji wynosi 60%. Całkowita liczba studentów w twoim kolegium to 12 000. Chcemy uzyskać 95% poziom ufności i 4% błąd graniczny. Ile studentów musi zostać włączonych do minimalnej wielkości próby badania?

W tym przypadku najpierw należy obliczyć n₀ za pomocą formuły Cochrana, a następnie dostosować wielkość próbki, ponieważ populacja jest skończona.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12 000}\right)}=549,88\approx550$$

Dzięki kalkulatorowi minimalnej wielkości próbki możesz wykonać powyższe skomplikowane obliczenia w mniej niż sekundę.

Formuła do obliczania błędu granicznego

Możesz przekształcić formułę wielkości próbki, aby znaleźć formułę błędu granicznego.

Wiesz, że formuła minimalnej wielkości próbki to,

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Spróbujmy zrobić E lub błąd graniczny tematem powyższej formuły.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Przykład 3

Wyobraźmy sobie, że badamy międzynarodowych studentów zapisanych na studia licencjackie w Kanadzie. Na początku nie mamy wielu informacji. Zakładamy więc, że studenci międzynarodowi stanowią 60% wszystkich studentów licencjackich w Kanadzie. W rezultacie szacowana proporcja tego atrybutu w populacji wynosi 60%. Załóżmy, że chcemy uzyskać 95% poziom ufności i wybierasz 577 studentów do swojego badania. Jaki jest błąd graniczny twojego badania?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Jeśli populacja jest skończona, musisz najpierw znaleźć n₀ za pomocą poniższej formuły.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Następnie zastosuj odpowiedź w poniższej formule, aby znaleźć błąd graniczny:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Drugi komponent kalkulatora minimalnej wielkości próbki pozwala pominąć wszystkie te kroki i obliczyć błąd graniczny w mniej niż sekundę.

Formuła do obliczania przedziału ufności

Obliczenie przedziału ufności jest proste, jeśli znasz błąd graniczny. Poniższa formuła służy do obliczenia przedziału ufności.

Przedział ufności = Estymacja punktowa ± Błąd graniczny

Górna granica przedziału ufności = Estymacja punktowa + Błąd graniczny

Dolna granica przedziału ufności = Estymacja punktowa - Błąd graniczny

Przedział ufności dla średniej μ wynosi,

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E jest dolną granicą, a x̄ + E jest górną granicą.

Przedział ufności dla P wynosi,

p - E < P < p + E

Przykład 4

Badasz średni koszt programu dla międzynarodowych studentów studiujących w Kanadzie. Wybrałeś 1000 studentów na próbkę i na podstawie twojej próbki szacujesz, że średni koszt programu dla międzynarodowych studentów studiujących w Kanadzie wynosi 20 000 CAD. Błąd graniczny wynosi 5 000 CAD. Znajdź przedział ufności dla średniego kosztu programu międzynarodowych studentów studiujących w Kanadzie.

Górna granica = x̄ + E = 20 000 CAD + 5 000 CAD = 25 000 CAD

Dolna granica = x̄ - E = 20 000 CAD - 5 000 CAD = 15 000 CAD

Zatem przedział ufności wynosi,

x̄ - E < μ < x̄ + E

15 000 CAD < μ < 25 000 CAD