Kalkulator trójkątów

Kalkulator trójkątów

Kalkulator trójkątów to internetowe narzędzie umożliwiające szybkie znalezienie wszystkich wymiarów trójkąta na podstawie trzech znanych pomiarów. Kalkulator przyjmuje długości boków trójkąta i kąty trójkąta jako dane wejściowe, a oblicza następujące wymiary:

• brakujące długości boków,
• brakujące kąty trójkąta,
• pole powierzchni,
• obwód,
• półobwód,
• wysokości do wszystkich boków trójkąta,
• środkowe do wszystkich boków trójkąta,
• promień wpisany,
• promień opisany.

Kalkulator dostarcza również współrzędne wierzchołków, środek ciężkości, środek okręgu wpisanego oraz środek okręgu opisanego, zakładając, że współrzędne wierzchołka A to [0, 0].

Instrukcja użytkowania

Aby użyć tego kalkulatora trójkątów, wprowadź dowolne trzy wartości do pól wejściowych. Możesz wprowadzić wartości dowolnych kątów lub długości boków. Należy zauważyć, że przynajmniej jedna z wartości musi reprezentować długość boku; w przeciwnym razie trójkąt będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań.

Po wprowadzeniu wartości wybierz jednostki dla kątów trójkąta. Możesz wybrać stopnie lub radiany. Wybierając radiany, użyj "pi" do reprezentowania π. Na przykład, jeśli wartość kąta to \$\frac{π}{3}\$, wpisz "pi/3". Po wprowadzeniu znanych wartości naciśnij "Oblicz". Kalkulator zwróci wszystkie brakujące wartości z powyższej listy oraz schematyczny widok trójkąta, co pomoże lepiej go zobrazować.

Po odpowiedzi możesz rozwinąć następujące pole - Pokaż etapy obliczeń – aby zapoznać się z algorytmem rozwiązania i formułami używanymi do znalezienia odpowiedzi.

Ograniczenia wartości wejściowych

Przynajmniej jedna z wartości musi być długością boku.

Wprowadzając następującą kombinację wartości – dwa kąty i jedna długość boku – zwróć uwagę, że suma wartości kątów musi być mniejsza niż 180° lub π.

Wprowadzając trzy długości boków, należy zauważyć, że suma dowolnych dwóch długości boków powinna być większa niż długość pozostałego boku.

Przykład obliczeń

Wyobraź sobie, że się przeprowadzasz i chcesz pożyczyć od przyjaciela ciężarówkę. Będziesz musiał załadować i rozładować ciężarówkę, ale nie ma ona wbudowanej rampy. Masz przenośną rampę, ale musisz upewnić się, że jej wymiary pasują do wysokości ciężarówki. Twoja rampa nie jest regulowana, a zmierzyłeś, że jej dwa boki mają wymiary 1 m i 0,8 m, a kąt naprzeciwko boku o długości 1 m wynosi 85 stopni (patrz obraz). Wiesz, że możesz dostosować wysokość ciężarówki od 0,5 m do 1 m. Czy twoja rampa pasuje?

Dane

• bok b = 1;
• bok c = 0,8;
• kąt B = 85 stopni.

Rozwiązanie

Aby określić, czy rampa pasuje do ciężarówki, musisz rozwiązać trójkąt powyżej i oszacować, czy długość boku A mieści się w danym zakresie wysokości ciężarówki: 0,5 < a < 1.

Wprowadzając powyższe wartości do kalkulatora trójkątów, otrzymujesz następującą odpowiedź, w zadaniu będziemy potrzebować tylko brakującej długości boku.

Pozostałe odpowiedzi nie są demonstrowane w tym praktycznym przykładzie, chociaż kalkulator trójkątów wciąż je oblicza:

Odpowiedź

• Bok a = 0,67376

• Bok b = 1

• Bok c = 0,8

• kąt A = 42,16° = 42°9'35" = 0,73582 rad

• kąt B = 85° = 1,48353 rad

• kąt C = 52,84° = 52°50'25" = 0,92224 rad

Rampa wygląda mniej więcej tak:

Widzimy, że a ≈ 0,674, a wiemy, że wysokość ciężarówki można dostosować w zakresie 0,5 < a < 1. Oznacza to, że wysokość rampy pasuje do regulowanej wysokości ciężarówki i możesz pożyczyć ciężarówkę od swojego przyjaciela zamiast wynajmować jedną!

Trójkąt: definicja i ważne wzory

W geometrii trójkąt jest płaską figurą utworzoną przez przecięcie trzech prostych, nie równoległych linii. Trójkąt można również opisać jako wielokąt z trzema wierzchołkami i trzema krawędziami. Krawędzie trójkąta zazwyczaj nazywane są bokami.

Warunki istnienia trójkąta

Dwa warunki definiują istnienie trójkąta; jeden warunek dotyczy boków, a drugi – kątów. Warunek na bokach oparty jest na nierówności trójkąta. Stanowi on, że suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta musi być większa lub równa długości pozostałego trzeciego boku. Jeśli suma długości dwóch boków jest równa długości trzeciego boku, trójkąt nazywany jest zdegenerowanym.

Trójkąt zdegenerowany to trójkąt, w którym wszystkie trzy wierzchołki leżą na tej samej prostej linii. To bardzo specjalny przypadek trójkąta, zazwyczaj nie omawiany w elementarnej geometrii, dlatego nie jest tutaj rozważany.

Warunek na kątach stanowi, że suma trzech kątów dowolnego trójkąta zawsze równa się 180° lub π radianów.

Miary trójkąta

Przyjrzyjmy się najważniejszym miarom trójkąta i wzorom do obliczania ich wartości.

Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków i można go obliczyć następująco:

p = a + b + c

Półobwód trójkąta – to połowa długości obwodu trójkąta:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

Pole powierzchni trójkąta – to wielkość opisująca, ile miejsca zajmuje trójkąt na płaszczyźnie. Jeśli znane są długości dwóch boków trójkąta i kąt między tymi dwoma bokami, pole powierzchni trójkąta można obliczyć w następujący sposób:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

Wysokość trójkąta, czyli odległość prostopadła od jednego z kątów do przeciwległego boku. Ponieważ każdy trójkąt ma trzy boki, każdy trójkąt będzie miał również trzy wysokości. Wysokość prostopadła do boku A jest zazwyczaj oznaczana jako hₐ. Podobnie, dwie pozostałe wysokości oznaczane są jako \$h_b\$ i h꜀. Najłatwiejszym sposobem na znalezienie wysokości trójkąta jest poprzez jego pole powierzchni:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

Środkowa do boku trójkąta – to linia prowadząca od wierzchołka trójkąta do środka przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

Środkowa do boku a jest zazwyczaj oznaczana jako mₐ. Podobnie, dwie pozostałe środkowe są oznaczane jako \$m_b\$ i m꜀. Długości środkowych można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

Promień wpisany trójkąta – to promień okręgu wpisanego w trójkąt i dotykającego wszystkich jego boków.

Długość promienia wpisanego r można znaleźć następująco:

$$r=\frac{A}{s}$$

Promień opisany trójkąta – to promień okręgu przechodzącego przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta.

Długość promienia opisanego R można obliczyć z reguły sinusów:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

Reguła sinusów jest również przydatna do znajdowania brakujących wartości długości boków lub kątów trójkąta. Inną przydatną regułą jest reguła cosinusów:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

Wzory wymienione powyżej pozwalają obliczyć wszystkie miary trójkąta. Kalkulator trójkątów używa tych wzorów do znalezienia brakujących wartości.