Kalkulator Twierdzenia Pitagorasa

Ten kalkulator pitagorejski znajduje długość boku trójkąta prostokątnego, jeśli znane są długości dwóch pozostałych boków. Obliczenia są wykonywane na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

Instrukcja obsługi

Wprowadź znane długości boków i naciśnij "Oblicz". Kalkulator zwróci następujące wartości:

• Długość trzeciego boku.
• Wartości kątów niebędących kątem prostym w stopniach i radianach.
• Pole trójkąta.
• Obwód trójkąta.
• Długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

Kalkulator zwróci również szczegółowe rozwiązanie, które możesz rozwinąć, naciskając "+ Pokaż kroki obliczeń".

Zwróć uwagę, że pola wejściowe dla każdego boku zawierają część liczby całkowitej i część pierwiastka kwadratowego, abyś mógł wygodnie wprowadzać wartości takie jak 2√3, √3 itp.

Zwróć również uwagę na to, że wartości a i b, czyli przyprostokątne trójkąta, muszą być krótsze niż wartość c, czyli przeciwprostokątnej.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa głosi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa można zapisać następująco:

a² + b² = c²,

Gdzie a i b to długości krótszych boków, czyli przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, a c – to długość najdłuższego boku, czyli przeciwprostokątnej. Powyższe równanie można opisać następująco: a do kwadratu plus b do kwadratu równa się c do kwadratu.

Dowód twierdzenia Pitagorasa

Udowodnijmy twierdzenie Pitagorasa, sumując pola powierzchni.

Na powyższym obrazku kwadrat o boku (a + b) składa się z kwadratu o boku c oraz czterech trójkątów prostokątnych o bokach a, b i c. Znajdźmy pole tego kwadratu, używając dwóch różnych strategii:

1. Powierzchnia kwadratu o długości boku (a + b) może być obliczona jako (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Tę samą powierzchnię można znaleźć jako sumę powierzchni figur tworzących kwadrat – powierzchnię kwadratu o boku c oraz cztery powierzchnie trójkąta o bokach a, b i c. Powierzchnię kwadratu o boku c można obliczyć jako c². Powierzchnię trójkąta prostokątnego o bokach a, b i c można znaleźć jako (ab)/2. Dlatego

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Ponieważ obie te obliczenia opisują tę samą powierzchnię, możemy je przyrównać:

(a + b)² = c² + 2ab

Rozwijając kwadrat po lewej stronie równania, otrzymujemy:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Odejmując 2ab z obu stron równania, otrzymujemy:

a² + b² = c²

co jest wymaganym wynikiem.

Algorytmy obliczeniowe

Znalezienie boków trójkąta prostokątnego

Jeśli podane są dwie strony trójkąta prostokątnego, trzecią stronę można znaleźć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Na przykład, jeśli podane są boki a i b, długość boku c można znaleźć w następujący sposób:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Podobnie,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

i

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Znalezienie kątów trójkąta prostokątnego

Jeśli znane są wszystkie trzy boki trójkąta prostokątnego, kąty niebędące kątami 90° trójkąta można znaleźć w następujący sposób:

• ∠α = arcsin(a/c) lub ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) lub ∠β = arccos(a/c)

Tutaj, ∠α to kąt naprzeciwko nogi 'a', ∠β to kąt naprzeciwko nogi 'b', a 'c' to przeciwprostokątna. Wybór między arcsin a arccos zależy od tego, którą nogę (a lub b) rozważamy w stosunku do kąta. Używając arcsin, używasz nogi przeciwległej do kąta, a z arccos - nogi przyległej do kąta. Oba podejścia są ważne i dadzą ci poprawne pomiary kątów w trójkącie prostokątnym.

Pole trójkąta prostokątnego

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć jako 1/2 iloczynu jego przyprostokątnych:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Obwód trójkąta prostokątnego

Obwód trójkąta prostokątnego oblicza się jako sumę wszystkich jego boków:

P = a + b + c

Wysokość do przeciwprostokątnej

Jeśli znane są wszystkie trzy boki trójkąta prostokątnego, wysokość do przeciwprostokątnej, h, można znaleźć w następujący sposób:

h = (a × b)/c

Przykłady z życia codziennego

Twierdzenie Pitagorasa jest szeroko stosowane w architekturze i budownictwie do obliczania długości potrzebnych komponentów i zapewnienia, że kąty w budynkach konstrukcyjnych są proste. Spójrzmy na przykład zastosowania tego twierdzenia.

Dostosowywanie obiektów

Wyobraź sobie, że przeprowadzasz się i wynajmujesz ciężarówkę o długości 4 metrów i wysokości 3 metrów. Nie masz wielu dużych przedmiotów, ale posiadasz drabinę o długości 4,5 metra. Czy Twoja drabina zmieści się do ciężarówki?

Rozwiązanie

Ponieważ długość drabiny, 4,5 metra, przekracza długość ciężarówki, która wynosi 4 metry, jedynym sposobem, w jaki drabina zmieści się wewnątrz, jest ustawienie jej po przekątnej. Aby ustalić, czy jest to możliwe, musimy użyć twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć przeciwprostokątną trójkąta o bokach równych długości i wysokości ciężarówki. Zatem w naszym przypadku a = 4, b = 3, a musimy znaleźć c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Przeciwprostokątna trójkąta o a = 4 i b = 3 wynosi c = 5. Dlatego najdłuższy obiekt, który może zmieścić się do ciężarówki, może mieć 5 metrów. Twoja drabina ma 4,5 metra długości. Dlatego zmieści się bez problemu!

Odpowiedź

Tak, drabina zmieści się.

Dodatkowe obliczenia

Ten kalkulator online znajdzie również dodatkowe cechy danego trójkąta. Oblicz te cechy dla trójkąta o a = 4, b = 3 i c = 5.

Pole trójkąta:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Obwód trójkąta:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Wysokość do przeciwprostokątnej:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Kąt naprzeciwko boku a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Kąt naprzeciwko boku b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad