Kalkulator Ułamków Równoważnych

Kalkulator znajduje ułamki równoważne podanych ułamków, liczb całkowitych i liczb mieszanych. Wartości wejściowe mogą być dodatnie lub ujemne. Aby znaleźć ułamki równoważne liczb całkowitych i liczb mieszanych, kalkulator najpierw przekształci je na ułamki. Jeśli wartość wejściowa jest już ułamkiem, ten kalkulator może być używany jako konwerter ułamek na ułamek.

Instrukcje użytkowania

Aby użyć kalkulatora, wprowadź podaną wartość i naciśnij „Oblicz”.

Ograniczenia wartości wejściowych

Kalkulator akceptuje następujące liczby jako dane wejściowe:

1. Ułamki właściwe. Na przykład, \$\frac{1}{3}\$ lub \$-\frac{16}{32}\$. Należy zauważyć, że ułamki nie muszą być uproszczone.
2. Ułamki niewłaściwe. Na przykład, \$-\frac{5}{2}\$ lub \$\frac{16}{8}\$.
3. Liczby mieszane. Wprowadzając liczbę mieszaną, oddziel część całkowitą od części ułamkowej spacją. Na przykład, \$2\frac{2}{3}\$ lub \$5\frac{9}{2}\$. Należy zauważyć, że część ułamkowa liczby mieszanej może być właściwa lub niewłaściwa.
4. Liczby całkowite, z wyjątkiem zera. Na przykład, 92 lub -1.

Definicje

Ułamki równoważne – to ułamki opisujące tę samą wartość, ale składające się z różnych liczb. Na przykład, \$\frac{1}{2}\$ jest równoważny \$\frac{4}{8}\$, mimo że składają się z różnych liczb.

Jak znaleźć ułamki równoważne

Aby znaleźć ułamki równoważne, należy pomnożyć lub podzielić licznik i mianownik danego ułamka przez tę samą liczbę. Proces należy przeprowadzać tylko wtedy, gdy obie wynikowe liczby (licznik i mianownik) są całkowite (nie są dziesiętne i nie są ułamkami).

Na przykład, aby znaleźć ułamki równoważne \$\frac{1}{2}\$, można ciągle mnożyć licznik i mianownik przez DOWOLNĄ liczbę, pod warunkiem, że obie wynikowe liczby (licznik i mianownik) są całkowite.

Napiszmy ułamki równoważne \$\frac{1}{2}\$ przez mnożenie przez 4:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{16}{32}\$ = \$\frac{64}{128}\$ …

Ponieważ proces mnożenia może trwać w nieskończoność, każdy ułamek ma nieskończoną liczbę ułamków równoważnych.

Ważne jest zauważenie, że ponieważ ułamki równoważne są obliczane poprzez mnożenie lub dzielenie licznika i mianownika danego ułamka przez tę samą liczbę, najprostsza forma wszystkich ułamków równoważnych jest taka sama.

Oczywiste jest również, że dwie różne ułamki w ich najprostszej formie nigdy nie mogą być równoważne.

Sprawdzanie, czy dwa ułamki są równoważne

Aby sprawdzić, czy dwa ułamki są równoważne, oblicz ich iloczyny krzyżowe. Ułamki są równoważne, jeśli ich iloczyny krzyżowe są równe.

Przykład 1

Sprawdźmy, czy \$\frac{1}{3}\$ i \$\frac{4}{11}\$ są równoważne. Aby znaleźć iloczyny krzyżowe dwóch ułamków, pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka oraz mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka:

$$\frac{1}{3}\ i\ \frac{4}{11}$$

Iloczyny krzyżowe tych dwóch ułamków to (1 × 11) = 11 i (3 × 4) = 12. 11 ≠ 12, więc \$\frac{1}{3}\$ ≠ \$\frac{4}{11}\$, a więc podane ułamki nie są równoważne.

Przykład 2

Który ułamek jest równoważny \$\frac{2}{3}\$: \$\frac{12}{18}\$ czy \$\frac{12}{19}\$?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy sprawdzić iloczyny krzyżowe dwóch par ułamków:

$$\frac{2}{3}\ i\ \frac{12}{18}$$

$$\frac{2}{3}\ i\ \frac{12}{19}$$

Iloczyny krzyżowe \$\frac{2}{3}\$ i \$\frac{12}{18}\$ to (2 × 18) = 36 i (3 × 12) = 36. Iloczyny krzyżowe są równe, więc \$\frac{2}{3}\$ i \$\frac{12}{18}\$ są równoważnymi ułamkami.

Iloczyny krzyżowe \$\frac{2}{3}\$ i \$\frac{12}{19}\$ to (2 × 19) = 38 i (3 × 12) = 36. 38 ≠ 36, więc \$\frac{2}{3}\$ i \$\frac{12}{19}\$ nie są równoważne.

Przykład obliczeniowy

W życiu codziennym znajdowanie ułamków równoważnych jest bardzo przydatne, gdy musimy dodawać, odejmować lub porównywać ułamki o różnych mianownikach, lub ułamki i liczby mieszane lub liczby całkowite.

Krojenie pizzy

Przedstawmy prosty przykład krojenia pizzy. Wyobraź sobie, że zamówiłeś pizzę z przyjacielem, ale została ona dostarczona niepokrojona. Chcesz podzielić pizzę równo między was dwoje, ale oczywiście krojenie jej na dwie części i jedzenie połowy pizzy nie jest zbyt wygodne. Na ile kawałków możesz pokroić pizzę i ile kawałków powinien zjeść każdy z was?

Rozwiązanie 1

Oczywiste jest, że każdy z was ostatecznie powinien zjeść połowę pizzy, czyli \$\frac{1}{2}\$. Aby odpowiedzieć na zadane pytania, powinniśmy znaleźć kilka ułamków równoważnych \$\frac{1}{2}\$. Zróbmy to najpierw, mnożąc wielokrotnie licznik i mianownik \$\frac{1}{2}\$ przez 2. Otrzymamy:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

Oznacza to, że możesz pokroić pizzę na 4 kawałki, w którym przypadku każdy z was może zjeść 2 kawałki. Lub możesz pokroić pizzę na mniejsze kawałki, na 8 kawałków, w którym przypadku każdy z was może zjeść 4 kawałki. Lub możesz pokroić ją na 16 kawałków, w którym przypadku każdy z was może zjeść 8 kawałków. Krojenie pizzy na więcej niż 16 kawałków byłoby niewygodne, więc zatrzymajmy się na tym.

Rozwiązanie 2

Zauważ, że możesz rozwiązać dany problem, mnożąc pierwotny ułamek przez inny numer za każdym razem:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{1 × 3}{2 × 3}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{1 × 5}{2 × 5}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{1 × 6}{2 × 6}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{1 × 7}{2 × 7}\$ = \$\frac{8}{16}\$ ...

W tym przypadku niektóre z otrzymanych ułamków będą takie same jak ułamki z Rozwiązania 1, ale niektóre będą inne. Tutaj otrzymujemy te same opcje \$\frac{2}{4}\$, \$\frac{4}{8}\$, i \$\frac{8}{16}\$, ale otrzymujemy także dodatkowe opcje \$\frac{3}{6}\$, \$\frac{5}{10}\$, \$\frac{6}{12}\$, i \$\frac{7}{14}\$.

Oznacza to, że możesz także pokroić pizzę na 6 kawałków, przy czym każdy z was może mieć 3; albo pokroić ją na 10 kawałków, przy czym każdy z was może mieć 5; albo pokroić ją na 12 kawałków, przy czym każdy z was może mieć 6, itd. Ponownie, ten proces może trwać w nieskończoność, ale wymieniamy tylko opcje, które wydają się rozsądne do krojenia pizzy.

Odpowiedź

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{8}{16}\$ ...

W tych równoważnych ułamkach mianowniki reprezentują całkowitą liczbę kawałków, podczas gdy odpowiadające im liczniki reprezentują liczbę kawałków, które każdy z was może zjeść.