Kalkulator Wzoru Kwadratowego

Korzystanie z Kalkulatora Wzoru Kwadratowego

Ten kalkulator to łatwe w użyciu narzędzie do rozwiązywania równań kwadratowych. W algebrze równanie kwadratowe to każde równanie, które można zapisać w następującej formie:

ax²+bx+c=0

gdzie

a≠0

Aby użyć kalkulatora wzoru kwadratowego, wprowadź wartości A, B i C do odpowiednich pól i naciśnij "Oblicz". Wartość A nie może być równa zero, natomiast zero jest akceptowalnym wejściem dla B i C. Dla pierwiastków rzeczywistych i zespolonych kalkulator wykorzysta wzór kwadratowy, aby określić wszystkie rozwiązania danego równania. Po użyciu wzoru kwadratowego kalkulator również uprości wynikający pierwiastek, aby znaleźć rozwiązania w ich najprostszej formie.

Rozwiązywanie równań kwadratowych przy użyciu wzoru kwadratowego

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą wzoru kwadratowego. Aby użyć wzoru kwadratowego, należy najpierw sprowadzić dane równanie do następującej formy: ax²+bx+c=0. Następnie rozwiązania można znaleźć w następujący sposób:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Część równania pod pierwiastkiem, b²-4ac, nazywa się dyskryminantem.

• Jeśli dyskryminant jest dodatni, b²-4ac>0, równanie będzie miało dwa rzeczywiste pierwiastki.
• Jeśli dyskryminant jest ujemny, b²-4ac<0, równanie będzie miało dwa zespolone pierwiastki, ponieważ pierwiastek z liczby ujemnej to liczba zespolona.
• Jeśli dyskryminant równa się zero, b²-4ac=0, równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek.

Kalkulator równań kwadratowych wyświetli rozwiązania wprowadzonych równań oraz sposób znalezienia tych rozwiązań. Kalkulator również obliczy dyskryminant i wskaże, czy jest on dodatni, ujemny, czy równy zero.

Praktyczne przykłady

Przykład 1 (z pierwiastkami rzeczywistymi)

Rozwiążmy równanie kwadratowe:

2x²+3x-2=0

W tym przykładzie

a=2,b=3,c=-2.

Korzystając ze wzoru kwadratowego dla tych wartości, otrzymujemy:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Dyskryminant tego równania jest dodatni,

b²-4ac=25>0

Zatem równanie będzie miało dwa rzeczywiste pierwiastki.

Teraz uprośćmy wynikający pierwiastek:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ oraz\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ oraz\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ oraz\ \ \ x=-2$$

Ostatecznie

x=0,5

x=-2

Przykład 2 (z pierwiastkami zespolonymi)

Rozwiążmy następujące równanie kwadratowe:

x²+2x+5=0

W tym przykładzie

a=1,b=2,c=5

Korzystając ze wzoru kwadratowego dla tych wartości, otrzymujemy:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Dyskryminant tego równania jest ujemny,

b²-4ac=-16<0

Zatem równanie będzie miało dwa zespolone pierwiastki.

Teraz uprośćmy wynikający pierwiastek:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Ostatecznie,

x=-1+2i

x=-1-2i

Przykład 3 (z jednym pierwiastkiem)

Rozwiążmy następujące równanie kwadratowe:

3x²+6x+3=0

W tym przykładzie

a=3,b=6,c=3

Korzystając ze wzoru kwadratowego dla tych wartości, otrzymujemy:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Dyskryminant tego równania jest równy zero, b²-4ac=0. Zatem równanie będzie miało jeden pierwiastek.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Ostatecznie,

x=-1

Wyprowadzenie wzoru kwadratowego

Jak wykazano powyżej, można użyć wzoru kwadratowego do rozwiązania absolutnie każdego równania kwadratowego, niezależnie od tego, czy dyskryminant jest dodatni, ujemny, czy równa się zero. Teraz zbadajmy, jak można go wyprowadzić. Znajomość podstawowych zasad wyprowadzania wzorów może być bardzo przydatna, na wypadek gdybyś zapomniał sam wzór.

Algorytm wyprowadzenia wzoru kwadratowego jest stosunkowo prosty i opiera się na procedurze dopełniania kwadratu. Aby wyprowadzić rozwiązania standardowego równania kwadratowego ax²+bx+c=0, musisz wykonać poniższe kroki:

1. Mamy równanie:

ax²+bx+c=0

Przenieś stałą C na prawą stronę równania:

ax²+bx=-c

2. Pozbądź się współczynnika A obok kwadratowego wyrazu x². Aby to zrobić, podziel równanie przez A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Dodaj

$$(\frac{b}{2a})^2$$

do obu stron równania:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Lewa strona ma teraz formę

x²+2dx+d²

Można to wyrażenie przepisać jako

(x+d)²

W naszym równaniu d jest wyrażone jako

$$\frac{b}{2a}$$

Więc:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Podstaw to do lewej strony naszego wzoru, a na razie pozostaw prawą stronę bez zmian:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Teraz pierwiastek x pojawia się tylko raz w równaniu.

5. Wyjmij pierwiastek kwadratowy z obu części równania:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Przenieś $\frac{b}{2a}$ na prawą stronę równania:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Pomnóż prawą stronę równania przez

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Uprość równanie:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. W rezultacie otrzymujemy wzór kwadratowy:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Ciekawostki o równaniach kwadratowych

• Suma dwóch pierwiastków równania kwadratowego wynosi

$$\frac{-b}{a}$$

W związku z tym, jeśli dyskryminant równania kwadratowego b²-4ac wynosi zero, jedyny pierwiastek równania można znaleźć jako

$$\frac{-b}{2a}$$

• Iloczyn dwóch pierwiastków równania kwadratowego wynosi

$$\frac{c}{a}$$

• Termin "kwadratowy" pochodzi od łacińskiego słowa "quadratus", co oznacza "kwadrat". Równanie zostało nazwane kwadratowym, ponieważ najwyższa potęga zmiennej wynosi 2, czyli zmienna jest "podnoszona do kwadratu".

• Wzór kwadratowy w swojej obecnej formie został opisany już w 628 r. n.e. przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę, który nie używał symboli, lecz omawiał rozwiązanie za pomocą słów. Brahmagupta opisał jednak tylko jedno z dwóch możliwych rozwiązań, pomijając ważny znak ± przed pierwiastkiem kwadratowym.

• Wykres funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c to parabola. Rozwiązania, czyli pierwiastki równania kwadratowego, są właściwie współrzędnymi przecięcia wykresu z osią x. Jeśli równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki, wykres przecina oś x dwukrotnie. Jeśli równanie ma tylko jeden pierwiastek, wykres odpowiedniej paraboli tylko dotyka osi x w swoim maksimum lub minimum. Jeśli równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków, wykres odpowiedniej paraboli w ogóle nie przecina osi x.

• Gdy wartość współczynnika przy wyrazie kwadratowym, A, zbliża się do zera, wykres odpowiedniej paraboli staje się coraz płaski, ostatecznie dążąc do stania się linią prostą. Gdy a=0, równanie staje się liniowe, a jego reprezentacja graficzna to oczywiście linia prosta!

• Podobnie, gdy a>0, parabola będzie skierowana w górę. Jeśli a<0, odpowiadająca parabola będzie otwarta w dół. Jeśli a=0, "parabola" jest płaska, czyli jest linią prostą.

Równania kwadratowe są szeroko stosowane we wszystkich dziedzinach nauki. Na przykład, w fizyce równania kwadratowe są używane do opisu ruchu rzutu.