Calculadora de Combinações

Existem diferentes estratégias para determinar o número de maneiras de escolher objetos de um determinado conjunto em matemática. De quantas maneiras podemos escolher os resultados r a partir das possibilidades n? Depende se a ordem importa ou não e os valores podem se repetir ou não.

O número de maneiras de escolher r resultados não ordenados de n possibilidades é conhecido como uma combinação e é escrito como C (n, r). Também é conhecido como o coeficiente binomial. Esta calculadora permite calcular a combinação de r objetos a partir de um conjunto de n objetos.

As regras para usar a calculadora de combinações

Para um determinado conjunto de objetos, há um certo número de maneiras de organizar ou selecionar alguns ou todos eles de acordo com alguma ordem ou especificação. A calculadora calcula o número de maneiras de selecionar r objetos de um conjunto de n objetos sem repetição e quando a ordem não importa. A calculadora requer duas entradas:

• n = número de objetos distintos a escolher, e
• r = número de vagas a serem preenchidas.

Um critério essencial para inserir dados na calculadora de combinação é que

0 ≤ r ≤ n

Se você digitar um número r maior que n, ele imprimirá uma mensagem

"Favor inserir 0 ≤ r ≤ n".

O princípio fundamental da contagem

O Princípio Fundamental de Contagem nos guia na busca de maneiras de realizar diferentes tarefas. Há duas regras fundamentais de contagem.

A regra da soma

A primeira tarefa pode ser feita de m maneiras, e a segunda tarefa pode ser feita de n maneiras. Se as tarefas não podem ser feitas simultaneamente, o número de maneiras possíveis pode ser contado como (m + n).

A regra dos produtos

A primeira tarefa pode ser feita de m maneiras e a segunda tarefa pode ser feita de n maneiras. Se ambas as tarefas podem ser feitas simultaneamente, então existem (m * n) maneiras de realizá-las.

Exemplos

A cafeteria vende 3 tipos de tortas e 4 tipos de bebidas. Entre elas estão torta de maçã, torta de morango e torta de mirtilo. E suco de laranja, uva, cereja e abacaxi. Tanto as bebidas quanto as tortas são vendidas por $2. Você só tem $2 com você e nem um centavo a mais. Portanto, você tem 3 + 4 = 7 oportunidades para fazer alguma escolha em particular.

Suponha que você queira contar o número de maneiras de atirar uma moeda ao ar e enrolar um dado. O número de maneiras de atirar uma moeda ao ar é 2, pois uma moeda tem 2 faces. Da mesma forma, há 6 maneiras possíveis de se lançar um dado. Como você pode fazer as duas tarefas simultaneamente, há então 2 × 6 = 12 maneiras de girar uma moeda e lançar um dado.

Se você quiser tirar 2 cartas de um baralho de 52 cartas sem substituí-las, então há 52 maneiras de tirar a primeira e 51 maneiras de tirar a segunda. Portanto, o número de maneiras de tirar duas cartas é 52 × 51 = 2.652.

Espaços de Amostra

Um espaço de amostra é uma lista de todos os resultados possíveis e é denotado pela letra maiúscula S. O espaço de amostra para atirar uma moeda ao ar e enrolar um dado simultaneamente são

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Há doze maneiras possíveis. Os princípios de contagem nos permitem descobrir o número de maneiras de experimentar sem ter que listar todas elas.

Combinação

O número de maneiras possíveis de escolher r resultados não repetitivos de n possibilidades quando a ordem é irrelevante é conhecido como combinação. A combinação de objetos é escrita como C (n, r). Também é conhecido como o coeficiente binomial. A fórmula da combinação é definida como

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

O sinal ! após um número ou uma letra significa que estamos usando o fatorial de algum número. Por exemplo, n! é o fatorial do número n - ou o produto de números naturais de 1 a n. O fatorial do número 2 é 1 × 2. O fatorial do número 3 é 1 × 2 × 3. O fatorial do número 4 é 1 × 2 × 3 × 4. O fatorial do número 5 é 1 × 2 × 3 × 4 × 5 e assim por diante. O fatorial só pode ser calculado para inteiros não-negativos.

Uma característica essencial do cálculo da combinação usando esta fórmula é que a repetição de objetos não é permitida, e a ordem de disposição não importa.

Exemplo 1

Suponha que você tenha um conjunto de quatro números

{1, 2, 3, 4}

De quantas maneiras podemos combinar dois elementos deste conjunto se o mesmo elemento não puder ser repetido em um par?

Se a ordem dos elementos for importante, obtemos grupos formados por permutações:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Se a ordem não importa - recebemos grupos formados por combinações:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Há 6 combinações possíveis. Você pode usar a fórmula para encontrar o número de todas as combinações possíveis. Para este exemplo, $n=4$, $r=2$. Portanto,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Isto é exatamente o que a Calculadora de Combinações calcula.

Exemplo 2

Quais são as combinações das letras A, B, C e D em um grupo de 3? Há 24 possíveis permutações quando a ordem é importante. Na contagem combinatória, a ordem é irrelevante. Portanto, apenas a primeira linha é relevante, ou seja, há 4 combinações possíveis.

Em vez de listar todos os arranjos possíveis, podemos calcular o número de arranjos possíveis (nos quais a ordem não é importante) usando a fórmula de combinação acima. Aqui, há n=4 objetos, e você está tomando r=3 de cada vez. Portanto,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutação

Permutação define o número de formas de organizar os objetos quando a ordem dos objetos é importante. A fórmula para permutação ao selecionar r objetos de uma lista de n objetos é a seguinte:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

As duas principais características do cálculo de permutações usando esta fórmula são que a repetição de objetos não é permitida e que a ordem dos objetos é importante.

Exemplo 3

Suponha que haja 4 candidatos em uma entrevista de emprego. A tarefa do comitê de seleção é classificar os candidatos de 1 a 4. Aqui estão as possibilidades:

• 1º candidato - há 4 maneiras de escolher
• 2º candidato - há 3 maneiras de escolher
• 3º candidato - há 2 maneiras de escolher
• 4º candidato - só há uma maneira de escolher

A regra do produto dá o número total de maneiras de escolher, ou seja, 4 × 3 × 2 × 1 = 24 que é o mesmo que 4!. Digamos que os candidatos são

{A, B, C, D}

O espaço de amostra do problema, mostrando todas as permutações possíveis, é mostrado abaixo:

Em vez de listar todos os arranjos possíveis como mostrado na tabela acima, podemos calcular o número de arranjos possíveis usando a fórmula de permutação. Para o exemplo acima, existem n = 4 objetos, e você toma r = 4 elementos de cada vez. Portanto, o número de elementos de cada vez,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

A Diferença entre Combinações e Permutações

A principal diferença entre combinações e permutações é que nas combinações a ordem dos elementos não é importante, enquanto nas permutações a ordem dos elementos é importante.