Calculadora de Distância 2D

Esta calculadora encontra a distância entre dois pontos em um plano, se as coordenadas dos pontos forem conhecidas. A calculadora opera em um espaço bidimensional.

Como uma linha reta representa a distância mais curta entre 2 pontos, esta calculadora pode ser usada como uma calculadora de comprimento de linha.

Instruções de uso

A calculadora encontra a distância entre o ponto 1 com coordenadas (X₁, Y₁) e o ponto 2 com coordenadas (X₂, Y₂).

Para encontrar a distância entre dois pontos, digite suas coordenadas nos campos correspondentes. As coordenadas de entrada devem ser inseridas da seguinte forma:

• Uma vírgula deve separar duas coordenadas de cada ponto; por exemplo, digite "4,5" no campo (X₁, Y₁) para ter o ponto 1 com a coordenada x de 4 e uma coordenada y de 5. Se alguma das coordenadas for representada por uma casa decimal, use o ponto decimal para separar a parte do número inteiro da parte decimal; por exemplo, digite "4.5 , 7" para ter um ponto com uma coordenada x de 4,5 e uma coordenada y de 7.
• Só é possível usar números inteiros e decimais como coordenadas de pontos. As frações não são aceitas.
• Os espaços entre as coordenadas não são necessários, mas você pode usá-las para sua conveniência.

Depois de inserir as coordenadas, pressione "Calcular". A calculadora retornará a resposta final e o algoritmo de solução detalhada.

Para esvaziar todos os campos, pressione "Limpar".

Fórmula de distância

Em um plano bidimensional, a distância d entre o ponto 1 com coordenadas (X₁, Y₁) e o ponto 2 com coordenadas (X₂, Y₂) pode ser encontrada com a ajuda da seguinte fórmula:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Ou, em outras palavras: a distância entre 2 pontos em um espaço bidimensional pode ser encontrada como a raiz quadrada da soma das diferenças quadráticas das coordenadas correspondentes. Esta fórmula é conhecida como a fórmula da distância euclidiana. Portanto, esta calculadora também pode ser chamada de calculadora Euclidiana de distância.

Fórmula Euclidiana de derivação da distância

Para derivar a fórmula, vejamos os dois pontos dados no plano de coordenadas (X, Y):

Para encontrar a distância entre o ponto 1 e o ponto 2, vamos traçar uma linha vertical a partir do ponto 2, e uma linha horizontal para a direita a partir do ponto 1. As duas linhas traçadas e a distância necessária formarão um triângulo retângulo. A perna vertical deste triângulo será formada pela distância vertical entre o ponto 1 e o ponto 2: Y₂ – Y₁. A perna horizontal do triângulo será formada pela distância horizontal entre os dois pontos: X₂ – X₁. A hipotenusa deste triângulo representa a distância necessária entre os pontos. Quando o comprimento das pernas do triângulo retângulo direito é conhecido, o comprimento da hipotenusa pode ser encontrado com a ajuda do teorema de Pitágoras:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Exemplos de cálculo

Exemplo 1

Vamos encontrar a distância entre o ponto 1 com (X₁, Y₁) = (3, 1) e o ponto 2 com (X₂, Y₂) = (5, 7). Substituindo os valores de X₁, Y₁, X₂, Y₂ na fórmula Euclidiana de distância, nós vamos obter:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Observe que mudar a ordem dos pontos não altera o resultado final, uma vez que as diferenças entre as coordenadas são quadradas. Vamos repetir o cálculo acima, assumindo que (X₁, Y₁) = (5, 7), e (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Exemplo 2

Vamos olhar para um exemplo com coordenadas negativas e encontrar a distância entre o ponto 1 com (X₁, Y₁) = (-4, 2) e ponto 2 com (X₂, Y₂) = (6, -6). Substituindo os valores de X₁, Y₁, X₂, Y₂ na fórmula Euclidiana de distância, nós vamos obter:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Exemplos na vida real

Como mostrado acima, a fórmula de distância euclidiana é baseada no teorema de Pitágoras. Ainda assim, ela adapta o teorema a situações onde apenas as coordenadas dos pontos são conhecidas (ao invés dos comprimentos dos lados do triângulo usado pelo teorema de Pitágoras). A fórmula é útil quando as distâncias devem ser calculadas a partir das coordenadas em um mapa ou gráfico. Também é usada para calcular magnitudes de números e vetores complexos.

Exemplo 3

Imagine uma escada encostada à parede. Nesta situação, o piso representa o eixo x do plano 2D, e a parede representa o eixo y, como mostra a imagem abaixo. Se a escada tocar a parede no ponto (0, 2), e tocar o chão no ponto (3, 0), encontre o comprimento da escada.

Solução

Para encontrar o comprimento da escada em um plano bidimensional formado pela parede e pelo chão, vamos primeiro identificar as coordenadas dos pontos finais da escada: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Vamos chamar o ponto em que a escada toca a parede – ponto 1 (X₁, Y₁), e o ponto onde a escada toca o chão – ponto 2 (X₂, Y₂). Sabemos que a escada toca a parede no ponto com as coordenadas (0, 2). Portanto,, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Observe como X₁ = 0, que é claramente ilustrado pela imagem acima, onde o ponto (0, 0) corresponde ao ponto físico onde a parede se encontra com o chão, tornando impossível os valores negativos de X e Y.

Além disso, sabemos que a escada toca o chão no ponto com as coordenadas (3, 0). Portanto,, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Além disso, Y₂ = 0, já que estas coordenadas correspondem ao ponto diretamente no chão. Agora vamos usar a fórmula da distância para calcular o comprimento da escada:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

** Resposta **

O comprimento da escada é de 3,6.

Distância em espaço 3D

A distância euclidiana é o que a maioria das pessoas se refere como "distância". Quando dizemos que um objeto está a 5 metros de nós, é a distância euclidiana que temos em mente. A fórmula da distância descrita acima pode ser facilmente extrapolada para 3 (ou até mais!) dimensões.

Em um espaço tridimensional, a distância entre o ponto 1 com coordenadas (X₁, Y₁, Z₁) e o ponto 2 com coordenadas (X₂, Y₂, Z₂) pode ser calculada como a raiz quadrada da soma das diferenças quadráticas entre as coordenadas correspondentes:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$