Calculadora de Equações Quadráticas

Calculadora de Equações Quadráticas

As equações quadráticas são uma parte significativa dos currículos escolares e universitários de matemática. Por exemplo, a solução da equação quadrática fornece várias informações, tais como as taxas de mudança, subidas e descidas da função. Encontrar a solução para uma equação quadrática requer a realização de um conjunto de operações algébricas e aritméticas. Embora a solução tenha uma forma padrão, leva algum tempo para se fazer as contas manualmente.

A calculadora de fórmula quadrática on-line é uma ferramenta fácil de usar que fornece instantaneamente ao usuário a solução para uma equação quadrática. Esta ferramenta gratuita fornece as respostas e apresenta as etapas aplicadas ao resolver a equação. Consequentemente, o usuário conceitualizará a solução do problema, os resultados numéricos e um guia passo-a-passo através da solução.

Equações Quadráticas

Uma equação quadrática às vezes referida como uma função quadrática ou polinômio de segundo grau, é uma equação algébrica com uma forma geral de ax²+bx+c=0 onde x é uma variável desconhecida a ser encontrada. Os termos a e b são os coeficientes de x² e x, respectivamente, enquanto C é uma constante. A palavra "quad" ou "segundo grau" vem do fato de que o expoente máximo da variável x é 2, como em x². Podemos mostrar alguns exemplos de equações quadráticas abaixo.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

A equação 2x²=0 também é uma equação quadrática, com b=0 e c=0. Entretanto, 2x+3=0 não representa uma equação quadrática, já que o termo quadrático ax² não é encontrado na equação. Como mostrado nos exemplos anteriores, os valores de A, B, e C podem ser inteiros positivos/negativos ou decimais (frações) de tal forma que a≠0.

Solucionando Equações Quadráticas

O número de soluções possíveis para uma equação é igual ao maior valor exponente na equação. Uma equação quadrática pode ter um máximo de duas soluções neste contexto. Uma maneira de resolver uma função quadrática é usar a fórmula quadrática declarada na equação (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Você pode escrever a forma compacta para a fórmula quadrática como:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Esta é uma solução simples onde o usuário pode conectar os valores de A, B e C para obter o valor de x₁ e x₂. De acordo com o valor do discriminante denotado pelo termo sob a raiz quadrada b²-4ac, o número e a natureza da solução muda. Podemos discutir três casos:

• Se o discriminante for positivo; b²-4ac>0, então existem duas soluções reais (x₁≠x₂)
• Se o discriminante for zero; b²-4ac=0, então existe uma solução real (x₁=x₂)
• Se o discriminante for negativo; b²-4ac<0, então existem duas soluções complexas (x₁≠x₂)

Forneceremos um exemplo de cada caso na seção Exemplos.

Graficamente, em um plano de coordenadas x-y, onde y é uma função de x, o leitor pode visualmente perceber a(s) solução(ões) de uma função quadrática como o(s) x-coordinate(s) dos pontos onde a função y cruza o x-axis.

Usando a Calculadora de Fórmula Quadrática

A calculadora solucionadora quadrática pode resolver todas as equações quadráticas, independentemente da natureza da solução (real ou complexa). A calculadora leva três inputs: os valores de A, B, e C. Em alguns casos, o usuário pode ter que realizar algumas manipulações na equação antes de usar a calculadora.

Em 2x² = x + 3, o usuário tem que simplesmente mover os termos do lado esquerdo para o lado direito, rendendo para 2x²-x-3=0, onde a = 2, b = -1, e c=-3.

Além disso, considerando 4(x²-0,2x)=1, o usuário tem que expandir o parêntese escrevendo 4x²-0,8x=1, depois mover os termos do lado esquerdo para o lado direito para colocar a equação na forma geral como 4x²-0,8x-1=0 onde a = 4, b=-0.8 e c=-1.

Exemplos

Nesta seção, três exemplos podem explicar os três casos possíveis da solução da equação quadrática usando a calculadora de equações quadráticas.

Exemplo 1: Duas Soluções Reais

É necessário encontrar a(s) solução(ões) da função quadrática y₁ dado como y₁=x²-8x+12 e mostrado na Figura 1. Intuitivamente, o objetivo é encontrar a(s) coordenada(s) x dos pontos onde a função y₁ cruza o eixo x – se existir alguma.

Figura 1: Terreno de y₁=x²-8x+12

Primeiro, a função é igual a zero ( y₁ é substituído por 0), caindo para x²-8x+12=0. Observa-se que a última equação está na forma de equação quadrática padrão onde a=1, b=-8, e c=12. Podemos usar diretamente a calculadora da fórmula da equação quadrática.

Verificando o valor de b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0, a função quadrática deve ter duas soluções reais. Após clicar no botão calcular, a calculadora fornece a solução numérica e os passos da solução usando a fórmula quadrática da equação (1).

É essencial destacar que, após inserir os valores de A, B e C, a calculadora mostra a equação. O usuário pode considerar a verificação de que a equação exibida é a mesma que a equação em mãos para evitar erros de entrada.

• Equação: x²-8x+12=0

• Solução: x₁=2 и x₂=6

• Passos:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ ou \ 2$$

A solução é assim x₁=2 e x₂=6. Podemos validar graficamente os resultados inspecionando a interseção da função com o eixo x. A figura 2 mostra que a função cruza o x-axis nos pontos mencionados anteriormente.

Figura 2: Terreno de y₁=x²-8x+12

Exemplo 2: Uma Solução Real

Considerando outra função, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Antes de usar a calculadora, um passo inicial seria isolar y₂ de um lado e recolher todos os outros termos do outro lado como y₂=-4x²+10x+3x²-25. Equivalendo y₂ a zero e fazendo as operações aritméticas, a forma geral é obtida como -x²+10x-25=0 com a=-1, b=10, e c=-25.

Além disso, b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, portanto, o usuário esperaria uma única solução. Então, podemos usar a calculadora de fórmula quadrática para encontrar x₁=x₂=5.

• Equação: -x²+10x–25=0

• Solução: x = 5

• Passos:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

A figura 3 mostra o gráfico de y₂ onde se vê que a função cruza o x-axis em um ponto.

Figure 3: y₂=-x²+10x-25

Exemplo 3: Duas Soluções Complexas

Finalmente, y₃=x²-4x+8 é estudado para mostrar como uma função quadrática pode ter duas soluções complexas. A figura 4 mostra que y₃ não cruza o x-axis.

Figura 4: y₃=x²-4x+8

Olhando para b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 o que indica a existência de duas soluções complexas, mas o que são números complexos?

Um número complexo é um número que é expresso sob a forma de uma combinação de números reais e imaginários e toma a forma de a+ib.

Nesse caso, "i" em números complexos significa a unidade imaginária, representando a raiz quadrada de -1.

O termo A denota a parte real do número complexo (Re). Por outro lado, ib é o número imaginário (Im) onde i=√-1.

A raiz quadrada conterá um número negativo quando o termo b²-4ac for inferior a zero. Assim, tomar a raiz quadrada de um número negativo requer o uso de números complexos.

Voltar para encontrar a solução de x²-4x+8=0; a calculadora resolve a equação e encontra x₁=2+2i e x₂=2-2i.

• Equação: x²–4x+8=0

• Há duas soluções possíveis: x=2±2i

• Passos:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Escopo de Uso e Dicas

A calculadora de fórmula quadrática é projetada para estudantes em escolas e universidades ou qualquer pessoa que procure uma solução rápida para uma função quadrática. As funções quadráticas podem ser encontradas em diversas aplicações em diferentes campos, para não mencionar engenharia, economia, agricultura, etc.

Embora o uso da ferramenta seja simples, o usuário deve ser capaz de realizar operações aritméticas básicas para colocar a equação na forma quadrática padrão ax²+bx+c=0 para usar a ferramenta. Além disso, é preferível (não um pré-requisito) estar familiarizado com números complexos, uma vez que a solução de uma equação quadrática pode ser um par de números complexos.

O usuário também pode estar interessado em usar algumas ferramentas de plotagem para visualizar a função e suas soluções.