Calculadora de Fórmula Quadrática

Usando uma Calculadora de Fórmula Quadrática

Esta calculadora é uma ferramenta fácil de usar que resolve equações quadráticas. Em álgebra, uma equação quadrática é qualquer equação que possa ser escrita da seguinte forma:

ax²+bx+c=0

onde

a≠0

Para usar a calculadora de fórmula quadrática, insira os valores de a, b, e c nos campos correspondentes e pressione "Calcular". O valor de a não pode ser igual a zero, enquanto que para b e c, zero é uma entrada aceitável. Tanto para raízes reais quanto complexas, a calculadora utilizará a fórmula quadrática para determinar todas as soluções para uma determinada equação. Após utilizar a fórmula quadrática, a calculadora também simplificará o radical resultante para encontrar as soluções em sua forma mais simples.

Resolvendo equações quadráticas usando a fórmula quadrática

Você pode resolver qualquer equação quadrática com a ajuda da fórmula quadrática. Para usar a fórmula quadrática, você deve primeiro montar a equação da seguinte forma: ax²+bx+c=0. Então, as soluções podem ser encontradas da seguinte forma:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

A parte da equação sob a raiz quadrada, b²-4ac, é chamado de discriminante.

• Se o discriminante for positivo, b²-4ac>0, a equação terá duas raízes reais.
• Se o discriminante for negativo, b²-4ac<0, a equação terá duas raízes complexas, já que a raiz quadrada de um número negativo é um número complexo.
• Se o discriminante for igual a zero, b²-4ac=0, a equação terá apenas uma raiz.

A calculadora de equação quadrática exibirá as soluções das equações inseridas, e o fluxo de trabalho para encontrar essas soluções. A calculadora também calculará o discriminante e demonstrará se ele é positivo, negativo ou igual a zero.

Exemplos práticos

Exemplo 1 (com raízes reais)

Vamos resolver a equação quadrática:

2x²+3x-2=0

Neste exemplo a=2,b=3,c=-2.

Usando a fórmula quadrática para estes valores, obtemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

O discriminante desta equação é positivo, b²-4ac=25>0, portanto, a equação terá duas raízes reais.

Agora vamos simplificar o radical resultante:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ e\ \ \ x=\ \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ e\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ e\ \ \ x=-2$$

Finalmente,

x=0,5

x=-2

Exemplo 2 (com raízes complexas)

Vamos resolver a seguinte equação quadrática:

x²+2x+5=0

Neste exemplo a=1,b=2,c=5.

Usando a fórmula quadrática para estes valores, obtemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

O discriminante desta equação é negativo, b²-4ac=-16<0, portanto, a equação terá duas raízes complexas.

Agora vamos simplificar o radical resultante:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Finalmente,

x=-1+2i

x=-1-2i

Exemplo 3 (com uma raiz)

Vamos resolver a seguinte equação quadrática:

3x²+6x+3=0

Neste exemplo a=3,b=6,c=3.

Usando a fórmula quadrática para estes valores, obtemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

A discriminação desta equação é igual a zero, b²-4ac=0, portanto, a equação terá uma raiz.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Finalmente,

x=-1

Derivação da fórmula quadrática

Como demonstrado acima, você pode usar a fórmula quadrática para resolver absolutamente qualquer equação quadrática, independentemente de o discriminante ser positivo, negativo, ou igual a zero. Agora vamos investigar como ela pode ser derivada.

Conhecer os princípios básicos da derivação da fórmula pode ser muito útil caso você esqueça a fórmula em si. O algoritmo de derivação da fórmula quadrática é bastante simples e é baseado no procedimento de completar o quadrado. Para derivar as soluções da equação quadrática padrão ax²+bx+c=0, você precisa seguir os passos abaixo:

1. Portanto, temos uma equação:

ax²+bx+c=0

Mova a constante C para o lado direito da equação:

ax²+bx=-c

2. Livre-se do coeficiente A ao lado do termo quadrado x². Para fazer isto, divida a equação por A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Adicione

$$(\frac{b}{2a})^2$$

a ambos os lados da equação:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. O lado esquerdo agora tem o formulário x²+2dx+d². Esta expressão pode ser reescrita como (x+d)².

Em nossa equação, d é expresso como

$$\frac{b}{2a}$$

Portanto:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Substitua isso pelo lado esquerdo de nossa fórmula e deixe o lado direito intocado por enquanto:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Agora a raiz x aparece apenas uma vez na equação.

5. Extraia a raiz quadrada de ambas as partes da equação:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Transferir $\frac{b}{2a}$ para o lado direito da equação:

$$x=-\frac{b}{2a} ± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Multiplique o lado direito da equação por $\frac{2a}{2a}$:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Simplificar a equação:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Como resultado, obtemos uma fórmula quadrática:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Fatos interessantes sobre a equação quadrática

• A soma das duas raízes da equação quadrática é

$$\frac{-b}{a}$$

Consequentemente, se o discriminante da equação quadrática b²-4ac é igual a zero, a única raiz da equação pode ser identificada como

$$\frac{-b}{2a}$$

• O produto das duas raízes da equação quadrática é

$$\frac{c}{a}$$

• O termo “quadrático” vem da palavra latina “quadratus”, que significa “quadrado”. A equação foi chamada de quadrática pois a maior potência da variável é 2, ou seja, a variável é “quadrada”.

• A fórmula quadrática em sua forma atual foi descrita já em 628 d.C. pelo matemático indiano Brahmagupta, que não utilizava símbolos, mas sim discutia a solução usando palavras. Brahmagupta, entretanto, descreveu apenas uma das duas soluções possíveis, omitindo o importante sinal ± antes da raiz quadrada.

• O gráfico de uma função quadrática y=ax²+bx+c é uma parábola. As soluções, ou raízes, da equação quadrática são na verdade as coordenadas das intercepções do gráfico com o eixo x. Se a equação tiver duas raízes reais, o gráfico intercepta o eixo x duas vezes. Se a equação tiver apenas uma raiz, o gráfico da parábola correspondente só toca o eixo x em seu máximo ou mínimo. Se a equação não tem raízes reais, o gráfico da parábola correspondente não intercepta o eixo x em absoluto.

• Quando o valor do coeficiente pelo termo quadrado, a, aproxima-se de zero, o gráfico da parábola correspondente torna-se mais plano, tendendo eventualmente a se tornar uma linha reta. Quando a=0, a equação se torna linear e a representação gráfica da mesma é obviamente uma linha reta!

• Do mesmo modo, quando a>0, a parábola está voltada para cima, se a<0, a parábola correspondente será aberta para baixo e se a=0, a “parábola” é plana, ou seja, é uma linha reta.

Quadratic equations are widely used in all areas of science. For example, in physics quadratic equations are used to describe projectile motion.