Calculadora de Média, Mediana e Moda

As medidas de tendência central

Olhar para tabelas e gráficos de dados estatísticos pode ser difícil para nós de interpretar. Muitas vezes precisamos resumir conjuntos de dados e identificar características importantes para obter informações mais úteis das estatísticas.

Nas estatísticas, são usadas diferentes medidas para resumir os dados. Algumas descrevem o centro dos dados; elas são chamadas de medidas de tendência central. Outros descrevem como os valores dos dados estão dispersos; são chamados de medidas de dispersão. Outras, chamadas medidas de posição, revelam a proporção dos dados que é inferior a um determinado valor.

O objetivo principal desta calculadora é calcular medidas de tendência central - média e mediana - que podem representar o valor típico ou central em um conjunto de dados. A finalidade secundária desta calculadora é determinar o grau de variação em um conjunto de dados através do cálculo do intervalo, quartis e intervalo interquartil.

Calculadora de média

A média é a soma dos valores divididos pelo número total de valores. É mais fácil de entender e calcular usando a seguinte fórmula para calcular a média de uma amostra:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

A fórmula para a média da população é:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

Aqui, o numerador representa a soma dos valores no conjunto de dados. E o denominador representa o número de valores no conjunto de dados.

A principal característica do uso da média aritmética é que ela envolve todos os pontos de dados presentes no conjunto de dados.

A principal limitação da média é que ela é muito sensível a valores extremos que são ou muito grandes ou muito pequenos. Tais valores são conhecidos como outliers, e afetam significativamente a média.

Observe também que o valor médio não é necessariamente o valor típico para os dados. O valor médio pode ser um valor que não está presente no conjunto de dados.

Média para a amostra e para a população

A população consiste de todo o conjunto de valores sobre os quais as informações são obtidas, e a amostra consiste de um grupo menor retirado da população.

O método para calcular o valor médio é o mesmo tanto para as amostras quanto para as populações. Apenas as designações são diferentes.

Se x₁, x₂,..., x_n é uma amostra, a média é referida como a média da amostra e é representada pelo símbolo x̄.

A média da população é denotada pela carta grega 𝜇.

Lembre-se que nas estatísticas, usamos a letra minúscula n para denotar o tamanho da amostra e a letra maiúscula n para denotar o tamanho da população.

Exemplo de cálculo da média

Vejamos o seguinte exemplo: Luigi é um chef de primeira linha e fanático por pizzas. Ele decidiu abrir sua própria pizzaria em Bali. Para encontrar um investidor, ele escreve um plano de negócios. E para avaliar o desempenho financeiro futuro, ele quer determinar o custo médio da pizza em diferentes restaurantes da ilha.

Ele fez uma pequena pesquisa sobre o preço da pizza Margherita nos restaurantes de Bali e obteve um conjunto de dados sobre o preço da pizza. Para facilitar os cálculos, vamos descartar os três últimos zeros e especificar o número de milhares no preço. Ou seja, 60 em nossos cálculos significarão 60 000 rupias indonésias.

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Luigi não percorreu todas as pizzarias da ilha. Ele selecionou 20 delas ao acaso. Portanto, estamos tratando de uma amostra.

Vamos calcular o valor médio para este conjunto de dados usando a fórmula:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

Acabamos com x̄ = 71,9.

A pesquisa de Luigi mostra que 71.900 rupias indonésias é o preço médio de uma pizza Margherita em Bali. Ele agora pode basear seus cálculos neste preço.

Calculadora Mediana

A mediana é uma medida posicional que representa o valor médio de um conjunto de dados dispostos em ordem ascendente ou descendente.

Ao calcular a mediana, tentamos encontrar um número que divide o conjunto de dados pela metade. Metade dos valores dos dados é menor que a mediana, e a outra metade é maior que a mediana. É por isso que quando estamos determinando a mediana manualmente sem uma calculadora mediana, precisamos ordenar os valores em ordem ascendente ou descendente.

O cálculo da mediana difere dependendo se o número de observações no conjunto de dados é par ou ímpar.

Se o número total de elementos for ímpar, ou seja, n ou n é ímpar, então a seguinte fórmula se aplica:

$$Mediana=(\frac{n+1}{2})\ elemento$$

Entretanto, se o número de elementos for par, o que significa que n é um número par, então a seguinte fórmula é utilizada:

$$Mediana=\frac{\left[(\frac{n}{2})\ elemento+(\frac{n}{2}+1)\ elemento\right]}{2}$$

A principal vantagem de utilizar a mediana é que ela é menos afetada por valores extremamente altos ou extremamente baixos.

Exemplo de cálculo da mediana

Para um determinado conjunto de vinte valores,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Podemos calcular a mediana da seguinte forma:

1. Classificar o conjunto de dados seja ascendente ou descendente. Aqui a ordem é a seguinte:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Vamos determinar o número de valores no conjunto de dados. Temos n = 20$.

Se n for estranho, escolhemos o valor médio dos dados como a mediana. Se n for igual, encontramos a média aritmética dos dois valores da mediana. Acrescente-os e divida a soma por 2.

20 é um número par.

Os valores centrais em nossa amostra são 69 e 70. Encontramos a mediana desta forma:

$$Mediana = \frac{69 + 70}{2} = 69,5$$

Se Luigi tivesse um conjunto de 21 valores, por exemplo

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

Ele poderia encomendar os valores:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

e selecione o valor no centro na 11ª posição, ou seja, 70.

A diferença entre a média e a mediana

Tanto a média como a mediana são utilizadas como medidas de tendência central. Mas é importante saber como elas diferem.

Uma diferença importante entre a média e a mediana é que a fórmula da média utiliza todos os valores do conjunto de dados. Em contraste, a fórmula para a mediana depende apenas do número da média ou dois dos números da média.

Isto é especialmente importante para conjuntos de dados nos quais um ou mais números são invulgarmente grandes ou invulgarmente pequenos. Tais números são chamados de outliers. Na maioria dos casos, estes outliers terão um grande efeito sobre a média, mas eles terão pouco ou nenhum efeito sobre a mediana.

Nas estatísticas, dizemos que uma medida é resistente se seu valor não for muito afetado por valores extremos no conjunto de dados. Portanto, podemos dizer que a mediana é resistente e a média não é resistente.

A média e a mediana medem o centro do conjunto de dados de forma diferente. A média é o ponto em que o conjunto de dados se equilibra. A mediana é a média que separa 50% dos dados de um lado dos 50% dos dados do outro lado. Quando o conjunto de dados é simétrico, a média e a mediana são iguais. Mas elas podem não ser iguais.

Em alguns conjuntos de dados, a média pode ser menor que a mediana, ou a mediana pode ser menor que a média. Neste caso, dizemos que o conjunto de dados é enviesado.

Se o valor médio for para a esquerda ou menor que a mediana, dizemos que o conjunto de dados é inclinado para a esquerda. Se a média estiver à direita ou maior que a mediana, dizemos que o conjunto de dados está enviesado para a direita.

Destas duas medidas de tendência central, nem a média nem a mediana são melhores. Ambas medem o centro de maneiras diferentes. Alguns especialistas preferem usar a mediana quando os dados são altamente enviesados ou contêm valores extremos porque a mediana é mais representativa de um valor típico.

Calculadora de modo

Um modo é o valor de um conjunto de dados que ocorre o número máximo de vezes no conjunto de dados. Esse é o valor que ocorre com mais freqüência.

Um conjunto de dados com apenas um valor que ocorre com mais freqüência é referido como unimodal.

Se um conjunto de dados tem dois valores com a mesma freqüência mais alta, então ambos os valores são considerados modais, e o conjunto de dados é considerado bimodal.

Se um conjunto de dados tiver mais de dois valores com a mesma freqüência mais alta, então cada valor é usado como modo, e o conjunto de dados é considerado multimodal.

Se nenhum valor de dado individual ocorrer mais de uma vez, então o conjunto de dados é considerado como não tendo modo. Ao fazer isso, seria incorreto dizer que a modalidade é zero. Isto seria incorreto porque zero pode ser o valor real em alguns dados, tais como medições de temperatura.

A principal vantagem de calcular uma modalidade é que ela é mais fácil de calcular e não é afetada por valores extremos. A desvantagem do cálculo de uma modalidade é que, em certas situações, pode não existir um valor da modalidade para alguns conjuntos de dados.

Exemplo de cálculo de modo

Para um determinado conjunto de vinte valores,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Podemos calcular a modalidade da seguinte forma:

Organizar o conjunto de dados em ordem ascendente ou descendente. Aqui a ordem é a seguinte:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

A seguir, encontramos o valor repetido o número máximo de vezes. Aqui, o valor mais freqüente é 70. Portanto, para um dado conjunto de dados, o valor modal é 70.

O modo também é conhecido como uma medida de tendência central. Mas isto não é totalmente exato. A moda pode ser o maior valor do conjunto de dados, ou o menor valor, ou qualquer outro valor. Por exemplo, se tivéssemos os seguintes números no conjunto de dados:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

A modalidade seria 120. Embora, neste caso, não refletiria a tendência central.

Curiosamente, só podemos calcular a média e a mediana para os dados quantitativos. E podemos calcular a modalidade tanto para os dados quantitativos quanto para os qualitativos.

Por exemplo, Anna come pizza uma média de 12 vezes por mês.

• 3 vezes uma pizza Napoletana,
• 3 vezes uma pizza Margherita,
• 2 vezes uma pizza Calzone,
• 1 Pepperoni,
• 1 Marinara,
• 1 Quatro Cheeze,
• 1 Caprese.

Neste caso, teremos dois modos: Napoletana pizza e Margherita pizza.

Medidas de dispersão

Usamos medidas de variação para determinar a variabilidade em um conjunto de dados. Elas geralmente refletem o grau de variação dos dados a partir do valor central. Podemos examinar a variação em um conjunto de dados usando o intervalo, quartis e intervalo interquartil.

Calculadora de faixa

O intervalo para um conjunto de dados é a diferença entre o valor mais alto e o mais baixo do conjunto de dados. Podemos calculá-lo determinando os valores máximo e mínimo do conjunto de dados. A fórmula para calcular o conjunto de dados é:

$$Faixa = maior\ valor - menor\ valor$$

Exemplo de cálculo de faixa

Para um determinado conjunto de vinte valores,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70,

podemos calcular a faixa da seguinte forma:

Organizar o conjunto de dados em ordem ascendente ou descendente. Aqui a ordem é parecida com esta:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Além disso, o valor mais alto é 160, e o valor mais baixo é 42. Daí o intervalo:

Faixa = maior valor - menor valor = 160 - 42 = 118

Portanto, para este conjunto de dados, a faixa é 118.

Calculadora trimestral

Quartis são valores que dividem o conjunto de dados em quatro trimestres por três pontos, ou seja, o primeiro, segundo e terceiro quartis.

O primeiro quartil, rotulado Q₁, representa o ponto que representa os primeiros 25% dos valores do conjunto de dados que são inferiores a este valor. E os outros 75% dos valores são maiores.

O segundo quartil, rotulado Q₂, é a mediana. Isto significa que 50% do conjunto de dados é menor que este valor e os outros 50% são maiores que Q2.

O terceiro quartil, denominado Q₃, é o ponto que representa 75% dos valores que são inferiores a este valor e os 25% restantes são maiores.

Cálculo de quartiles

Um procedimento para calcular os quartis de um conjunto de dados:

1. Dispor os dados em ordem ascendente.

2. Para calcular o segundo quartil, basta calcular a mediana. Para o primeiro e terceiro quartis, proceda da seguinte forma. Determine n - o número de valores no conjunto de dados.

3. Para o primeiro quartil, calcule L = 0,25n. Para o terceiro quartil, calcule L = 0,75n.

4. Se L for um número inteiro, o quartil é a média do número na posição L e o número na posição L + 1.

5. Se L não for um número inteiro, arredonde-o para o próximo número inteiro mais alto. O quartil é o número na posição correspondente ao valor arredondado.

Um exemplo de cálculo de quartil

Para um determinado conjunto de vinte valores,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Podemos calcular os quartis da seguinte forma:

1. Classificar o conjunto de dados seja ascendente ou descendente. Aqui a ordem se parece com esta:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Dos cálculos anteriores, já sabemos que

Mediana = 70

3. L para o primeiro quartil: 0,25 × 20 = 5. L para o terceiro quartil: 0,75 × 20 = 15.

4. 5 é um inteiro, então Q₁ no nosso caso é:

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. 15 também é um número inteiro, então Q₃, em nosso caso, é

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73,5$$

Portanto, para este conjunto de dados, o primeiro quartil é 57, o segundo é 70, e o terceiro é 73,5.

Calculadora de intervalo interquartílico

A faixa inter-quartil (IQR) é a diferença entre os terceiros Q₃ e os primeiros Q₁ quartis de um conjunto de dados. É uma medida da dispersão média, que pode ser calculada da seguinte forma:

IQR = Q₃ - Q₁

Exemplo de cálculo IQR

Na seção anterior, já calculamos o primeiro e o terceiro quartis. Eles são 57 e 73.5. Tudo que temos que fazer é simplesmente aplicar a fórmula.

IQR = Q₃ - Q₁ = 73,5 - 57 = 16,5

Assim, para este conjunto de dados, a faixa interquartil é de 16,5.

Resultados

Em nosso caso com a mini-sondagem de preços de pizza de Margherita de Luigi, ele poderia tirar as seguintes conclusões: A média e a mediana não coincidiram; formou-se um ligeiro enviesamento nos dados. Mas não é muito perceptível. Portanto, tanto a média como a mediana poderiam ser usadas para medir a tendência central.

Se Luigi quisesse ir com o preço médio de uma pizza Margherita, ele deveria ter tomado ou a média ou a mediana. Mas o IDR 71.900 ou IDR 69.500 não teria sido muito conveniente como preço de uma pizza memorável. Felizmente, o preço da pizza Margherita está nessa faixa, que é de 70.000 rupias indonésias. Portanto, Luigi poderia ter utilizado esse preço exato em seus cálculos.

Se ele quisesse criar uma pizzaria para um público mais conhecedor, ele poderia se concentrar em números mais próximos do primeiro quartil. Este é um preço de cerca de 57.000 rupias indonésias. Não é muito conveniente concentrar-se no terceiro quartil para determinar o preço para clientes mais exigentes, pois o terceiro quartil não é muito representativo.