Calculadora de Teorema de Pitágoras

Esta calculadora de Pitágoras encontra o comprimento de um lado de um triângulo retângulo se os outros dois lados do triângulo forem conhecidos. Os cálculos são realizados com base no teorema de Pitágoras.

Instruções de uso

Digite os comprimentos laterais conhecidos e pressione "Calcular". A calculadora retornará os seguintes valores:

• Comprimento do terceiro lado.
• Valores angulares dos ângulos não 90° em graus e radianos.
• Área do triângulo.
• Perímetro do triângulo.
• Comprimento da altitude perpendicular à hipotenusa.

A calculadora também retornará a solução detalhada, que você pode expandir pressionando "+ Mostrar Passos de Cálculo".

Observe que os campos de entrada para cada lado incluem uma parte inteira de número e uma parte de raiz quadrada para que você possa inserir convenientemente valores como 2√3, √3, etc.

Note também que os valores de a e b, as pernas do triângulo, têm que ser mais curtos que o valor de c, a hipotenusa. Para esvaziar todos os campos, pressione "Limpar".

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catárticos.

O teorema de Pitágoras pode ser escrito da seguinte forma:

a² + b² = c²,

Onde a e b são os comprimentos dos lados mais curtos, ou pernas, de um triângulo retângulo, e c – é o comprimento do lado mais longo ou hipotenusa. A equação acima pode ser descrita da seguinte forma: a ao quadrado mais b ao quadrado é igual a c ao quadrado.

Prova do teorema de Pitágoras

Vamos provar o teorema de Pitágoras somando as áreas.

Na imagem acima, o quadrado com o lado (a + b) é composto por um quadrado com o lado c, e quatro triângulos retângulos com os lados a, b, e c. Vamos encontrar a área deste quadrado usando duas estratégias diferentes:

1. A área do quadrado com o comprimento do lado (a + b) pode ser calculada como (a + b)²:

A = (a + b)²

2. A mesma área de superfície pode ser encontrada como a soma das áreas de superfície das figuras que formam o quadrado – a área de um quadrado com lado c, e quatro áreas de um triângulo com lados a, b, e c. A área do quadrado com lado c pode ser calculada como c². A área do triângulo retângulo com lados a, b, e c pode ser encontrada como (ab)/2. Portanto,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Como ambos os cálculos descrevem a mesma área de superfície, podemos equacioná-los:

(a + b)² = c² + 2ab

Expandindo o quadrado do lado esquerdo da equação, obtemos:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Subtraindo 2ab de ambos os lados da equação, obtemos:

a² + b² = c²

que é o resultado necessário.

Algoritmos de cálculo

Encontrando os lados de um triângulo retângulo

Se forem dados dois lados de um triângulo retângulo, o terceiro lado pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras. Por exemplo, se forem dados os lados a e b, o comprimento do lado c pode ser encontrado da seguinte forma:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Similarmente,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

e

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Encontrando os ângulos de um triângulo retângulo

Se todos os três lados do triângulo retângulo são conhecidos, os ângulos não-90° do triângulo podem ser encontrados da seguinte forma:

• ∠α = arcsin(a/c) ou ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) ou ∠β = arccos(a/c)

Aqui, ∠α é o ângulo oposto à perna 'a', ∠β é o ângulo oposto à perna 'b', e 'c' é a hipotenusa. A escolha entre arcsin e arccos depende de qual perna (a ou b) você está considerando em relação ao ângulo. Usando arcsin, você usa a perna oposta ao ângulo, e com arccos, você usa a perna adjacente ao ângulo. Ambas as abordagens são válidas e fornecerão as medidas corretas dos ângulos em um triângulo retângulo.

Área de um triângulo retângulo

A área de um triângulo retângulo pode ser calculada como 1/2 do produto de suas pernas:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Perímetro de um triângulo retângulo

O perímetro de um triângulo retângulo é calculado como uma soma de todos os seus lados:

P = a + b + c

Altitude à hipotenusa

Se todos os três lados de um triângulo retângulo são conhecidos, a altitude para hipotenusa, h, pode ser encontrada da seguinte forma:

h = (a × b)/c

Exemplos na vida real

O teorema de Pitágoras é amplamente utilizado na arquitetura e construção para calcular o comprimento do componente necessário e garantir que os ângulos dos edifícios construídos estejam corretos. Vejamos um exemplo de aplicação do teorema.

Encaixando objetos

Imagine que você está em movimento e contratou um caminhão em movimento com um comprimento de 4 metros e uma altura de 3 metros. Você não tem muitos itens volumosos, mas possui uma escada, que tem 4,5 metros de comprimento. Sua escada vai caber no caminhão?

Solução

Como o comprimento da escada, 4,5 metros, excede o comprimento do caminhão, 4 metros, a única maneira de a escada caber no interior é diagonal. Para determinar se isso é possível, precisamos usar o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa de um triângulo com os lados iguais ao comprimento e altura do caminhão. Portanto, em nosso caso a = 4, b = 3, e precisamos encontrar c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

A hipotenusa de um triângulo com a = 4 e b = 3 é c = 5. Portanto, o objeto mais longo que pode caber no caminhão pode ser de 5 metros. Sua escada tem 4,5 metros de comprimento. Portanto, ela caberá facilmente!

Resposta

Sim, a escada vai caber.

Cálculos adicionais

Esta calculadora on-line também encontrará algumas características adicionais do triângulo dado. Calcule estas características para o triângulo com a = 4, b = 3, e c = 5.

Área do triângulo:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Perímetro do triângulo:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Altitude à hipotenusa:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Ângulo oposto ao lado a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Ângulo oposto ao lado b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad