Calculadora de Triângulo Retângulo

Calculadora de triângulo retângulo

A calculadora de triângulo retângulo é um solucionador de triângulos online com foco apenas em triângulos retângulos. A calculadora toma dois valores quaisquer do triângulo retângulo como entrada, e calcula as medidas triangulares que faltam. Os valores incluídos são – o comprimento dos lados do triângulo (a, b e\ c), os valores dos ângulos exceto o ângulo reto (α e β), perímetro (P), área (A) e altitude para hipotenusa (h).

Para usar a calculadora, insira quaisquer dois dos valores listados acima e pressione "Calcular". Para limpar todos os valores de entrada, pressione "Limpar". Os valores angulares podem ser inseridos tanto em graus quanto em radianos.

Para inserir o valor em radianos usando π, use a seguinte notação: "pi". Por exemplo, se o valor angular dado for π/3, insira "pi/3".

A calculadora mostrará todos os valores em falta e as etapas de cálculo. A calculadora também demonstrará a visão em escala do triângulo relevante, e os valores do raio interior e do raio circunferencial.

Limitações dos valores de entrada da calculadora de triângulo

1. Você só pode inserir dois valores.
2. Os valores angulares de α e β devem ser inferiores a 90° ou (π/2)rad.
3. O comprimento da altitude para a hipotenusa (h) não deve exceder o comprimento de qualquer um dos catheti (a ou b).
4. O comprimento de cada lado do triângulo (a, b ou c) deve ser menor que a soma dos outros dois lados.
5. Para qualquer comprimento dado da hipotenusa, o triângulo tem um perímetro máximo. A calculadora não aceitará qualquer perímetro que exceda este valor. O perímetro máximo do triângulo direito com o comprimento dado da hipotenusa corresponde ao caso de um triângulo isósceles (a=b). Neste caso, \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$ , e o perímetro máximo \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Triângulo retângulo: definição e informações úteis

Um triângulo retângulo é um triângulo onde um ângulo é igual a 90° ou \$\frac{π}{2}\ rad\$. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados de catetos, ou pernas, do triângulo.

A perna b é às vezes chamada de base do triângulo direito, e a perna a é a altura do triângulo direito.

As pernas do triângulo são sempre mais curtas do que a hipotenusa. Como um ângulo do triângulo é igual a 90°, e a soma de todos os ângulos de qualquer triângulo é de 180°, a soma dos outros dois ângulos do triângulo direito também é de 90°: α+β=90°. Os comprimentos dos lados do triângulo estão relacionados entre si como é descrito no teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras relaciona os comprimentos de todos os lados de um triângulo retângulo. Ele afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das duas pernas:

$$c^2=a^2+b²$$

Consequentemente, se apenas os comprimentos dos catetos forem conhecidos, o comprimento da hipotenusa pode ser calculado da seguinte forma:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Suponha que saibamos o comprimento de um cateto e o comprimento da hipotenusa. Nesse caso, podemos calcular o comprimento do outro cateto da seguinte forma:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

O teorema de Pitágoras é o teorema mais importante sobre o triângulo retângulo e um dos teoremas mais importantes da geometria euclidiana.

Outras fórmulas importantes

Além do teorema de Pitágoras, as seguintes relações são usadas para calcular os valores que faltam de um triângulo retângulo:

O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos de todos os seus lados e é encontrado como

$$P = a + b + c$$

A área de um triângulo retângulo é calculada como

$$A = \left(\frac{1}{2}\right)ab$

Para encontrar os ângulos do triângulo retângulo, devemos calcular o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos. Para encontrar o seno, cosseno ou tangente de um ângulo, precisamos identificar os lados adjacentes e opostos do ângulo. Uma hipotenusa e um outro lado formam ambos os ângulos agudos do triângulo retângulo. Este outro lado é o lado adjacente do ângulo correspondente. O lado que fica é, portanto, o lado oposto deste ângulo. Por exemplo, na ilustração fornecida com a calculadora a está o lado oposto do ângulo α, e b é o lado adjacente.

O seno de qualquer ângulo agudo no triângulo retângulo pode ser encontrado como o comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento da hipotenusa:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

O cosseno de qualquer ângulo agudo no triângulo retângulo pode ser calculado como o comprimento do lado adjacente dividido pelo comprimento da hipotenusa:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

A tangente de qualquer ângulo agudo no triângulo retângulo pode ser encontrada como a relação entre o comprimento do lado oposto e o comprimento do lado adjacente:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

O comprimento da altitude para o uso da hipotenusa é calculado como

$$h=\frac{ab}{c}$$

A calculadora também encontra os valores do raio interno e do raio circunferencial de um determinado triângulo com a ajuda das seguintes fórmulas:

$$inradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$circumradius=\frac{c}{2}$$

Exemplo de cálculo

Vamos assumir que temos um triângulo onde os comprimentos das duas pernas são conhecidos: a=3 e b=4. Vamos encontrar todos os valores que faltam do triângulo.

Primeiro, vamos encontrar o comprimento da hipotenusa c, usando o teorema de Pitágoras:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Agora, vamos encontrar os valores angulares do triângulo. Como mencionado acima,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

portanto,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

Do mesmo modo,

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

therefore

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

Vamos encontrar a altitude para a hipotenusa, h

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Para a área do triângulo, nós temos:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Para o perímetro do triângulo dado, nós temos:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

O raio interno pode ser calculado da seguinte forma:

$$inradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

E finalmente, o raio circunferencial:

$$circumradius=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Triângulos retânngulos especiais

Existem dois tipos especiais de triângulos retângulos – o triângulo 45-45-90 e o triângulo 30-60-90. Os comprimentos dos lados desses triângulos estão em uma proporção especial.

O triângulo retângulo isósceles

O triângulo retângulo com as medidas de ângulos agudos de 45° e 45° tem dois ângulos iguais. Portanto, o comprimento de suas pernas também é igual, tornando este triângulo retângulo e isósceles. Os comprimentos de seus lados estão relacionados da seguinte forma:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

O triângulo 30-60-90

Os ângulos agudos deste triângulo medem como 30° e 60°. Os comprimentos de seus lados estão relacionados da seguinte forma:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

em que "a" é o lado oposto ao ângulo de 30°, "b" é o lado oposto ao ângulo de 60° e "c" é a hipotenusa.